高中数学人教B版选修1-1学案3.3.3导数的实际应用

3.3.3导数的实际应用[学习目标]1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化的意识．[知识链接]设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)?答：设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x.令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝eq\f(c,2).故当x＝eq\f(c,2)时，f(x)有最大值f(eq\f(c,2))＝eq\f(c2,4)，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的eq\f(1,4).若设这两个正数分别为a，b，则有eq\f(a＋b2,4)≥ab(a>0，b>0)，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)，当且仅当a＝b时等号成立．[预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是eq\x(优化问题)eq\x(优化问题的答案)eq\x(用函数表示的数学问题)eq\x(用导数解决数学问题)上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x千米，则BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．∴y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(千米)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0.006，于是有p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为eq\f(1,v)小时，所以，航行1海里的总费用为：q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v).q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，∴当v＝20时取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，eq\f(y－25,2)cm，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25.广告的面积S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18000,x－20)＋25))＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，∴S′＝eq\f(18000[x－20－x],x－202)＋25＝eq\f(－,x－202)＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h，得h＝eq\f(V,πR2)，则S(R)＝2πReq\f(V,πR2)＋2πR2＝eq\f(2V,R)＋2πR2，令S′(R)＝－eq\f(2V,R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r(3,\f(V,2π))，从而h＝eq\f(V,πR2)＝eq\f(V,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))))2)＝eq\r(3,\f(4V,π))＝2eq\r(3,\f(V,2π))，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．要点三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f(s,v)，全程运输成本为y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，∴所求函数为y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，定义域(0，c](2)由题意s、a、b、v均为正数．由y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0得v＝eq\r(\f(a,b)).但v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，则当v＝eq\r(\f(a,b))时，全程运输成本y最小；②若eq\r(\f(a,b))>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小，当eq\r(\f(a,b))≤c时，行驶速度v＝eq\r(\f(a,b))；当eq\r(\f(a,b))>c时，行驶速度v＝c.规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式．②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－eq\f(1,8)q.求产量q为何值时，利润L最大？解收入R＝q·p＝qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq\f(1,8)q2，利润L＝R－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0<q<200)L′＝－eq\f(1,4)q＋21令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.所以产量为84时，利润L最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.eq\f(20,3)C．－1D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.eq\r(3,V)B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．∴S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).则x＝eq\r(3,4V)是函数在(0，＋∞)上的一个极值点，且是S的最小值点．3．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为xcm，则箱高h＝eq\f(60－x,2)cm，箱子容积V(x)＝x2h＝eq\f(60x2－x3,2)(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－eq\f(3,2)x2令V′(x)＝60x－eq\f(3,2)x2＝0，解得x＝0(不合题意，舍去)或x＝40，因为x∈(0,40)时V′(x)>0，V(x)是增函数，x∈(40,60)时V′(x)<0，V(x)是减函数．所以x＝40时V(x)取极大值，也是最大值，并求得V(40)＝16000.即当底面边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100,x)小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，