机械电子工程专业综合考研经典试题及答案解析

机械电子工程专业综合考研经典试题及答案解析机械电子工程专业综合考试注重考察考生对机械、电子、控制等多学科交叉知识的综合应用能力，以下选取五组典型试题及详细解析，涵盖机械原理、机械设计、控制工程、电子技术、机电传动等核心模块，全面反映考研重点与难点。---试题一（机械原理：机构分析与自由度计算）某工业机器人手臂传动机构简化如图所示（注：图中未画出，需文字描述：构件1为主动杆，绕固定铰链A转动；构件2与构件1在B点铰接，构件3与构件2在C点铰接，构件3另一端D与构件4在D点铰接，构件4绕固定铰链E转动；构件5与构件3在F点铰接，构件5另一端G与构件6在G点铰接，构件6绕固定铰链H转动；构件7为滑块，与构件6在I点铰接，并沿固定导轨J做直线运动。已知各转动副均为单自由度铰链，无复合铰链、局部自由度或虚约束）。（1）计算该机构的自由度，并判断是否具有确定运动；（2）若实际测绘中发现构件3与构件5在F点的铰接处存在一个滚子（局部自由度），同时构件2与构件3在C点的铰接处为三个构件共轴铰接（复合铰链），其他条件不变，重新计算自由度。---答案解析（1）自由度计算公式为：\[F=3n-2P_L-P_H\]其中，\(n\)为活动构件数，\(P_L\)为低副数（转动副、移动副），\(P_H\)为高副数（本题无高副，\(P_H=0\)）。步骤1：确定活动构件数。固定构件为机架（包含A、E、H、J等固定点），活动构件为1、2、3、4、5、6、7，共7个，故\(n=7\)。步骤2：确定低副数。转动副包括A（1与机架）、B（1与2）、C（2与3）、D（3与4）、E（4与机架）、F（3与5）、G（5与6）、H（6与机架），共8个转动副；移动副为滑块7与导轨J的配合，共1个移动副。总低副数\(P_L=8+1=9\)。代入公式计算：\[F=3×7-2×9-0=21-18=3\]机构具有确定运动的条件是自由度\(F\)等于原动件数。题目中主动杆为构件1（1个原动件），但计算得自由度为3，原动件数（1）小于自由度（3），因此该机构无确定运动。答案解析（2）修正条件后：-局部自由度：滚子属于局部自由度，需从活动构件中扣除，即\(n=7-1=6\)（原7个活动构件中，滚子为构件5或3的附加自由度，实际活动构件数减少1）；-复合铰链：C点为三个构件（2、3、可能的中间构件）共轴铰接，复合铰链处转动副数为构件数减1，即原C点视为1个转动副，现应为2个转动副（3个构件→2个转动副）。因此总转动副数增加1，原转动副数8变为9；移动副仍为1，故\(P_L=9+1=10\)。重新计算自由度：\[F=3×6-2×10-0=18-20=-2\]负自由度表示机构存在过约束，实际为刚性结构，无运动可能。---试题二（机械设计：齿轮传动设计与强度校核）某数控机床进给系统采用一级直齿圆柱齿轮传动，已知输入功率\(P=7.5kW\)，小齿轮转速\(n_1=1450r/min\)，传动比\(i=3.5\)，单向运转，载荷平稳，寿命要求\(L_h=15000h\)。小齿轮材料为20CrMnTi（渗碳淬火，齿面硬度58-62HRC），大齿轮材料为40Cr（表面淬火，齿面硬度48-52HRC），齿数\(z_1=20\)，\(z_2=70\)，模数\(m=3mm\)，齿宽\(b_1=60mm\)，\(b_2=55mm\)，齿形系数\(Y_{Fa1}=2.76\)，\(Y_{Fa2}=2.18\)，应力修正系数\(Y_{Sa1}=1.52\)，\(Y_{Sa2}=1.76\)，接触疲劳强度极限\(\sigma_{Hlim1}=1500MPa\)，\(\sigma_{Hlim2}=1200MPa\)，弯曲疲劳强度极限\(\sigma_{Flim1}=600MPa\)，\(\sigma_{Flim2}=500MPa\)，安全系数\(S_H=1.1\)，\(S_F=1.2\)，其他系数取标准值（\(K_A=1.0\)，\(K_v=1.1\)，\(K_{H\alpha}=K_{F\alpha}=1.2\)，\(K_{H\beta}=K_{F\beta}=1.3\)，\(Z_H=2.5\)，\(Z_E=189.8\sqrt{MPa}\)，\(Z_\varepsilon=0.85\)，寿命系数\(Z_N1=1.0\)，\(Z_N2=1.05\)，\(Y_N1=0.9\)，\(Y_N2=0.95\)）。（1）校核齿轮接触疲劳强度；（2）校核齿轮弯曲疲劳强度。---答案解析（1）接触疲劳强度校核接触疲劳强度校核公式为：\[\sigma_H=Z_HZ_EZ_\varepsilon\sqrt{\frac{2K_Tu}{bd_1^2(u+1)}}\leq[\sigma_H]\]步骤1：计算转矩\(T_1\)：\[T_1=9550×\frac{P}{n_1}=9550×\frac{7.5}{1450}≈49.3N·m=49300N·mm\]步骤2：计算载荷系数\(K\)：\[K=K_AK_vK_{H\alpha}K_{H\beta}=1.0×1.1×1.2×1.3=1.716\]步骤3：计算小齿轮分度圆直径\(d_1\)：\[d_1=mz_1=3×20=60mm\]步骤4：计算接触应力\(\sigma_H\)：\[\sigma_H=2.5×189.8×0.85×\sqrt{\frac{2×1.716×49300×3.5}{55×60^2×(3.5+1)}}\]先计算根号内部分：分子：\(2×1.716×49300×3.5≈2×1.716×172550≈593,500\)分母：\(55×3600×4.5≈55×16200=891,000\)根号内：\(593500/891000≈0.666\)，根号值≈0.816则\(\sigma_H≈2.5×189.8×0.85×0.816≈2.5×189.8×0.694≈2.5×131.7≈329.3MPa\)步骤5：计算许用接触应力\([\sigma_H]\)：小齿轮：\([\sigma_H]_1=\frac{\sigma_{Hlim1}Z_{N1}}{S_H}=\frac{1500×1.0}{1.1}≈1363.6MPa\)大齿轮：\([\sigma_H]_2=\frac{\sigma_{Hlim2}Z_{N2}}{S_H}=\frac{1200×1.05}{1.1}≈1145.5MPa\)取较小值\([\sigma_H]=1145.5MPa\)结论：\(\sigma_H=329.3MPa<[\sigma_H]\)，接触疲劳强度满足。答案解析（2）弯曲疲劳强度校核弯曲疲劳强度校核公式为：\[\sigma_F=\frac{2KT_1Y_{Fa}Y_{Sa}}{bm^2z_1}\leq[\sigma_F]\]步骤1：计算载荷系数\(K\)（弯曲强度用\(K_{F\alpha}、K_{F\beta}\)，与接触强度相同）：\[K=K_AK_vK_{F\alpha}K_{F\beta}=1.0×1.1×1.2×1.3=1.716\]步骤2：计算小齿轮弯曲应力\(\sigma_{F1}\)：\[\sigma_{F1}=\frac{2×1.716×49300×2.76×1.52}{55×3^2×20}\]分子：\(2×1.716×49300×4.195≈3.432×49300×4.195≈3.432×206,000≈707,000\)分母：\(55×9×20=9900\)\(\sigma_{F1}≈707000/9900≈71.4MPa\)步骤3：计算大齿轮弯曲应力\(\sigma_{F2}\)（注意大齿轮齿数\(z_2=70\)，但公式中用\(z_1\)，因转矩作用在小齿轮，大齿轮转矩\(T_2=T_1i=49300×3.5=172,550N·mm\)，但更简单的方法是利用齿数比修正）：\[\sigma_{F2}=\sigma_{F1}×\frac{Y_{Fa2}Y_{Sa2}}{Y_{Fa1}Y_{Sa1}}×\frac{z_1}{z_2}\]\[=71.4×\frac{2.18×1.76}{2.76×1.52}×\frac{20}{70}≈71.4×\frac{3.837}{4.207}×0.286≈71.4×0.912×0.286≈18.7MPa\]步骤4：计算许用弯曲应力\([\sigma_F]\)：小齿轮：\([\sigma_F]_1=\frac{\sigma_{Flim1}Y_{N1}}{S_F}=\frac{600×0.9}{1.2}=450MPa\)大齿轮：\([\sigma_F]_2=\frac{\sigma_{Flim2}Y_{N2}}{S_F}=\frac{500×0.95}{1.2}≈395.8MPa\)结论：\(\sigma_{F1}=71.4MPa<450MPa\)，\(\sigma_{F2}=18.7MPa<395.8MPa\)，弯曲疲劳强度均满足。---试题三（控制工程：系统分析与设计）已知某机电系统的开环传递函数为：\[G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\]（1）绘制系统的根轨迹图（要求标注关键点：起点、终点、分离点/会合点、渐近线、与虚轴交点）；（2）确定系统稳定时的\(K\)取值范围；（3）若要求闭环主导极点阻尼比\(\zeta=0.707\)，求对应的\(K\)值及闭环极点位置。---答案解析（1）根轨迹绘制步骤1：确定开环极点与零点。开环极点为\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-5\)，无零点，故\(n=3\)，\(m=0\)。步骤2：根轨迹分支数为3，起点为开环极点，终点为无穷远（\(m=0\)）。步骤3：渐近线参数。渐近线数量\(n-m=3\)，渐近线与实轴夹角：\[\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}=60°,180°,300°\(k=0,1,2)\]渐近线与实轴交点：\[\sigma_a=\frac{\sump_i-\sumz_j}{n-m}=\frac{0-1-5}{3}=-2\]步骤4：实轴上的根轨迹段。极点分布在0、-1、-5，实轴上根轨迹段为\((-\infty,-5]\)和\([-1,0]\)（因右侧极点个数为奇数）。步骤5：分离点/会合点。设根轨迹在实轴上的分离点为\(d\)，满足：\[\sum\frac{1}{d-p_i}=0\]即：\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+5}=0\]通分后：\[(d+1)(d+5)+d(d+5)+d(d+1)=0\]\[d^2+6d+5+d^2+5d+d^2+d=0\]\[3d^2+12d+5=0\]解得\(d=\frac{-12±\sqrt{144-60}}{6}=\frac{-12±\sqrt{84}}{6}≈-0.45\)或\(-3.55\)。验证：\(d≈-0.45\)在\([-1,0]\)段内，为分离点；\(d≈-3.55\)在\((-\infty,-5]\)段外（因-3.55>-5），舍去。步骤6：与虚轴交点。令\(s=j\omega\)，代入开环传递函数，闭环特征方程为：\[s(s+1)(s+5)+K=0\]展开得：\[s^3+6s^2+5s+K=0\]代入\(s=j\omega\)：\[(j\omega)^3+6(j\omega)^2+5(j\omega)+K=0\]\[-j\omega^3-6\omega^2+j5\omega+K=0\]分离实部与虚部：实部：\(-6\omega^2+K=0\)虚部：\(-\omega^3+5\omega=0\)由虚部得\(\omega(\omega^2-5)=0\)，解得\(\omega=0\)（对应\(K=0\)，起点）或\(\omega=±\sqrt{5}≈±2.236rad/s\)。代入实部得\(K=6\omega^2=6×5=30\)，故根轨迹与虚轴交点为\(s=±j2.236\)，对应\(K=30\)。根轨迹图关键特征总结：3条分支，起点0、-1、-5，终点无穷远；渐近线夹角60°、180°、300°，交点-2；实轴根轨迹段\((-\infty,-5]\)和\([-1,0]\)，分离点约-0.45；与虚轴交点\(±j2.236\)（\(K=30\)）。答案解析（2）系统稳定条件闭环系统稳定的充要条件是所有闭环极点位于左半s平面。根轨迹与虚轴交点对应\(K=30\)，当\(K<30\)时，所有极点在左半平面，系统稳定；\(K≥30\)时，出现右半平面极点，系统不稳定。因此稳定范围为\(0<K<30\)。答案解析（3）主导极点阻尼比\(\zeta=0.707\)时的\(K\)值阻尼比\(\zeta=0.707\)对应极点与负实轴夹角\(\theta=\arccos\zeta=45°\)，即闭环主导极点位于\(s=-\sigma±j\sigma\)（因\(\zeta=1/\sqrt{2}\)，\(\omega_n=\sqrt{\sigma^2+\sigma^2}=\sigma\sqrt{2}\)）。将\(s=-\sigma+j\sigma\)代入闭环特征方程：\[(-\sigma+j\sigma)^3+6(-\sigma+j\sigma)^2+5(-\sigma+j\sigma)+K=0\]展开计算：\[(-\sigma^3+3\sigma^3j+3\sigma^3+j\sigma^3)+6(\sigma^2-2\sigma^2j-\sigma^2)+(-5\sigma+5\sigmaj)+K=0\]（简化过程：利用\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)，\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，代入\(a=-\sigma\)，\(b=j\sigma\)）实部：\(-(-\sigma)^3+3(-\sigma)(j\sigma)^2+6(-\sigma)^2+6(j\sigma)^2+(-5\sigma)+K\)（更简单方法：直接代入特征方程\(s^3+6s^2+5s+K=0\)，将\(s=-\sigma+j\sigma\)代入，分离实虚部）：实部：\((-\sigma)^3-3\sigma(\sigma)^2+6(\sigma^2-\sigma^2)+5(-\sigma)+K=-\sigma^3-3\sigma^3-5\sigma+K=-4\sigma^3-5\sigma+K=0\)虚部：\(3(-\sigma)^2\sigma-\sigma^3+6×2(-\sigma)\sigma+5\sigma=3\sigma^3-\sigma^3-12\sigma^2+5\sigma=2\sigma^3-12\sigma^2+5\sigma=0\)虚部方程化简：\(\sigma(2\sigma^2-12\sigma+5)=0\)，解得\(\sigma=0\)（舍去）或\(\sigma=\frac{12±\sqrt{144-40}}{4}=\frac{12±\sqrt{104}}{4}≈\frac{12±10.2}{4}\)，取正根\(\sigma≈(12+10.2)/4≈5.55\)（舍去，因主导极点应靠近虚轴）或\(\sigma≈(12-10.2)/4≈0.45\)。取\(\sigma≈0.45\)，代入实部方程：\[K=4\sigma^3+5\sigma≈4×0.091+5×0.45≈0.364+2.25≈2.614\]验证：此时闭环极点为\(s≈-0.45±j0.45\)，另一极点由特征方程根之和为-6（根据三次方程系数，根之和为-6），故第三极点为\(-6-(-0.45+j0.45)-(-0.45-j0.45)=-6+0.9=-5.1\)，远离虚轴，可视为非主导极点，符合主导极点要求。因此\(K≈2.614\)，闭环极点为\(-0.45±j0.45\)和\(-5.1\)。---试题四（电子技术：放大电路分析）图3所示为某机电检测系统中的差分放大电路（注：图中未画出，文字描述：双电源供电，\(V_{CC}=V_{EE}=12V\)，三极管\(T_1、T_2\)参数相同，\(\beta=100\)，\(r_{be}=1.5k\Omega\)，\(R_b=1k\Omega\)，\(R_c=10k\Omega\)，\(R_e=10k\Omega\)，负载电阻\(R_L=20k\Omega\)接于两集电极之间）。（1）计算静态工作点\(I_{CQ1}、V_{CEQ1}\)；（2）计算差模电压增益\(A_{ud}\)、共模电压增益\(A_{uc}\)和共模抑制比\(K_{CMR}\)（dB）；（3）若输入信号\(u_i=u_{i1}-u_{i2}=10mV\)（差模）+\(500mV\)（共模），求输出电压\(u_o\)。---答案解析（1）静态工作点计算差分放大电路静态时，输入信号为0，两管对称，\(I_{BQ1}=I_{BQ2}=I_B\)，\(I_{CQ1}=I_{CQ2}=I_C\)，发射极电流\(I_{EQ1}+I_{EQ2}=2I_E≈2I_C\)（因\(I_E≈I_C\)）。发射极回路方程：\[V_{EE}=I_BR_b+V_{BE}+2I_ER_e≈I_BR_b+0.7+2I_CR_e\]又\(I_C=\betaI_B\)，代入得：\[12=\frac{I_C}{100}×1000+0.7+2I_C×10000\]\[12=10I_C+0.7+20000I_C\]\[20010I_C=11.3\]\[I_C≈0.565mA\]故\(I_{CQ1}=0.565mA\)。集电极-发射极电压：\[V_{CEQ1}=V_{CC}-I_CR_c-(-V_{EE})+V_E\]（因\(V_E=-(I_BR_b+V_{BE})≈-0.7V\)，简化后）更简单方法：\(V_{CEQ1}=V_{CC}-I_CR_c-V_E\)，而\(V_E=-(2I_ER_e-V_{EE})≈-(2×0.565×10-12)=-(11.3-12)=0.7V\)（实际应为\(V_E=I_ER_e-V_{EE}≈0.565×10-12=-6.35V\)，修正计算）：正确计算：发射极电位\(V_E=-V_{EE}+I_{EQ}R_e≈-12+0.565×10=-12+5.65=-6.35V\)集电极电位\(V_{C1}=V_{CC}-I_{CQ1}R_c=12-0.565×10=6.35V\)故\(V_{CEQ1}=V_{C1}-V_E=6.35-(-6.35)=12.7V\)（接近电源电压，合理）。答案解析（2）差模与共模增益计算差模电压增益\(A_{ud}\)：\[A_{ud}=-\frac{\beta(R_c\parallelR_L/2)}{R_b+r_{be}}\]（因负载接两集电极，每管负载为\(R_c\parallel(R_L/2)\)）\[R_L'=R_c\parallel(R_L/2)=10k\Omega\parallel10k\Omega=5k\Omega\]\[A_{ud}=-\frac{100×5}{1+1.5}=-\frac{500}{2.5}=-200\]共模电压增益\(A_{uc}\)：共模信号下，发射极电阻\(R_e\)等效为\(2R_e\)（因两管电流同方向，\(R_e\)上电流为2倍单管电流），故：\[A_{uc}=-\frac{\beta(R_c\parallelR_L/2)}{R_b+r_{be}+2\betaR_e}\]（近似\(2\betaR_e\ggR_b+r_{be}\)）\[A_{uc}≈-\frac{100×5}{1+1.5+2×100×10}≈-\frac{500}{20002.5}≈-0.025\]共模抑制比：\[K_{CMR}=20\lg\left|\frac{A_{ud}}{A_{uc}}\right|=20\lg\left|\frac{-200}{-0.025}\right|=20\lg8000≈20×3.903≈78.1dB\]答案解析（3）输出电压计算输出电压为差模输出与共模输出之和：\[u_o=A_{ud}u_{id}+A_{uc}u_{ic}\]其中\(u_{id}=10mV\)，\(u_{ic}=500mV\)，代入得：\[u_o=-200×10mV+(-0.025)×500mV=-2000mV-12.5mV=-2012.5mV=-2.0125V\]---试题五（机电传动：电机选型与调速分析）某数控机床进给轴需驱动工作台做直线运动，已知工作台质量\(m=200kg\)，最大行程\(L=1m\)，最大速度\(v_{max}=0.5m/s\)，最大加速度\(a=1m/s²\)，摩擦系数\(\mu=0.1\)，传动效率\(\eta=0.8\)，丝杠导程\(p=5mm\)，丝杠转动惯量\(J_s=0.002kg·m²\)，工作台折算到丝杠轴的转动惯量\(J_w=m(p/(2\pi))²\)。（1）计算负载转矩（包括摩擦转矩和加速转矩）；（2）若选用步进电机，步距角\(\theta_s=1.8°\)，最高脉冲频率\(f_{max}=5000Hz\)，校核其能否满足速度要求；（3）若选用直流伺服电机，额定转速\(n=1500r/min\)，额定转矩\(T_N=2N·m\)，过载倍数\(K=2\)，判断是否满足负载要求。---答案解析（1）负载转矩计算步骤1：计算折算到丝杠轴的总转动惯量\(J\)：\[J_w=m\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2=200×\left(\frac{0.005}{2×3.14}\