苏科版数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解二

整式乘法与因式分解（2）因式分解要点梳理1B.C.D.

选择题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.(a+3)(a-3)=a2-9B.a2-b2=(a+b)(a-b)C.a2-4a-5=a(a-4)-5D.a2-4a-5=(a-2)2-9知识回顾（因式分解）1、因式分解概念

把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.

B等式的特征：左边是

，右边是

.多项式几个整式的乘积知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法

（1）提公因式法：

（逆用乘法分配律）ab+ac+ad=

a(b+c+d)1.系数取各项系数最大公约数；2.字母取各项相同的字母；3.指数取各项最低的.

分解因式：12x2yz-9x3y解:原式=3x2y(4z-3x)公因式括号内项数不变知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法

（2）运用公式法：

把下列各式分解因式：（1）m2-9n2解:原式=

m2-(3n)

2a2－b2=(a＋b)(a－b)

a2

＋2ab+b2=(a＋b)2a2－2ab+b2=(a－b)2平方差公式：

完全平方公式：逆用整式乘法公式(a＋b)(a－b)=a2－b2(a＋b)2=a2＋2ab

+

b2(a－b)2=a2－2ab

+b2=(m+3n)(m-3n)（2）a2b2-2ab+1解:原式=

(ab)2-2ab+12=(ab-1)2第一个数为相同数，第二个数为相反数两项三项注意符号对应知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法

分解因式：x2+6x+5解:原式=

(x+1)(x+5)x2+(p+q)

x+pq=(x+p)(x+q)

*（3）十字相乘法1×51+51.二次项系数是1；

3.一次项系数是常数项分解得到的两个因数之和.2.常数项是两个数之积；

二次三项式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。知识回顾（因式分解）2、因式分解的方法

*（4）分组分解法：

分解因式：x2-y2+ax+ay解:原式=

(x+y)(x-y)+a(x+y)

分组后可以直接提公因式或运用公式进行因式分解（三项以上）整体=

(x+y)(x-y+a)

两两分组3、因式分解的步骤

1、提取公因式（三步：系数、字母、指数.）2、看项数（两项用平方差公式；三项用完全平方公式或十字相乘；四项用分组分解）3、查（检查每个因式是否还能继续分解）知识回顾（因式分解）一提二看三查注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止分解因式：3ax4-3ay4解:原式=3a(x4-y4)一提=3a(x2+y2)

(x+y)(x-y)三查二看=3a(x2+y2)(x2-y2)整式乘法（计算）：(4ab2)

•(5b2)＝20ab3a2(1-3a)=a2-3a3(x+2)(2x-3)=2x2+x-6

(2x+3)(2x-3)=4x2-9

(2x+3y)2=4x2+12xy+

9y2知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）因式分解：12xyz-9x2y=3xy(4z-3x)m2-9n2=(m+3n)(m-

3n)a2b2-2ab+1=(ab-1

)23ax

4-3ay4=3a(x2+y2)

(x+y)(x-y)x2-y2+ax+ay=(m+3n)(m-

3n)积（因式）和（多项式）变形积（因式）和（多项式）除单项式乘单项式等于单项式外变形整式乘法和因式分解是既有联系又有区别的两种变形：整式乘法ab＋ac+ad

a(b＋c+d)

整式乘法a2－b2(a＋b)(a－b)

整式乘法a2±2ab+b2(a±b)

2因式分解因式分解因式分解积和知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）典型例题2例1.把下列各式分解因式因式分解(2)(x-1)(x-3)+1(1)4x(a-b)-8y(b-a)

解:原式=x2-3x-x+3+1多乘多=x2-4x+4合并同类项=(x-2)2完全平方公式

解:原式=4x(a-b)+8y(a-b)减法法则=4(a-b)

(x+2y)提公因式提公因式要提干净因式分解例1.把下列各式分解因式(3)x4-2x2+1解:原式=

(x2-1)2完全平方公式(4)m2+7m-18=

[(x+1)

(x-1)]2平方差公式=

(x+1)2(x-1)2积的乘方(ab)n=anbn解:原式=(m-2)(m+9)分解因式的结果为积的形式-2+9-2×9因式分解例1.把下列各式分解因式(5)3x+x2-y2-3y解:原式=

(3x-3y)

+(

x2-y2)加法交换律结合律(6)a2-

b2-

c2+2bc=3(x-y)

+(

x+y)

(

x-y)提公因式平方差公式=

(x-y)

(3+x+y)提公因式解:原式=

a2-

(b2+c2-2bc)分组分解=

a2-

(b-c)2=

(a+b-c)

(a-b+c)加法交换律结合律完全平方公式平方差公式

两两分组一三分组整体思想

因式分解应用例2.已知

a+b=4，a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为

.原式=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]=(a+b)(a-b+2)=4×(1+2)=1212原式=(a2+2a+1)-(b2-2b+1)=a2+2a+1-b2+2b-1=a2-b2+2a+2b=(a+b)(a-b)+2(a+b)=4×(1+2)=12解法(一)：先分解因式解法(二)：先用乘法公式展开整体代入先用平方差公式分解因式先用完全平方公式展开整体代入=(a+b)(a-b+2)因式分解应用因式分解应用变式1.已知

a+b=4，ab=2,则a3b+2a2b2+ab3的值为

.变式2.已知

a-b=3，b+c=5,则ac-bc+a2-ab的值为

.（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解

的最后结果

；例3.请仔细阅读以下内容，然后回答问题：

下面是某同学对多项式

(x2-4x+2)

(x2-4x+6)

+4进行因式分解的过程：

解：令x2-4x+2=y，则：

原式＝y(y+4)+4

（第一步）

＝y2+4y+4

（第二步）

＝

(y+2)2

（第三步）

＝(x2-4x+4)2（第四步）因式分解应用C(x-2)4(x2-4x+4)2＝[(x-2)2]2=(x-2)4．把括号中的相同部分(x2-4x+2)看做一个整体（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的

；

A．提取公因式

B．平差公式C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式用

x2-4x+2整体替换y转化为简单的二次三项式转化后分解因式整体代入（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)

(x2-2x+2)+1进行因式分解．因式分解应用＝(x2-2x+1)2原式＝y(y+2)

+1解:设x2-2x＝y．把x2-2x看做一个整体＝(y+1)2用

x2-2x整体替换y，并检查能否继续分解＝[(x-1)2]2＝

(x-1)4转化为简单的二次三项式转化后分解因式＝y2+2y+1整体代入例4.已知：a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2b-a2c+b3-b2c=0．试判断△ABC的形状因式分解应用∴

b-c=0或

a2+b2=0(a2b-a2c)

+(b3-b2c)

=0解:

a2b-a2c+b3-b2c=0因式分解(b-c)

(a2+b2)

=0∵a2+b2不可能等于0a2(b-c

)

+

b2(b-c)

=0∴

b-c=0即b=c

，△ABC是等腰三角形2、已知：x2+5y2+4xy-6y+9=0，求xy的值.1、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值.拓展训练3、因式分解：x3-