求形如x+y=xy,求ax+by的最小值多种方法详解E9

已知正数满足5x+22y=19xy,求25x+17y的最小值主要内容：通过替换、代入、柯西不等式、k值换元法、二次方程判别式、导数法及多元函数最值法等，介绍25x+17y在5x+22y=19xy，且x，y为正数条件下最小值的计算步骤。主要公式：1.均值不等式：正实数a,b满足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：对于四个正实数x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))²，等号条件为：cx=by。3.导数公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x²).方法“1”的代换25x+17y=eq\f(1,19)*(25x+17y)*19=eq\f(1,19)*(25x+17y)(eq\f(22,x)+eq\f(5,y))=eq\f(1,19)*(550+85+125*eq\f(x,y)+374*eq\f(y,x))利用均值不等式，则有：25x+17y≥eq\f(1,19)*(550+85+2eq\r(22*5*25*17))即：25x+17y≥eq\f(1,19)*(550+85+10eq\r(1870))则：25x+17y≥eq\f(635+10eq\r(1870),19)。所以：25x+17y的最小值=eq\f(635+10eq\r(1870),19)。方法柯西不等式法对已知条件变形为:eq\f(22,x)+eq\f(5,y)=19，再运用不等式公式：∵(eq\f(22,x)+eq\f(5,y))(25x+17y)≥(eq\r(25*22)+eq\r(5*17))²∴19(25x+17y)≥(5eq\r(22)+eq\r(85))²,即：25x+17y≥eq\f(1,19)*(5eq\r(22)+eq\r(85))²，所以：25x+17y的最小值=eq\f(635+10eq\r(1870),19)。方法二次方程判别式法设25x+17y=t,则y=eq\f(1,17)*(t-25x),代入已知条件得：eq\f(22,x)+eq\f(85,t-25x)=19,方程进行通分有：22(t-25x)+85x=19x(t-25x)19*25x²+(85-19t-550)x+22t=0,方程有解，则判别式为非负数，即：△=(85-19t-550)²-4*19*25*22t≥0，化简得：(19t-635)²≥4*22*5*25*17。要求t的最小值，则对不等式两边开方有：19t-635≥10eq\r(1870),19t≥635+10eq\r(1870)，即tmin=eq\f(635+10eq\r(1870),19)。方法代入法：由已知条件5x+22y=19xy可知：y=eq\f(5x,19x-22)＞0,代入所求表达式有：25x+17y=25x+17*eq\f(5x,19x-22)=eq\f(1,19)*[25(19x-22)+eq\f(22*5*17,19x-22)+635]≥eq\f(1,19)*[635+2eq\r(22*5*25*17))]=eq\f(1,19)*(635+10eq\r(1870))=eq\f(635+10eq\r(1870),19).方法k值换元法设y=kx,k＞0，代入已知条件有：5x+22kx=19xkx，即：x=eq\f(5+22k,19k),则y=eq\f(5+22k,19),代入所求表达式25x+17y有：25*eq\f(5+22k,19k)+17*eq\f(5+22k,19)=eq\f(1,19)[25*eq\f(5+22k,k)+17(5+22k)]=eq\f(1,19)(eq\f(25*5,k)+25*22+17*5+17*22k)=eq\f(1,19)(eq\f(25*5,k)+17*22k+635)≥eq\f(1,19)[2eq\r(22*5*25*17)+635]=eq\f(1,19)*(635+10eq\r(1870))=eq\f(635+10eq\r(1870),19).方法导数法：设所求代数式的最小值为t，则25x+17y=t,求导有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(25,17);对已知条件变形为eq\f(22,x)+eq\f(5,y)=19，求导有:-eq\f(22,x²)-eq\f(5,y²)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(22,5)*(eq\f(y,x))²,所以：-eq\f(25,17)=-eq\f(22,5)*(eq\f(y,x))²，求出：y=eq\r(\f(125,374))x,代入有：5x+22*eq\r(\f(125,374))x=19x*eq\r(\f(125,374))x,即：x=eq\f(110+1\r(1870),95),进一步求出:y=eq\r(\f(125,374))*eq\f(110+1\r(1870),95)=eq\f(85+5\r(1870),323),所以:25x+17y的最小值=25*eq\f(110+1\r(1870),95)+17*eq\f(85+5\r(1870),323)=eq\f(635+10eq\r(1870),19)。方法多元函数极值法设F(x,y)=25x+17y+λ(eq\f(22,x)+eq\f(5,y)-19),分别对参数求偏导数得：Fx=25-eq\f(22λ,x²),Fy=17-eq\f(5λ,y²),Fλ=eq\f(22,x)+eq\f(5,y)-19。令Fx=Fy=Fλ=0,则：25x²=22λ,17y²=5λ,x=eq\r(\f(22λ,25)),y=eq\r(\f(5λ,17))。代入得方程：eq\f(\r(25*22),eq\r(λ))+eq\f(\r(5*17),eq\r(λ))=19,eq\r(λ)=eq\f(1,19)*(eq\r(25*22)+eq\r(5*17)),则：25x+17y的最小值=(eq