河北省保定市2023-2024学年高二年级下册期末调研考试数学试题（含答案）

河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A=[x\1-x<0},B={x\x2<2},贝!J力nB=（）

A.B.（-VZ1）C.（-VZ—1）D.（1,V2）

2.用数字0比2,3组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（）

A.12B.24C.48D.64

3.若曲线y=/（%）在％=1处的切线的斜率为—3,则lim'⑴△乃=（）

A.—6B.C.1D.6

4.为了研究某产品的年研发费用支（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的关系，该公司统计了最近8

年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出y与％之间有线性相关关

X~~18

系，设其回归直线方程为9.已知=%=200,务=2.若该公司对该产品预投入的

年研发费用为25万元，则预测年利润为（）

A.55万元B.57万元C.60万元D.62万元

5.已知正实数a,b,贝！J“a+bW2”是“a2+必<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.要安排4名学生（包括甲）到A,B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1

名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（）

A.7种B.8种C.12种D.14种

7.已知/■（久+5）为偶函数，若函数y=|无一5|与y=f（K）图象的交点为（久2，%），…，（%9,兀），则

£篙々=（）

A.45B.-45C.90D.-90

8.在平面直角坐标系中，如果将函数y=/（%）的图象绕坐标原点逆时针旋转f后，所得曲线仍然是某个

函数的图象，那么称/（%）为“旋转函数”.下列四个函数中“旋转函数”的个数为（）

①y=-%；②y=ex-1；③y=Zn（x+1）；④y=V%+1-1（%>0）.

A.1B.2C.3D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于（正一与『的展开式，下列说法正确的是（）

A.展开式共有5项

第1页

B.展开式的各项系数之和为-32

C.展开式中的常数项是15

D.展开式的各二项式系数之和为32

10.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2

个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若点数为5或6,则从甲箱中随机摸出1个球不放回；若点数为

1,2,3,4,则从乙箱中随机摸出1个球不放回.下列结论正确的是（）

A.掷骰子一次，摸出的是红球的概率为我

B.掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为言

C.掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为:

D.掷骰子两次，摸出2个红球的概率为黑

11.已知函数/（%）=（%-ae%）（ln%-恰好有三个零点，分别为％%2»%3，且％则下列说法

正确的是（）

A.%2=e/B.%1，%2，%3成等差数列

3

C.X1，K2,％3成等比数列D.^<1

ln%3e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知函数f。）的定义域和值域均为[-3,3],则函数。（%）=2〃2%+1）的定义域和值域分别

为.

13.已知必和无2分别是函数f（久）=a/+/+ax+1的极大值点和极小值点.若句>久2，则a的取值范

围是.

14.如图，一只蚂蚁从正四面体。/BC的顶点。出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶

点，设该蚂蚁经过n步回到点。的概率Pn，则P2=，Pn=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅

读的达标情况，所得数据如下表：

阅读达标阅读不达标合计

女生7030100

第2页

男生4060100

合计11090200

(1)根据上述数据，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?

(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人

中任选2人，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2

附:4团黑搬E其中"=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

2

16.已知函数/(%)=W五+a是奇函数.

(1)求a；

(2)求不等式2丁(久)］2—久)的解集.

17.已知函数/(%)=e*+mx.

(1)若fO)在［0,3］上单调递增，求m的取值范围；

(2)若m=1且经过点(l,a)只可作/(x)的两条切线，求a的取值范围.

18.某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(三类题目知识题量占

比分别为31.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为4I.

(1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得

奖励的概率为依据，甲在九=5和九=6之中选其一，则应选择哪个？

19.若存在实数a,对任意久C。，使得函数〃久)>a久，则称“久)在。上被a控制.

(1)已知函数/(久)=+2a在［2,+8)上被a控制，求a的取值范围.

(2)⑴证明：函数g(x)=2%m(x+1)+在［1,+8)上被1控制.

力_-1-1

(ii)设71eN*,证明：ITI2+ITL3+仇4+…++1)>一«—0—

zzn+z

第3页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：集合A={%|1—x<0}={x|x>1},B—(x\x2<2}—[x\—V2<%<V2},

则4cB={久门<x<V2}.

故答案为：D.

【分析】先解不等式求得集合A、B,再根据集合的交集运算求解即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：用数字0,123组成三位数，各数位上的数字允许重复，则百位数字可选1,2,3有3种选

法；十位数字可选0,1,2,3有4种选法；个位数字可选0,1,2,3有4种选法，故满足条件的三位数的个数有3X

4x4=48个.

故答案为：C.

【分析】由题意，先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理求解即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因为曲线y=/(x)在久=1处的切线的斜率为—3,所以f(l)=—3,

■⑴⑻

则妈/_/(l+2Ax)/(I)—/(1+2

△%—2妈-2/(1)=6.

故答案为：D.

【分析】根据导数的定义和性质求解即可.

4.【答案】A

88

【解析】【解答】解：已知£?=iXt=80,£?%=200,则无=勺=]0,歹=士气尢=25,

=181178

因为。=y-bx―25-2X10=所以y关于X的经验回归方程为夕=2%+5,

故当久=25时，y=2x25+5=55,即若该公司对该产品预投入的年研发费用为25万元，

预测年利润为55万元.

故答案为：A.

【分析】根据已知数据求得元歹，再由@=歹-故求得。以及回归方程，最后令％=25求解预测年利润即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：正实数a,b,取a=*b=满足a+bW2,但02+户=|>2，即充分性不成

立;

层#，可得

a2+b2<2,由生gi0+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立，即必要性成立,

2-

则a+b<2是a?+b2<2必要不充分条件.

故答案为：B.

第4页

【分析】利用基本不等式，结合充分、必要条件的定义判断即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：先把4名学生分成2组，分别为2、2,1、3,

若为2、2时，由于甲不去A乡村，则从另外3人中选一人和甲一起去B村，有回种，

若为1、3时，可能甲单独去B村，或者甲与另外2人去B村，有1+鬣种，

故共有C1+l+C|=7种.

故答案为：A.

【分析】先将4名学生分为2组，分别为2、2或1、3,采用特殊元素分析法求解即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：因为/（久+5）为偶函数，所以函数y=/（久）的图象关于直线x=5对称，

又因为函数y=|尤-5|的图象关于直线％=5对称，所以函数y=|x-5|与y="光）图象的交点关于直线久=5

对称，又因为函数y=|久—5|与y=/（%）图象的有9个交点，所以两函数必都过点（5,0）,即^^々=5x9=

45.

故答案为：A.

【分析】根据题意可得函数y=-5|与y=外久）图象的交点关于直线％=5对称，由中点公式求解即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由题可知，函数y=/（久）的图象与直线y=只能有一个交点；

@y=-x图象绕坐标原点逆时针旋转冷后仍是直线，与直线y=只有一个交点，故是旋转函数，符合

题意；

②、=蜻-1在X=0处的切线方程为、=久，则y=e久-1的图象于旷=字久有2个交点，不符合题意；

③y=ln[x+1）在久=。处的切线方程为y=x,同样不符合题意；

④y=V%+1-1（%>0）在久=0处的切线方程为y=|x,符合题意，

所以“旋转函数”的个数有2个；

故答案为：B.

【分析】根据题意，逐项分析判断即可.

9.【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、（依一用『展开式共有6项，故A错误；

B、令久=1,则展开式的各项系数之和为（i—,j=_32,故B正确；

C、（依_,）展开式中的通项是G+1=麾（一3）『6（5-『）兀2『=产,r=0,1,2,3,45令谆r=0，则

r=l,即展开式中的常数项为星（-3）=—15,故C错误；

第5页

D、展开式的二项式系数和为25=32,故D正确.

故答案为：BD.

【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法求解即可判断B；根据通项特征求解即可判断

C；由二项式系数和的性质即可判断D.

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、易知掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为仁索而从甲箱子中摸出红球的概率为

63

余从乙箱摸球的概率为2=M而从乙箱子中摸出红球的概率为亲=3

10z63105

则掷骰子一次，摸出的是红球的概率为界*+|xg=G故A错误；

11r

B、掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为X丫=/，故B正确；

10

C、掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为界卜温，故C正确；

D、掷骰子两次，摸出2个红球包含三种情况，

掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为余X*=^;

掷骰子两次，摸出的2个球都来自乙箱的概率为恭*恭建祟

掷骰子两次，摸出的2个球来自甲、乙两个箱的概率为蝎xgxjx白x«=喘，

掷骰子两次，摸出2个红球的概率为吉+祟+余=黑，故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】根据全概率公式，贝叶斯公式计算概率，判断各个选项；

1L【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：令/(x)=(x-aex)(lnx-ax)=0,

即x—aex=0或Inx—ax—0,解得a=或■或a=竽，

问题转化为直线y=a与曲线y=白、y=也有3个交点，且三个点的横坐标依次为皿，x,右，

ex2

且光1<犯<%3，

函数y=竽定义域为(0，+8),y'=上普，

当0<x<e时，y'>0,即函数y=苧单调递增；

当久〉e时，y<0,即函数y=竽单调递减，则当x=e时，函数y=苧取得最大值，

函数y=奈定义域为R，炉=营，

第6页

当x<l时，y'>0,即函数y=*单调递增；当久>1时，y1<0,即函数y=套单调递减,

则当x=1时，函数y=5取得最大值

作出函数了=会与”，的图象，如图所示:

由a=可得X2=ae82,由a=/包,可得久？=也以，

e乙%2。

又冷=是=a=磬=端’且y=会在（0,1）上单调递增‘

又0VV1,1<冗2<巳0<ln&V1，所以比i=ln%2，即％2=?'i，故A正确;

喈=得=。=孕，且丫=叵在9+8）上单调递减，

e乙e乙“3x

ee%2X2

又1<%2<>>e,x3>e,所以％3=e,即％2=ln%3，

故％i%3=lnx2•改=ax2•券=城，故C正确，B错误;

Xy

因为黄■=0,所以In久1—=Ina,

x

rlnl

固3b=Inq—1%=历久i—叼=lna1

lnx,故D正确.

人」lnx3lnx?3aae

z3

故答案为：ACD

【分析】将函数〃久）的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线y=a与曲线y=*和丫=苧交

于三个点，且三个点的横坐标依次为久1，K2,％3,且％1<犯<%3,利用导数研究两个函数的单调性和最值,

逐项判断即可.

12.【答案】[—2,1],[—6,6]

【解析】【解答】解：函数〃久）的定义域和值域均为[-3,3],

则g（x）=2/（2K+1）要有意义，只需—3<2%+1<3,解得—2<x<l,

即函数g（x）的定义域为[-2,1],

因为—3<2x+l<3,所以—3<f（2久+1）<3,所以g（x）=2f（2x+1）e[-6,6],

即值域为[—6,6].

故答案为：[—6,6].

【分析】根据抽象函数的定义域的求法以及函数值域的概念求解即可.

13.【答案】（-孚,0）

【解析】【解答】解：函数/'（久）=a/+/+。久+1定义域为R,/（无）=3a/+2久+a，

第7页

因为和冷分别是函数fO）的极大值点和极小值点，所以巧,久2是方程/'（久）=3ax2+2x+a=0的两个不等

实根，即A=4-12a2>0,解得一空<a<*，

又因为%1>%2，所以/（%）=3ax2+2%+a为开口向下的二次函数，即a<0,

而当。=0时，原函数只有一个极值点，矛盾，

当a>0时，/（%）在（一8,%2）单调递增，在单调递减，

在（久1，+8）单调递增，这与题干矛盾，即a的取值范围（-孚,0）.

故答案为:（-孚,o）

【分析】求导，根据导函数与原函数的极值间的关系，结合二次函数的性质求解即可.

14.【答案qi-ic-F1

【解析】【解答】解：由题可知，在第1步后蚂蚁位于B、C、4点的概率分别为%

则经过2步回到点0的概率P2Xj+jxj+=

因为pn+i岩（i_pn）,所以P"+i—]=—<（pn—3，则N?=T，

卜九4

即数列｛匕-3是公比为T的等比数列，

又因为PLAV，PLA（T）（T『，所以P—APT尸

故答案为：*Mc-F1-

【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解P2；根据递推关系可知｛2-3是公比为-/的等比数列，由等比

数列通项求解即可.

15.【答案】（1）解：零假设为Ho：阅读达标情况与性别无关，

2200x（70x60—30x40）/2001Q1Q„inQQQ

*=100x100x110x90=TT^18.182>10,828=Xo.ooi）

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断/不成立，

即认为阅读达标情况与性别有关联；

（2）解：根据分层抽样可知：抽取的女生人数为d^x6=2,男生人数为溜x6=4,

60+3U6U+3U7T

X的可能取值为0,1,2,

P（X=0）=q=|,P（X=1）=^R=白20=2）=4=总，

则X的分布列如下：

X012

第8页

P281

51515

no-1n

E(X)=0x^+lx+2xYG=W

【解析】【分析】(1)先进行零假设，再计算必，根据小概率值a=0.001的独立性检验判断即可;

(2)由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.

(1)零假设为Ho：阅读达标情况与性别无关，

200x(70x60-30x40)2200

X27=«CC«CC«Tc7775=«T~18,182>10.828—X1

100X100X110X9011o00

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断Ho不成立，

即认为阅读达标情况与性别有关联.

(2)由题可知抽取的女生人数为市备x6=2,抽取的男生人数为不备x6=4,

60+3U60+3U

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=q=I，P(X=1)=支f=白,P(x=2)=冬=去,

所以X的分布列如下:

X012

P281

51515

2o-1Q

故E(X)=0x,=1+1x+2x

JYEJYEJ=?J

16.【答案】(1)解：易知/(x)的定义域为R,

72

因为函数/(久)=舌+。是奇函数，所以/(0)=舟+a=0,解得a=—1,

D十J*J十_L

22*3”一3=一1_3*-1_3*+1-22

则函数/(久)=普一1,满足〃一久)=-11----=―/(%)，

3-x+13X+1—3X+1-3“+13x+1

则a=-1；

(2)解：因为函数/(%)是奇函数，所以/(—%)=—/(%),

由2[/(久)]2</(-%)，可得2[/(久)]2<-/(%),即fQ)[2f(久)+1]<0,解得—/</(%)<0,

即_*W3久1]-1W°，贝“3+1，解得

''("TWO

则不等式2[/(久)]2—久)的解集为[0,1].

【解析】【分析】(1)根据函数为奇函数，利用"0)=0求值，再检验即可；

(2)利用奇偶性转化为求f(x)[2〃£)+1]<0的解集，代入解析式求解即可.

(1)因为3"+1。0,所以/(久)的定义域为XCR,

第9页

72

函数〃%)=—+a是奇函数，所以/(0)=冢一;+a=0,

1十人3十J.

2

解得a=—l,可得fO)=套五一1，

2x3久一3"一1_3久-1_3久+1-2

当xER时，f（—%）=—=Y----1=

）''3X+13X+1~~―3X+1―3久+1

2

=1-=-AO），

3久+1

所以/'(久)是奇函数，故a=-1；

（2）因为/（%）是奇函数，所以/（—久）=—/（久）,

由2［/（%）］2</（-尤）得2［/（久）］2<-/（%）,

可得〃久）［2〃久）+1］<0,解得—2W/（%）<0,

-上号-1

即w3*；i—1,3可得

----1<0

3+1

解得0<x<1,

所以不等式2丁(久)产久)的解集为［0,1］.

17.【答案】(1)解：因为八支)在［0,3］上单调递增，所以,(久)20在［0,3］上恒成立，

即"+血20,m>—ex在［0,3］恒成立，

设9(x)=-e%,易知gO)在［0,3］上单调递减，

则gOOmax=9(。)=一L血2-1，即血的取值范围为［一1,+8)；

(2)解：若m=1,贝!Jf(%)=靖+x,/(%)=ex+1>

设切点坐标为8〃+ri),则切线方程y-(en+n)=(en+l)(x-n),

把(l,a)代入切线方程得：a-(en+n)=(en+1)(1—九)=a—1=(2—n)en,

设h(7i)—(2—n)en,则％(n)=(1—n)en»令h(n)=0得九—1>

当n<l时，h'(n)>0，当n>l时，h'(n)<0，

所以无01)在(-8,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，所以/l(71)max=旗1)=e,

当nr-8时，h(n)=0,当nr+8时，h(n)->-oo,

依题意过(1,a)存在两条切线，即方程a-1=(2-九加71有两解，根据八(九)的图象可得:

0<a-1<e,即l<a<e+l.

第10页

【解析】【分析】(1)/(%)N0在［。，3］上恒成立，分离参数转化为函数最值问题求解即可；

(2)设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程a-1=(2-n)〃有两个解的问题，利用导数研究函数的

性质画出无5)=(2-九)〃图象，数形结合求解即可.

(1)因为八支)在［0,3］上单调递增，所以，(乃20在［0,3］上恒成立，

即e*+m>0=>m>—ex在［0,3］恒成立，

设g(x)=-ex,显然g(K)在［0,3］上单调递减，

所以g(K)max=9(°)=一L所以5•2-1.

(2)若zn=1,则/'(久)=ex+x,/(%)=ex+

设切点坐标为(弭出+n),则切线方程y-(en+n)=(en+1)(%-n),

把(1,a)代入切线方程得：a-(en+n)=(en+1)(1—n)=a—1=(2—n)en,

设/i(n)=(2-ri)en,则/i(n)=(1—n)en)令h(n)=0得九—1,

当n<l时，h'(n)>0，当n>l时，>(冗)<0，

所以八(71)在(-8,1)上单调递增，在。+8)上单调递减，所以h(7i)max=旗1)=e,

当nr—8时，h(n)=0,当n—+8时，h(n)-oo,

依题意过(La)存在两条切线，即方程a-1=(2-九加71有两解，根据八(九)的图象可得：

0<a-1<e,即l<a<e+l.

18.【答案】(1)解：设甲所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件Ai，A2,A3,所

选的题目回答正确为事件B,

则P⑻=P(&)P(B|4i)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=X|+1X1Xj=

即该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为:；

(2)解：当n=5时，X为甲答对题目的数量，则X〜B(10,p),

第工1页

故当几=5时，甲获奖励的概率Pi=P(X=5)+P(X>6),

当n=6时，甲获奖励的情况可以分为如下情况:

①前10题答对题目的数量大于等于6,

②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题,

③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对，

故当九=6时，甲获奖励的概率

111

P2=P(X26)+P(X=5)Xl-ll-2Ixll+p(x=4)x2x2

=P(X>6)+*2P(X=5)+^1P(X=4),

P2—P1=〃P(X=4)—〃P(X=5)=/卜0Q)10-日0Q)10]<0,即P2<Pi，

所以甲应选n=5.

【解析】【分析】(1)由题意，由全概率公式求解即可；

(2)当九=5时，X为甲答对题目的数量，则X〜B(10,p),求出概率，当n=6时，分情况分析，求出概率,

再比较大小.

(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件41，A2,人3，

所选的题目回答正确为事件B,

则P(B)=P(4)P(B|4)+P(A2)P(BIA2)+P(&)P(B|4)

12,11121

=4X3+2X3+4X3=2，

所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为今

(2)当九=5时，X为甲答对题目的数量，则X〜B(10,p),

故当n=5时，甲获奖励的概率Pi=P(X=5)+P(X>6),

当几=6时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：

①前10题答对题目的数量大于等于6,

②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题,

③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对，

故当九=6时，甲获奖励的概率

11

P2=P(X>6)+P(X=5)x+P(X=4)x,x,

=P(X>6)+#3(X=5)+41P(X=4),

[1[/[、10、1°

P2-P1=3P(X=4)/P(X=5)=W一脸⑥<0,即P2<Pi，

所以甲应选n=5.

19.【答案】(1)解：令F(久)=〃%)一ax=3e”一。久+2a,%G[2,+oo),=3ex-a，

第工2页

当aM3e2时，F(X)>0，则F(x)在［2,+8)上单调递增，因为F(2)=3e?>0,所以F(久)>0恒成立；

当a>3e2时，令尸'(%)=3d—a=0，解得％=1琮>2,则FQ)在(2,呜)上单调递减，在(呜,+8)上单调

递增，

且F(无)min=F(in蜀=3a-aln^>0,解得3e2<a<3e3,

综上所述，实数a的取值范围是(-8,3e3)；

(2)证明：(i)要证明函数g(x)=2而i(%+l)+击在［1,+8)上被1控制,

11

只需证明2%仇(％+1)+—j-r>X,XE［1,+00),即证2bl(%+1)+丫77*［、一1>。，

X~r1