等腰三角形 暑假作业 （含解析）-北师大版八年级数学

完成时间：月日天气：姆•/谏

作业等腰三角形

作业导航-------------------------------------------------------

K题型一：等腰三角形性质的计算问题)

■（题型二：等腰三角形性质的证明问题)

■（题型三：等腰三角形的判定个数问题)

巩固提升练■（题型四：等腰三角形判定的证明问题)

■（题型五：等边三角形性质的计算问题)

■（题型六：等边三角形的性质的证明问题)

■（题型七：等边三角形的多结论判断问题)

L（题型八：等边三角形的判定的证明问题)

题型一：等腰三角形与折叠问题)

等腰三角形题型二：等腰三角形与动点问题

能力培优练

（题型三：等腰三角形中的分类讨论问题)

（题型四：等腰三角形中的最值问题)

I题型五：等腰三角形与平面直角坐标系问题

创新题型练题型一：等腰三角形的性质与判定的综合)

题型二：等边三角形的性质与判定的综合题)

培优训练-------------------------------------------------------

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

【题型一：等腰三角形性质的计算问题】

（2024•兰州）

1.如图，在VABC中，AB=AC,NA4c=130。，DA±AC,则（）

A

BDC

A.100°B.115°C.130°D.145°

（2024秋•云梦县期中）

2.如图，在VABC中，AB=AC,AD=DB,DE_LAB干HE,若BC=3,且ABDC的周

长为8,则AE的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

（2024春•西安月考）

3.在VABC中，AB=AC,于点D,DE上AB于点E,3尸工AC于点F,DE=5cm,

则BF=（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

（2024春•藁城区期末）

4.如图，在△ABC中，/ABC=90。，AD=DC,AE_L8D,若ZDAE=28。，则N8AE=

【题型二：等腰三角形性质的证明问题】

5.已知，如图在等腰三角形ABC中，AB=AC,P为3C的中点，尸于点。，PELAC

于点E,求证：PD=PE.

试卷第2页，共18页

A

6.如图，己知VABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，S.ZDBC^ZF,求证:

EC//DF.

7.如图，在VA3C中，AB=AC,AD是边上的中线，3ELAC于点E,AO与BE相

交于点F.

(2)若CE=EF,求证：AF=2BD.

(2024春・湖南•八年级期末)

8.如图，在VABC中，ZA=45°,点D在A3边上，BC=CD,DE±AC,BF±AC,

垂足分别为E,F.

(1)求证ADCE必CBF；

（2）若AB=AC,求证DE=gDB.

【题型三：等腰三角形的判定个数问题】

（2024秋•灌南县期中）

9.如图，在△ABC中，NABC=36。，。、E足8C上的点，ZBAD=ZDAE=ZEAC,

图中等腰三角形的个数为（）

10.如图，在△ABC中，且NABC=60。，且NC=45。，4。是边BC上的高，,ABC的平

分线交AD于R交AC于£,则图中等腰三角形的个数为（）

C.4D.5

11.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个

格点（即正方形的顶点）.在这张5x5的方格纸中，找出格点C,使AABC为等腰三角形,

则满足条件的格点C有（）

A.3个B.5个C.6个D.8个

（2024春・广西钦州•八年级校考期中）

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90度，BC=4,AC=3,在直线AC上取一点P,使得

为等腰三角形，则符合条件的点尸共有（）

试卷第4页，共18页

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型四：等腰三角形判定的证明问题】

13.已知：如图，是等腰三角形ABC的底边上的中线，DE//AB,交AC于点E.求

证：AAED是等腰三角形.

14.如图，。为VABC的边48的延长线上一点，过。作。/人AC,垂足为R交BC于E,

且BD=BE.求证：VABC是等腰三角形.

15.已知：如图，在VABC中，AB=AC,BP,C。是VABC两腰上的高，二高交于点。.求

证：ABCO是等腰三角形.

16.已知如图，点。在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,FD=FE.求证：AABC

是等腰三角形.

A

【题型五：等边三角形性质的计算问题】

17.如图，在等边VABC中，。为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边

交点为E,则NOEC的度数为（）

A

A.60°B.75°C.105°D.115°

18.如图，已知ZABC是等边三角形，点、B、C。、E在同一直线上，＞CG=CD,DF=DE,

则々的度数为（）

19.如图，VABC和ADE户都是等边三角形，点，E,尸分别在边AB,3cAe上，若VABC

的周长为15,AF=2,则3E的长为（）

试卷第6页，共18页

20.如图，已知等边三角形ABC的边长为加，过A3边上一点P作PE_LAC于点E,。为BC

延长线上一点，取PA=CQ,连接P。，交AC于M,则的长为.

【题型六：等边三角形的性质的证明问题】

21.如图：AABC和AADE是等边三角形，证明：BD=CE.

22.如图，8。是等边VABC的中线，以。为圆心，5。的长为半径画弧，交BC的延长线

于E,连接DE.求证：CD=CE.

23.如图，△ABD,AlEC都是等边三角形.求证：BE=DC

24.如图，在等边VABC中，DA=DC,DM±BC,垂足为M,E是延长线上的一点,

CE=CD.求证：MB=ME.

A

【题型七：等边三角形的多结论判断问题】

25.下列说法中，正确的个数是（）

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；

③有两个角为60。的三角形是等边三角形；

④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

26.若一个三角形的最小内角为60。，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）

这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在

这样的三角形.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

27.如图，在VA2C中，ZACB=90°,。是A8上的点，过点。作DEI交于点F

交AC的延长线于点E,连接CD,ZDCA=ZDAC,则下列结论正确的有（）

①"CB=；②C。=；A3；③AADC是等边三角形；④若NE=30。，则。E=EF+CV.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

28.如图，已知VA5c和ACDE都是等边三角形，点8、C、。在同一条直线上，BE交AC

于点交CE于点N,A。,BE交于点尸.则下列结论：①AD=JBE；②N8MC=//VVC；

③/APM=60。；④AN=BM；⑤ACMN是等边三角形、其中，正确的有（）

试卷第8页，共18页

A

A.2个B.3个C.4个D.5个

【题型八：等边三角形的判定的证明问题】

29.如图，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,AF平分NCAB,交CD于点E,

交BC于点F,若AF=BF,求证：ACEF是等边三角形.

30.如图，点D在线段BC上，ZB=ZC=ZADE=60°,AB=DC,

求证：△ADE为等边三角形.

AD±ACfAE±AB.

⑴求NC的度数;

(2)求证：VADE是等边二角形.

32.如图，在犯△A5C中，ZACB=90°,。是A5上的一点，BD=BC,过点。作A3的垂

线交AC于点E,CD交BE于点F.

C

E

（1）求证：BE垂直平分CD；

⑵若点。是AB的中点，求证：△C5O是等边三角形.

能力培优练

【题型一：等腰三角形与折叠问题】

33.如图，等边△ABC的边长为1cm,D、E分另ijAB、AC是上的点，将AADE沿直线DE

折叠，点A落在点A，处，且点A，在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cm

34.如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点。落在边上，其中折痕分

别交边AB,4c于点E,F,连接。瓦。尸.若DFLBC,则-4EF的度数是（）

DC

A.15°B.30°C.45°D.60°

35.如图，己知等边VABC中，点。、E分别在边AB、BC上,把ABDE沿直线DE翻折，

使点B落在点所处，DB，、班，分别交边AC于点尸、G,若NAT*=80。，则/GEC的度数

为.

试卷第10页，共18页

A

B/>E\C

36.如图，AABC中，ZACB=90°,AC<BC,将AABC沿EE折叠，使点A落在直角边

8c上的。点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、F,如果折叠后△CZ）b与△由汨均为

等腰三角形，那么NB=

【题型二：等腰三角形与动点问题】

37.如图，在VABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点8出发以每秒3cm速度向点A

运动，点。从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个

动点也随之停止，当△APQ是以尸。为底的等腰三角形时，运动的时间是一秒.

38.如图，在VABC中，AB=AC=24cm,3c=16cm,点。为48的中点，点尸在线

段BC上以4厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上由C点向A点运动.当

点。的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与VCQP全等.

39.如图，在VA3C中，AB=AC=2,ZB=40。，点。在线段8C上运动（。不与8、C重

合），连接AD,作乙4。后=40。,。“交线段47于月

A

⑴当ZBZM=U5。时，NS4D=_。；点。从8向C运动时，/3ZM逐渐变_（填“大”或“小”）；

⑵当。C等于多少时，AABDSDCE,请说明理由;

（3）在点。的运动过程中，VADE的形状也在改变，判断当/3QA等于多少度时，VADE是

等腰三角形.

40.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、QABC

边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-2方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点2

开始沿B-CTA方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.

（1）当点。在边8c上运动时，出发几秒后，APOB是等腰三角形？

（2）当点。在边C4上运动时，出发几秒后，ABCQ是以BC或8。为底边的等腰三角形?

【题型三：等腰三角形中的分类讨论问题】

41.已知等腰三角形的两边长分别为a、b,且。、6满足（0-2）2+|6-3|=0,则此等腰三角

形的周长为（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

42.等腰三角形的一个内角是70。，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（）

A.20°B.35°C.20°或35°D.30°或35°

43.若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）

A.15°B.75°C.15。或75。D.无法确定

44.已知一个等腰三角形的周长为45cm,一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两

部分，则这个等腰三角形的底长为.

【题型四：等边三角形中的最值问题】

45.如图，点B为线段AQ上的动点，42=8,以A3为边作等边VABC,以为底边作

试卷第12页，共18页

等腰则尸。的最小值为（）

46.如图，VABC是等边三角形，是3C边上的高，E是AC的中点，P是上的一个

动点，当尸C与PE的和最小时，ZACP的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

47.如图，将等边AA8C折叠，使得点2恰好落在边AC上的点。处，折痕为EF,。为折

痕EF上一动点，若AO=2,AC=6,小。。周长的最小值是（）

48.如图，在等腰VABC中，AB=AC=20,BC=32,△ABD是等边三角形，P是NBAC

的平分线上一动点，连接PC,PD,则PC+尸。的最小值为.

A

【题型五：等边三角形与平面直角坐标系问题】

49.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(L0),以线段为边在第四象限内作等边

三角形AO3,点C为无轴正半轴上一动点(OC>1),连接8C,以线段为边在第四象限内

作等边三角形连接DA并延长，交y轴于点E.

⑴求证：OC=AD-,

(2)在点C的运动过程中，NC4D的度数是否会变化？如果不变，请求出N0LD的度数；如

果改变，请说明理由；

(3)当点C运动到什么位置时，以A、£,C为顶点的三角形是等腰三角形？

50.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段为边在第四象限内作等边

三角形AO3,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段为边在第四象限内

作等边三角形C3D,连接D4并延长，交y轴于点E.

试卷第14页，共18页

(2)在点C的运动过程中，NC4D的度数是否会变化？如果不变，请求出NC4。的度数；如

果改变，请说明理由；

(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？

51.如图，在平面直角坐标系中，AAOP为等边三角形，4(0,2),点8为>轴上一动点，

以3P为边作等边△P3C,延长C4交x轴于点E.

(1)求证：OB=AC；

(2)/C4P的度数是二(直接写出答案，不需要说明理由.)

(3)当3点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变,

请说明理由.

52.如图，平面直角坐标系中.A点在y轴上，B(.b,0),C(c,0)在x轴上，ZB4C=60°,且

b、c满足等式+%)c+c2=0.

(1)判断VABC的形状，并说明理由；

⑵如图1,E为延长线上一点，连尸C,若NGFC+NACG=60。.求证：FG平分N/WC；

⑶如图2,VBDE中,DB=DE,ZBDE=120°,M为AE中点，试确定DM与CM的位置

关系.

3创新题型练

【题型一：等腰三角形的性质与判定的综合】

53.如图，在VABC中，AB=AC,点。,E,E分别在A8,BC,AC边上，且3E=CF,3Z)=CE.

(1)求证：ADEF是等腰三角形；

⑵求证：ZB=ZDEF-,

⑶当NA=40。时，求NDE尸的度数.

54.如图，在VA3C中，点、D,E分别在BC,AB边上，AE=AC,ADLCE,连接。E.

(1)求证：ZDEC=ZDCE；

(2)若AC=BC,BE=CE.

①求的度数；

②试探究4B-AC与2C-DE的数量关系，并说明理由.

(2024春•重庆江北•八年级校考期中)

55.如图，在RtAACB中，ZACB=90°,NCBA与一C钻的平分线相交于点E,延长AE

交于点。，过点E作EF上AD交AC于尸，作EG〃交AC于点G.

(1)求证：△g■为等腰三角形;

⑵求证：AF+BD=AB.

试卷第16页，共18页

(2024春・广东广州•八年级校考期末)

56.如图，四边形ABCZ)中，ZDCB+ZCBA=180°,过点D作NC£)E=NC4B,DE与C

交于点2与AC交于点H.

备用图

(1)求证：VCHD为等腰三角形；

(2)若E为BC中点，猜想AH,与三者的数量关系.并证明之

【题型二：等边三角形的性质与判定的综合题】

57.在VABC中，AB=BC,Z4BC=60。，8。是AC边上的高，点E为直线BC上点，且

CE=AD.

AA

BECBCE

图1图2

⑴如图1,当点E在边3C上时，求证：ACDE为等边三角形；

(2)如图2,当点E在BC的延长线上时，求证：ABDE为等腰三角形.

58.如图，已知VABC是等边三角形，点。是BC边上一点.

AA

B//\A

°DtsD

备用图

(1)以AD为边构造等边VAOE(其中点。、E在直线AC两侧)，连接CE,猜想CE与A3的

位置关系，并证明你的结论；

⑵若过点C作CN〃AB,在CM上取一点连接A产、DF,使得NAD尸=60。，试猜想

△ADb的形状，直接写出你的结论.

59.如图，点。是等边VA2C内一点.将ABOC绕点C顺时针方向旋转60。得△ADC,使

得ABOC%ADC,连接OD.已知/AO3=110。，设/BOC=(z.

(1)发现问题：发现NOAD的大小不变为_。.

(2)分析问题：当a=150。时，分析判断△49。的形状是一三角形.

(3)解决问题：请直接写出当a为_度时，△AOD是等腰三角形.

60.已知线段于点8,点O在直线/上，分别以A3、4。为边作等边三角形A3C和

等边三角形ADE,直线CE交直线/于点尸.

(1)当点F在线段上时，如图①，直接写出OF,CE,CF之间的关系.

(2)当点尸在线段的延长线上时，如图②，当点尸在线段的延长线上时，如图③，请

分别写出线段CE、CP之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明.

试卷第18页，共18页

参考答案

1.B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据等腰三角形的性质,

。=幽二华些=25。，再由三角形外角的性质，即可求解.

2

【详解】解：：AB=AC,NA4c=130。，

,ZC=1800-ZBAC=25%

2

DA±AC,

：.ZC4D=90°,

ZADB=ZC+ACAD=115°.

故选：B

2.B

【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

根据已知可得3D+CD=5,从而可得AB=AC=5,然后利用等腰三角形的三线合一性质

进行计算即可解答.

【详解】

解：：BC=3,且ABDC的周长为8,

BD+CD=8-3=5,

,**AD=BD,

JA£>+DC=5,

・•・AC=5,

*：AB=AC,

：.AB=5f

VAD=DB,DE±AB,

：.AE=-AB=2.5,

2

故选：B.

3.B

【分析】由VABC是等腰三角形，AD13C于点。，得到2O=C£>=：8C,

答案第1页，共50页

ZADB=ZADC=90°,又由AD=AD得至！jAABD丝△ACD(SAS),贝US.=S⑷c=，

由2^^=；48.0瓦5“虚=：4^3E得到:4小£)£乂2=；4。2/，则3/=2DE，即可得

到答案.

【详解】解：：AB=AC,

...VABC是等腰三角形，

：AD23C于点。，

ABD=CD=-BC,ZADB=ZADC=90°,

2

•/AD=AD,

：.AABD^AACD(SAS),

••S^ADB=Sgc=5s融c，

S△AUDDB=2-ABDE,SZ^/1CADCB=2-AC-BF,

：.-ABDEx2=-ACBF,

22

/.BF=2DE,

•/DE=5cm,

：.BF=10cm.

故选：B.

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

等腰三角形的判定和性质是解题的关键.

4.31

【分析】先根据AELBD,ZDAE=28。，求得乙4£>8=90。-28。=62。，再根据直角三角形斜

边中线等于斜边的一半得到加>=4，从而得到NABZANBA。，即可由三角形内角和定理求

得N8AZ)=59°,从而由求解.

【详解】解：：AE_LBD,NDAE=2/,

：.ZADB=90o-28o=62°,

VABC=900,AD=DC,

：.BD=AD,

：.ZABD=ZBAD,

答案第2页，共50页

：.ZBAD=^(180°-ZADB)=1(180°-62°)=59°,

ZBAE=ZBAD-ZDAE=59°-2S°=31°,

故答案为：31.

【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出

的度数是解题的关键.

5.见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的

判定是解题的关键.

利用AAS证明APBDRPCE即可.

【详解】证明：；PErAC,

：.ZPDB=APEC=90°,

AB=AC,

：.NB=NC,

是边BC的中点，

PB=PC,

ZPDB=ZPEC

•：<ZB=ZC,

PB=PC

:.APBD^APCE,

PD=PE.

6.见解析

【分析】由等腰三角形性质，得/ABC=ZACB,由角平分线定义，得NDBC=NECB,进

而NECB=N尸,得证EC〃DF.

【详解】证明：：VABC为等腰三角形，AB=AC,

：.ZABC^ZACB.

又,：BD、CE为底角的平分线，

ZDBC=-ZABC,ZECB=-ZACB,

22

NDBC=/ECB.

,：NDBC=NF,

答案第3页，共50页

ZECB=NF,

：.EC//DF.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定；掌握等腰三角形等边对等角性质是解

题的关键.

7.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定

和性质是解题的关键.

(1)根据/CBE+/C=90。，ZGW+ZC=90°,得出/CBE=/C4D,再根据等腰三角形

的性质得出/皿＞=/8"＞即可得证结论；

(2)根据A4S证ABCE丝AAFE,得出AF=3C,根据3c=2%),即可得证结论.

【详解】(1)证明：：AS=AC,A£＞是2C边上的中线，

ZCAD=ZBAD,ADJ.BC,

BE±AC,

..Z.CBE+ZC=90°,ACAD+"=90°,

NCBE=NCAD,

：.NCBE=NBAD.

(2)证明：由(1)知=ACAD=ABAD,那么/CBE=/C4D,

在ABCE和AAFE中，

ZCBE=ZCAD

＜NBEC=ZFEA=90°,

CE=EF

：.ABCE沿^AFE(AAS),

：.AF=BC,

是BC边上的中线

/.BC=2BD,

AF=2BD.

8.(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)先证明=再根据A45可证ADCE冬ACB尸；

答案第4页，共50页

(2)过点。作CH_LBD于点H,根据等腰三角形的性质可得ZBS=ZDCH,BH=DH,

再证明NACD=NQCH,根据角平分线的性质可知。E=,进一步即可得证.

【详解】(1)证明：vDElAC,BF±AC,

ZDEC=ZCFB=90°,ZBFA=90°,

♦.・NA=45。，

二.NAB尸=45。，

•・•BC=CD,

:"DBC=/BDC,

•.•ZDBC=ZABF+ZFBC,ZBDC=ZA+ZDCE,

..NFBC=NDCE,

在ADCE和VCB厂中，

/DEC=NCFB

</ECD=/FBC,

BC=CD

.•.△DCE^ACBF(AAS)；

(2)证明：过点。作CHLBD于点H,如图所示:

:.ZBCH=NDCH,BH=DH,

­.•AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

・・・ZFBC=ZDCE,

:.ZBCD=ZABF=45°f

ZDCH=22.5°,ZBDC=(180°-45。)+2=67.5°,

/.ZACD=67.5°-45°=22.5°,

:.ZACD=ZDCH,

答案第5页，共50页

DEIAC,CH1BD,

:.DE=DH,

:.DE=-DB.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的

判定和性质是解题的关键.

9.C

【分析】根据△ABC中，AB=AC,/ABC=36。，。、E是BC上的点，/BAD=/DAE=NEAC

这些条件，再根据三角形的内角和是180。和等腰三角形的性质，求出各个角的度数，即可

判断.

【详解】解：因为在AABC中，AB=AC,所以AABC是等腰三角形，

因为NBAO=NZME=NEAC=(180°-36°-36°)+3=36。，所以△AB。、AADE,AAEC

是等腰三角形，

又因为/血后=/01。=36。+36。=72。，ZBEA=ZCDA=180°-72°-36°=72°,所以/BAE

=ZCAD=ZBEA=ZCDA=12°,

所以△BAE、ACAD是等腰三角形，一共有6个.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由

已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键.

10.B

【分析】根据在VABC中，ZABC=60°,ZACB=45°,利用三角形内角和定理求得

=75°,然后可得等腰三角形.

【详解】•••A。是边8c上的高线，

ZADC=ZADB=90°,

•/ZABC=60°,

ZC=45°,

Z.BAD=90°-ZABD=30°,

ZDAC=90°-ZC=45°

•••△ADC是等腰三角形，

,/BE是ZABC的平分线，

答案第6页，共50页

/ABF=ZCBE=-ZABC=30°

2

/.ZABF=ZBAD.

，A4跳■是等腰三角形，

则NBEA=ZEBC+/C=45°+30°=75°,

而ZBAC=180°-60°一45°=75°=ZBEA,

故△加狙为等腰三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定,

解题关键是要熟练掌握这些基础知识.

11.C

【分析】根据等腰三角形的判定即可确定.

【详解】解：如图所示：

满足条件的点C有6个，

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键.

12.D

【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论.

作A3垂直平分线与AC相交于点P,可得上4=PB,

答案第7页，共50页

以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有斗g两个交点，可得々A=AB,P2A=AB,

以8为圆心，为半径画圆，交AC有鸟一个交点，可得％4=超，

符合条件的点尸共有4个.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图，分

情况讨论.

13.见解析

【分析】根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到ZADE=ZBAD,

等量代换得到于是得到结论.

【详解】解：:△ABC是等腰三角形，AB=AC,是底边BC上的中线，

ZBAD=ZCAD,

'：DE//AB,

：.ZADE=ZBAD,

：.ZADE=ZCAD,

：.AE=ED,

.••△AED是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的

判定和性质定理是解题的关键.

14.见解析

【分析】首先依据等腰三角形的性质得到然后结合对顶角的性质可得到

ZBDE=ZCEF,接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到

ZA=ZC,最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可.

【详解】解：'：BD^BE,

：.NBDE=/BED

又；NBED=/CEF,

：.NBDE=NCEF

XVDFXAC,

ZA+ZBDF=90°,ZC+ZCEF=90°,

ZA=ZC,

答案第8页，共50页

J.AB^BC（等角对等边），

.二△ABC是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关

键.

15.见解析

【分析】根据等边对等角得到/ABC=ZACB,再根据等角的余角相等得到=NOCB,

从而证明03=0C.

此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了三角形内角和，直角三角形两锐角的性质，对各

知识点能够熟练运用是解题的关键.

【详解】证明：=

:.NABC=ZACB；

,；BP,C0是VABC两腰上的高，

ZBQC=ZCPB=90°,

•/ZOBC=90°~ZACB,ZOCB=90°~ZABC,

NOBC=NOCB；

：.OB=OC,

.••△3CO为等腰三角形.

16.见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是

解答此题的关键.

过点。作OG〃AE于点G,利用平行线的性质得出/GDF=/CEF,进而利用ASA得出

△GDF%ACEF,再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可.

【详解】证明：过点。作。G〃AE于点G,

NGDF=NCEF,

在AGDP和ACEF中,

答案第9页，共50页

ZGDF=ZCEF

<DF=EF,

/DFG=NCFE

AGDF^ACEF(ASA),

：.DG=CE

又,；BD=CE,

BD=DG,

:・/DBG=/DGB,

■:DG//AE,

：.ZDGB=ZACB,

：.ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

・・・△ABC是等腰三角形.

17.C

【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出ND4O30。，结合A0等于AE求出NAE。

的度数即可解出/DEC的度数.

【详解】解：在等边△ABC中，。为5C边上的中点，

・・・ZDAC=^ZBAC=3O09

在母4。£中，AD=AE,

：.ZAED=ZADE=^(180°-30°)=75。，

:ZAEZ)+Z£>EC=180°,

.\ZZ)EC=180o-75o=105o,

故选：c.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该

知识并进行合理运用.

18.C

【分析】根据。尸=。£，CG=CD,可得NE=NEFD,ZGDC=ZDGC,NGOC是的

外角，/AC8是AOGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60。，即可得

到答案.

答案第10页，共50页

【详解】解："：DF=DE,CG=CD,

：.ZE=ZEFD,ZGDC=ZDGC,

VAABC是等边三角形，

ZACB=60°

•?ZACB=ZGDC+ZDGC=60°,

：.ZGDC=30°.

又,:ZGDC=ZE+ZEFD,

：.ZE=15°.

故选C

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应

用外角的性质是解题的关键.

19.B

【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，的=/CFE，再由全等三角形的判定

和性质得出AF=EC=3D=2,然后求解即可.

【详解】解：和④跖都是等边三角形，

：.ZA=ZB=ZC=(fi)°,ZDFE=ZDEF=ZEDF=60°,AB=BC=CA,DE=DF=EF,

：.NATO=120。，/CFE+/AFD=120。,

:./ADF=/CFE,

；.AA£>F^ACF£(AAS),

同理得：AADF%CFERBED,

:.AF=EC=BD=2,

：VABC的周长为15,

AB=8C=C4=5,

，BE=BC-CE=5-2=3,

故选：B.

【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形

的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键.

20.—

2

【分析】延长AC,过点。作。尸，AC于点凡先证明AAPE丝ACQF(AAS),得出PE=Q尸，

答案第11页，共50页

AE=CF,再证明△nWE/4"F(AAS),得出石M=FM,即可求解.

【详解】解：延长AC,过点。作。尸，AC于点死

TVABC为等边三角形，

ZA=ZACB=NQCF=60。，

VQFLAC,PELAC,

：.ZPEA=ZF=90°,

在VAPE■和△CQ7中，

ZPEA=NF

<NA=/QCF,

AP=CQ

：.^APE^CQF(AAS),

：.PE=QF,AE=CF,

在△尸河石和△QM/中，

ZPME=ZQMF

<ZPEM=ZF,

PE=QF

：.APMERQMF(AAS),

:・EM=FM,

VAE=CF,AC=m,

：.AC=CE+AE=CE+CF=EF=m,

：.EM=FM=—.

2

故答案为：-y.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握

答案第12页，共50页

等边三角形三个角都是60。，正确画出辅助线，构造全等三角形.

21.见解析

【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定

两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE.

【详解】证明：:△ABC和△ADE是等边三角形，

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°.

ZBAD=ZCAE.

在4BAD与4CAE中，

AB=AC

ZBAD=ZCAE„

AD=AE

.•.ABAD^ACAE(SAS).

；.BD=CE

【点睛】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过

三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键.

22.见解析

【分析】根据等边三角形的性质得到友〃AC,ZACS=60%求得NL®C=30。，根据等

腰三角形的性质得到“=ZD8C=30。，求得NE=NCDE=30。，根据等腰三角形的判定定理

即可得到结论.

本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解

题的关键.

【详解】证明：：台。是等边VABC的中线，

ABD1.AC,ZACB=60°,

"3c=30°,

BD=DE,

：.NE=NDBC=30。，

NCDE+NE=ZACB=60°,

NE=NCDE=30。,

CD=CE.

23.证明见解析

答案第13页，共50页

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等边三角形的性质得

到=AC=AE,44D=NACE=60。，进而由/BAD=NACE得到=

利用“SAS”即可证明ADAC冬ABAE，得到CD=BE,掌握等边三角形的性质是解题的关键.

【详解】证明：•••△ABD,△AEC都是等边三角形，

AD=AB,AC^AE,ZBAD=ZACE=60°,

：.ZBAD+NBAC=ZACE+ABAC,

即ZDAC=ZBAE,

AD=AB

•；J.ADAC=NBAE,

AC=AE

：.4c/△BAE(SAS),

CD=BE.

24.见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，

连接50,即可证明/D3c=30。，根据等腰三角形的性质可证明=再根据三角

形外角的性质，可知NAC3=NCDE+NE,即可求出"BC=NE=30。，最后即可证明

MB=ME.

【详解】证明：如图所示，连接即.

•:CE=CD,

.-.ZCDE=ZE,

;ZACB=/CDE+ZE,

.-.ZE=30°,

:.NDBC=NE=30。,

BD=ED,

答案第14页，共50页

又YDMLBC,

:.MB=ME,

25.D

【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断.

【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意.

②有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意.

③有两个角为60。的三角形是等边三角形，此选项符合题意.

④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选

项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，

解题的关键是熟练掌握基本知识.

26.C

【分析】因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是

60°,则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形.

【详解】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则

可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形，故（3）正确；

其最大角不大于90度，所以是锐角三角形，故（1）正确；

等边三角形是特殊的等腰三角形，故