函数的奇偶性三大题型-2024届高三数学一轮复习讲义

函数的奇偶性三大题型(含答案)

【知识归纳】

一、奇偶性定义

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数兀0的定义域为

偶函数如果▽尤e。，都有一xGD,且N—x)关于y轴对称

="),那么函数八X)就叫做偶函数

一般地，设函数兀0的定义域为A

奇函数如果VxG。，都有一xG。，且V)关于原点对称

=-f(x),那么函数4r)就叫做奇函数

二、判断函数的奇偶性的两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.

(2)判断/(%)与/(-%)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关

系式/(幻+/(-x)=0(奇函数)或/(%)-/(-%)=0(偶函数))是否成立.

【题型研究】

题型一：函数奇偶性的判断

1.下列函数是偶函数的是()

A.y=xB.y=3x2

C.y=-D.y=_r|(xw[O,l])

x

2.下列函数是偶函数且在(0,+oo)上单调递增的为()

A./(x)=x--B./(%)=*C./(%)=4xD./(x)=ln无

x

3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是()

A.f(x)—sinx—2xB./(x)=ln(x—1)+ln(x+1)

C.D-/(x)=7TI

4.设函数/(%)=111|%+3|+111|尤一3|,则f(x)()

A.是偶函数，且在(-8,-3)单调递减B.是奇函数，且在(-3,3)单调递减

C.是奇函数，且在(3,一)单调递增D.是偶函数，且在(-3,3)单调递增

5.函数=)

A.是奇函数B,是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数

1—X

6.设函数/(x)=——，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x—1)+1C./(x+l)-lD./(x+D+l

7.函数/(%)为奇函数，g(%)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是()

A./(x)+g(x)为奇函数B./(x)+g(x)为偶函数

C./(x)g(x)为奇函数D./(x)g(x)为偶函数

题型二：利用奇偶性求值(解析式)

8.设/(x)为定义在R上的奇函数，当"0时，/(x)=2'+2x+6(6为常数)，/(-I)=()

A.-3B.-1C.1D.3

9.已知函数/(乃是定义在[-2,2]上的奇函数,且当xe(0,2]时,f(x)=x2-2x+2,则/(x)的最小值

是()

A.-2B.-1C.1D.2

10.若函数/(x)是在R上的奇函数，当x>0时，=，则/(x)的值域为()

A.(-1,1)B.(-00,-1)51,+00)

C.(-1,0)(0,1)D.(-oo,0)<j(0,+oo)

[x+a,x<0

11.若〃尤)=,,八是奇函数，贝!]()

[bx-l,x>0

A.a—1,b~—1B.a——1,b~1C.a==1D.a——1,b——1

题型三：利用奇偶性解不等式

12.已知偶函数/(x)在。―)单调递增，若/(2)=—2,则满足/(x—1)…—2的％的取值范围是()

A.(-oo,-l)o(3,+c»)B.(ro,—l]53,+oo)

C.[-1,3]D.(-<x),-2]o[2,+co)

41%I

13.已知函数/(x)=丁詈，则不等式/(2x—3)<2的解集是()

l+|x|

A.(1,2)B.(-，-)

C.(­oo,1)D(2,+oo)D.(-oo,—)(—,+oo)

14.函数/(x)在(—，转)单调递减,且为奇函数./⑴=-1,则满足T期(x—2)1的x的取值范围是.()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

6已知定义在(-8,0)=(0,+8)上的奇函数/(x)在(ro,0)上单调递减，且满足/(2)=2,则关于X的不

等式/O)<sin万x+x的解集为()

A.(―℃,—2)LJ(2,-Ko)B.(―2,0)。(2,+co)

C.(-,—2)50,2)D.(-2,0)0(0,2)

16.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当xe[0,+8)时，/(x)单调递减，则不等式

/(2%-1)+/(5%一13)<0的解集为()

A.(2,+co)B.(-oo,-2)C.(-℃,2)D.(-2,+oo)

【自我检测】

17.已知函数/(x)=x\a-2工—2一工)是偶函数，则。=.

18.若/(©=学1+1为奇函数，则实数。=.

e-1

19.定义在R上的奇函数/(x),当％>0时，/(x)=2x-x2,则/(0)+/(—D=.

20.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当XW(F,0)时，/0)=2/一3兀+1,则/(3)=.

21.已知/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，若/(x)+g(x)=2a,则g(—1)=.

22.若函数/(x)="—e",则不等式/(Inx)+/(Inx-l)>0的解集是

3

23.已知函数/(刈=2，+，-2一，的图象关于原点对称，若/(2x—1)>万，则x的取值范围为.

答案和解析

1.【答案】B

【解答】

解：对于A,>=x是奇函数，不符合题意；

对于8,定义域关于原点对称，且满足/(-x)=/(X),是偶函数，符合题意；

对于C,y=工是奇函数，不符合题意；

x

对于。，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，不符合题意.

故选B.

2.【答案】B

【解答】

解：对于A,y(x)=x—工的定义域为｛xl.x*。｝,/(—x)=—/(X),则/(X)为奇函数，不符合题意；

X

对于2,7(x)=即的定义域为R,f(-x)=f(x),则/(x)为偶函数，且在(0,一)上单调递增，符合题

思；

对于C,f(x)=y的定义为[。,内>),不关于原点对称，故/(X)为非奇非偶函数，不符合题意；

对于/0)=111%的定义为(0,+8),不关于原点对称，故/(x)为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：B.

3.【答案】D

【解答】

解：函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，

A尸(x)=cosx—2<0,函数为减函数，不满足条件，排除A；

[x-l>0/、

A由1c得X>1,即函数的定义域为(1，+8),定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条

[x+1>0

件，排除&

C定义域为R,关于原点对称，Cx)=e：e*,/(_x)=£l±£=/(x),函数/(x)为偶函数，不满

足条件，排除G

l-ex

pX_1“r_1~~~l-exex-1

。.定义域为R,关于原点对称，/(%)=--/(-^)=——=T^-r一京-小)，故为奇

xx7r

八e+1e+11+ee+l

函数,

er_1?

/(x)=-~-=1—-—,易得/(x)为增函数.

ex+1ex+1

故选D

4.【答案】A

【解答】

解：函数的定义域为{x|x*3且无3},

则/(-x)=ln|-x+3|+ln|—x-3|=ln|x-3|+ln|x+3|=/(x),则/(x)是偶函数，排除8,

/(尤)=ln|x+3|+ln|x-3|=ln|x+3||_r-3|=ln|V-9|,

当x<—3时，/=/一9为减函数，且。〉0,此时y=ln|r|为增函数，

，此时/(x)为减函数.

故选：A.

5.【答案】B

【解答】

解：原函数的定义域为(-1,1),关于原点对称，

f(x)=(X-1)•=-(1-

V1-XV1-^

=-J(1+x)(l-x),

■■■f(-x)=_J(1-x)(l+x)=/(x),

.•・原函数是偶函数，

故选B.

6.【答案】B

【解答】

.„EAL.、1—x—(x+1)+22

解：因为/(x)=——=———--=-1+——，

1+xl+xX+1

所以函数/(X)的对称中心为(—1,—1),

所以将函数/(X)向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数y=/(x—1)+1,该函数的对称中心为(0,0),

故函数丫=/。-1)+1为奇函数.

故选：B.

7.【答案】C

【解答】

解：./(X),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，

f(-x)=-/(X),g(-x)=g(x).

令G(x)=/(x)+g(x)

贝I]G(-x)=f(-x)+g(—x)=-f(x)+g(x),

.•.G(—x)不一定与G(x)或一G(x)相等,故A、B错误.

令/(x)=/(x)g(x),

贝F(-x)=/(—x)g(—x)=-/(x)g(无)=一产(x),

，尸(x)=/(x)g(x)为奇函数，故c正确，£>错误；

故选：C.

8.【答案】A

【解答】解：由/(x)为R上的奇函数知/(。)=0,得b=—l,

则f(x)=2*+2,x—1,f(1)—3.

又/(-D=-”1)，

所以/(―D=-3.

9.【答案】A

【解答】

解：根据题意，当xe(0,2]时，/(%)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

-/(X)是定义在[-2,2]上的奇函数,则xe[-2,0)时,

.•./(x)G[-2,-1],/(0)=0,

故/(x)的最小值为-2.

故答案为A.

10.【答案】A

【解答】

解：当x>0时，e(0,l),

因为/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=0；

当x<0时，由于/(x)图象关于原点对称，故/(盼€(—1,0),

所以"x)e(—1,1).

故选：A.

11.【答案】C

【解答】

解：易知定义域为{xlxwO},

若了(九)为奇函数，可得f[/(-"I)=-/(l)

[J(-2)=一/(2)

[-l+a=-(b-1)[a=l

即O1八，解得L<

[-2+a=~(2b-1)[b=l

f^+l,x<0八

此时f(x)=।八，经检验/(尤)是奇函数，符合题意.

故选：C.

12.【答案】B

【解答】

解：因为偶函数在。―)上单调递增，

所以/(%)在(-8,0)上单调递减，

又因为/(—2)=—2,

所以/(x—1)…—2=4(—2)=/(2),

所以|xT|..2,

解得尤e53,«»),

故选B.

13.【答案】A

【解答】

4IT4|九I型、

解:因为/(—x)=――;=/(x),定义域为R,

1+1一%Il+1-vl

所以/(x)是偶函数,

4九4

当x..O时，/(%)=——=4--------是增函数，

l+x1+X

又因为/(1)=2,

所以/(2x—3)<2,即f(2x-3)<〃l),Bp/(|2x-3|)</(l),

所以|2x—3|<1,

所以—l<2x—3<1,

解得1<x<2,

所以不等式f(2x-3)<2的解集是(1,2).

故选：A.

14.【答案】D

【解答】

解：函数/(X)在(F,。)单调递减，且/(1)=—1,.•./(-1)=―/(1)=1,由―1颗(X—2)1,得

-1M-21,O3.

故选：D.

15.【答案】B

【解答】解：令gO)=/(x)-sin;rx-x,

贝Ug(-x)=/(-尤)+sin%龙+尤=-g(无)，定义域为(ro,。)o(0,+oo).

即g(©为奇函数，奇函数/(x)在(ro,0)上单调递减，

则/(x)在(0,+8)上单调递减，

因为xe(O,l]时，/(x)>/(2)=2,Oin^-x1,

/.-2,,-sin;rx-尤<0,

所以此时g(x)=/(x)-sin7TX-x>0；

当xw(l,2)时，sin万％,0,f(x)-sinix>2,

所以g(x)=/(x)-sin^-x-%>0；

当x=2时，g(2)=/(2)-sin2^-2=0；

当xe(2,3)时，f(x)</(2)<2,sin^x>0,g(x)=/(x)-sin%x-x<0,

当xe[3,+oo)时，/(x)</(2)<2,-x-sin万x<-2,

所以gO)=/O)-sin%无一尤<。,

所以当xe(2,«>。)时g(x)<。，

由奇函数的性质可知当xe(—2,0)时g(x)<0,

故选：B.

16.【答案】A

【解答】

解:/(%)是定义在R上的奇函数，且在区间。R。)单调递减，

所以/(x)是定义在R上的单调递减函数，

不等式f(2x-1)+f(5x—13)<0等价为/(2x-1)</(—5x+13),

即2x—1>—5x+13,得无>2即不等式的解集为(2,+<»).

故选A.

17.【答案】1

【解答】

解：函数/。)=%3(口.2工-2-*)是偶函数，

y=/为R上的奇函数，

故y=a•2、—2r也为R上的奇函数，

所以无=0时，y=a-20—2°=a—l-0,

所以a=l,经检验，。=1满足题意，

故答案为：1.

18.【答案】1

【解答】

解：因为/(X)==M+l为奇函数，定义域为(-8,0)。(0,+8),

所以八一助=一八月，

.<2+1<2+1

则------+1=---------1,

e-x-lex-l

即(〃+l)e"+]二一

l-exex-l

解得a=l.

故答案为：1.

19.【答案】—1

【解答】解：/(x)是定义在R上的奇函数，/(-%)=-/(%)

.•"(0)=0,/(-1)=-/(1),

又,「当x>0时，f(x)=2X-x*2,

.■./(0)+/(-I)=/(0)-/(I)=0-2+1--1.

故答案为-1.

20.【答案】44

【解答】

解：是