江苏省南京市某中学河西分校2024-2025学年九年级上学期10月限时练习数学试卷（解析版）

初三年级数学限时练习试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

1.已知一元二次方程/一＞=°,它的解是（）

A.0B.1C.0,-1D,0,1

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练运用因式分解法解一元二次方程是正确解决本题的

关键.

将方程左边分解因式得到1一口=°,再解两个一元一次方程即可.

【详解】解：『一1=0,

分解因式得x（x-l）=°,

..x-1-0,X=0,

解得占=L

故选D.

2.关于x的方程F-lv-加'=0（加为常数）的两实数根之和是（）

A.2B.-2c.m1D.-m3

【答案】A

【解析】

b

【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于3、两根之积等于3是解

题的关键.

由根与系数的关系可直接求得玉+与=?.

【详解】解：历是一元二次方程/一2x-m2=0的两实数根，

...X】+*2=-,

故选：A.

3.某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x,则可列方程（）

A.144（1+x）2=81B.144（1-%）2=81

C.81（1+x）2=144D.81（1-%）2=144

【答案】B

【解析】

【详解】利用经过两次降价后的价格等于原价乘以（1-平均每次降价的百分率）的平方，即可得出关于

x的一元二次方程，此题得解.

【分析】解：依题意得：144（1-x）2=81.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

4.在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同.其中一位同学要

知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（）

A.平均数B.加权平均数C.众数D.中位数

【答案】D

【解析】

【分析】根据中位数的特点，参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的

中位数即可.

【详解】解：根据题意，由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平

均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数是多少.

故选：D.

【点睛】本题考查中位数，理解中位数的特点，熟知中位数是一组数据从小到大的顺序依次排列，处在最

中间位置的的数（或最中间两个数据的平均数）是解答的关键.

5.如图，正方形EBCD、等边三角形幺即内接于同一个圆，则前的度数为（）

A.15・B.30°c.45。D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定

理求出砺所对的圆心角的度数是解决本题的关键.

由/3.40=90°,/及60。，已知图形是以正方形也00的对角线力。所在直线为对称轴的轴对称图

形，求得/&4E=15°,则砺所对的圆心角为30°,所以砺的度数为30°.

【详解】解：•.•四边形幺BCD是正方形，二顶是等边三角形，

.-.Z5AD=90o,N及49・60°,

v已知图形是以正方形E8CD的对角线力。所在直线为对称轴的轴对称图形，

ABAE=NDAF=ix（90°-60°）=15°

•;NR4豆是五方所对的圆周角，

・•・BE所对的圆心角等于？xl5°=30°,

砺的度数为30°,

故选B.

6.如图，在一张RtZiSBC纸片中，乙4。3=90:5C=3,AC=4,。。是它的内切圆.小明用剪

刀沿着0°的切线DE剪下一块三角形4DE,则的周长为()

A.4B.5C.6D,8

【答案】C

【解析】

【分析】设△月3c的内切圆切三边于点RH,G,连接。凡OH，OG,得四边形OHCG是正方

形，由切线长定理可知根据DE是OO的切线，可得MD=MF,EM=EG,根据勾股定

理可得出=5,再求出内切圆的半径2,进而可得出的周长.

【详解】解：如图，设色45。的内切圆切三边于点尸、H、G,连接OF、OH、OG,

四边形OHCG是正方形，

由切线长定理可知所=月°,

•:DE是8的切线，

.-.MD=MF,EM=EG

■,-^ACB=9Q',BC-3,AC=4,

^AB=y/AC2+BC2=5,

•.•OO是乙.30的内切圆，

=-(AC+BC-AB)=\

内切圆的半径2,

.•.CG=1,

/.AG=AC-CG=4-}=3,

:.LADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6.

故选：c.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性

质.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）

7.写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：（写出一个即可）

［答案］a'+，+l=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系.根据一元二次方程有两个相等的实数根可知其判别

式为0,继而即可求解.

【详解】解：.••一元二次方程以+'"+c=0（。*°）有两个相等的实数根,

—4ac=0,

•••符合题意的一元二次方程可以为：X’+X+1=°，

故答案为：/+2x+l=o（答案不唯一）.

8.若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为.

n

【答案】3

【解析】

【分析】根据弧长公式进行求解即可.

【详解】解：因为扇形的圆心角为60°,半径为1,

Innr60^x1n

所以=180=180=1,

故答案为：3.

InTtr

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：一五万.

9.若圆锥的底面半径为2,母线长为5,则圆锥的侧面积为.

【答案】10/

【解析】

【分析】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，根据圆锥的侧面积就等于圆锥母线长乘底面周长的一半,

依此公式即可计算，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式非H是解题的关键.

【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：加“=兀*?'5=10"，

故答案为：10开.

10.如图，八“是。。的直径，弦。。于点E,AE=\,CD=4,则。。的长为

J

【答案】2##2.5##2

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.由垂径定理得

1

CE=DE=2CD=2,设OC=r,则=。4-松=八一1,然后在及几0。后中，利用勾股定理求

解即可得解.

【详解】解：.•.弦⑵于点

1

.-.CE=DE=2CD=2,

设。。=r,则。E=r-1,

35

在RMOE中，（I）+2="解得,•=》

5

即。C的长为2.

5

故答案为三.

11.若一元二次方程/一冲+1=0（根为常数）的一个根是x=2+相，则另一个根是.

【答案】x=2一相

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数前关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

bc

”/+w+[=°（"°）的两个根*1,与，满足"+“-二，根据-元二次方程根与系数

的关系得出巧=1,再根据一个根是X=2+6,求出另外一个根即可.

【详解】解：设方程F-巾、+1=°的两根为*1,占，

1

•.•一个根是x=2+后,

x=­!-==2-y/3

另一个根是2+J3

故答案为：x=2-J^.

12.某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按

33丁？计算平均成绩，则小亮的平均成绩为一.

项目听说读写

成绩(分)70908585

【答案】82分

【解析】

【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数公式即可求解，熟练掌握加权平均数公式是解题的关

键.

【详解】解：小亮的平均成绩为：

(70x3+90x3+85x2+85x2)*(3+3+2+2)

=(210+270+170+170)^10

=820*10

=82(分).

故小亮的平均成绩为82分.

故答案为：82分.

13.正六边形的半径是2,则其内切圆半径是.

【答案】b

【解析】

【分析】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这

是多边形问题的解题思路.连接0408,作于点G,则。4=03=2,则△Q43是等边三

角形，再利用锐角三角函数解答，即可.

【详解】解：如图，连接作。于点G,则。4=。3=2,

AGB

•.•六边形即罡正六边形，

.-.0A=0B,AA0B=6Q°,

，・Q43是等边三角形，

：.10AB=60°,

0G=O/xsin60。=2x^=6

•・•1o,

即其内切圆半径是小.

故答案为：V3

14.如图，正方形力ECD的四个顶点分别在扇形OE尸的半径和弧上，若NO=45。，OE=5,则工3的

长为.

【答案】小

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质、扇形的有关性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握

相关知识在联系和运用是解答的关键.

连接OQ,可得。。=08=。9=5,根据已知可得0B=4B=3C,根据四边形48CQ是正方形可得

AB=DC,再根据含45度角的直角三角形可得，根据勾股定理即可求出。8的长，进而可得的长.

【详解】解:如图，连接。0,

.\OC=OD=OE=5,

：.LABC=£BCD=%°,

•.•正方形4BCD中，

.\AB=BC=CD,ZABC=90°,

•••/。=45。，

:.AOAB=AO=45°

.OB=AB=BC

••，

：.0C=0B+BC=2BC,

在P.tA℃Z)中，根据勾股定理，得：

0D2=OC2-^CD2,

.(2OB)2+CD3=5\

解得。8=后，负值舍去，

；.AB=5

故答案为：石

6如图，将半径03=4的半圆绕点8按顺时针方向旋转30°,此时点A到了点幺'，则图中涂色部分的

【解析】

【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.利用

壬力+，山，一1143=$.血,，进行求解即可.

【详解】解：・半径=4的半圆绕点8按顺时针方向旋转30°,

।HAS=IHAS,ZABA'=30°,

+aAMIIbtB

=$6.皿

3(brx(2x4)'

360

16

・万

3,

16

一n

故答案为：3.

16.如图，矩形即CD中，AB=6BC-1,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长

度的速度沿.，CD向终点3,。运动，过点E,E作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为G,则

力G的最大值为.

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运

动轨迹是解题的关键.由勾股定理可求力。的长，由AAS可证△CORJAOE,可得力O=CO=1,

由,4G_LEF,可得点G在以HO为直径的圆上运动，则4G为直径时，有最大值为1,即可求解.

【详解】解：连接力0,交EF于。,

•.•四边形900是矩形，

-AB//CD,Z5=9O°,

,:AB=6BC=1,

AC=4AB’+BC，=历T=2,

..•动点E,9分别从点A,。同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿四，CD向终点B,。运动,

；,CF=AE,

■.■AB//CD,

:.ZACD=^CAB,

丈：4COF=UOE,

..A。。斤/“0©AAS)

/，

..AO=CO=\,OF=OE,

•：AG±EF,

.点G在以4。为直径的圆上运动，

.月G为直径时，2G有最大值为1,

故答案为：1

三、解答题(本大题共11小题，共88分.)

17.解下列一元二次方程：

(1)x(%+2)=5(x+2)；

(2)X2+5X+3=0.

-5+厉-5-厉

【答案】(1)xi—-2,被=5；(2)xi--,xi--.

【解析】

【分析】(1)移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；

(2)利用公式法求解即可.

【详解】解：(1)Vx(x+2)=5(x+2),

/.x(x+2)-5(x+2)=0,

则(x+2)(x-5)=0,

.•・x+2=0或％-5=0,

解得xi=-2,X2=5；

(2)b=5,c=3,

AA=52-4xlx3=13>0,

-b±y/b2-4ac-5±J\3

则％=2。=2,

-5+旧-5-而

即尤1=-,xi--.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.一块矩形菜地的面积是130m2,若将它的长、宽分别增加5m,8m,它恰成为一块正方形菜地.求原

矩形菜地的长和宽.

【答案】原矩形菜地的长为13m,宽为10m.

【解析】

【分析】设正方形菜地的边长为无m,则原矩形菜地的长为(x-5)m,宽为(x-8)m,根据原矩形菜地

的面积为130nl2,即可得出关于尤的一元二次方程，解之即可得出尤的值，再将其正值分别代入(x-5)

及(尤-8)中即可求出原矩形菜地的长和宽.

【详解】解：设正方形菜地的边长为xm,则原矩形菜地的长为(x-5)m,宽为(尤-8)m,

依题意得：(%-5)(%-8)=130,

整理得：X2-13尤-90=0,

解得：xi=18,X2--5(不合题意，舍去)，

.,.X-5=18-5=13,尤-8=18-8=10.

答：原矩形菜地的长为13m,宽为10m.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

19.证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.已知：如图，总是°。的直径，CD是OO

的弦，.

求证：・

证明：___________

【答案】ABLCD,垂足为E；CE=DE,AC=AD,BC=；证明见解析

【解析】

【分析】根据命题，补全条件、结论以及推导过程即可；

【详解】已知：如图，是。。的直径，C。是。。的弦，

ABA.CD,垂足为百；

求证：CE=DE,AC=AD,BC=BD

证明：连接℃、0D-

在AOCD中，

•：OC=OD,ABLCD

CE=DE,^BOD=ZBOC

ZAOD=ZAOC

：.AC=AD,BC=BD

【点睛】本题考查了命题推导的过程，垂径定理；以已知的基本事实、定理为依据推导出结论是解题的关

键.

20.如图，四边形SBC。内接于一圆，CE是边3c的延长线.

(1)求证=

(2)若/。AS=60。，乙403=70。，求的度数.

【答案】（1）见解析（2）50°

【解析】

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到乙D43+NZ）C5=180。，根据同角的补角相等证明结论；

⑵根据圆周角定理得到乙"》=Z4CB=70。，根据三角形内角和定理计算即可.

【小问1详解】

证明：；四边形力8°。内接于圆，

ADAB+ADCB=\3Q0,

vZZ）C£+ZZ）C5=180o,

ZDAB-ZDCE；

【小问2详解】

解：,••4CB・70。，

ZADB=ZACB=W。,

4即=180°-6卜-70°=50°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补.

21.如图，O。的弦/8、CD相交于点尸，且幺5=00.求证PB=PD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定.连接8。，由弧、弦、圆

心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立.

【详解】证明：连接30.

­：AB=CD,

>■S/.、

.-.AB=CD

S、--、s,

：.AB-AC=CD-AC,

即血）=BC,

.\Z5=ZD,

:.PB=PD.

22.已知关于X的-元二次方程--（后+4）X+E+3=0.

（1）当人为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）说明：无论化为何值，方程总有一个不变的根.

【答案】（1）"-2

（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程:的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方

程的根与判别式的关系是解答的关键.

（1）根据方程的系数结合根的判别式△=6’-4ac,可得出△=（｛+2）,由方程总有两个不相等的实

数根，可得出（2+2）解之即可得出上工-2,进而可得出当上工-2时，这个方程总有两个不相等

的实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论左为何值，方程总有一个

不变的根为x=L

【小问1详解】

解：•【=1,6=-（七+4）噌=>+3,

.L=b2-Aac=（后+41-4xlx（l-+3）=^3+4^+4=（A：+2）3

..•方程总有两个不相等的实数根，

.（k+2）'>0

:…2,

：.当k*-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

解.../-住+4）x+无+3=0即左+3）］=0

.•.工一1=0或"一（左+3）=°,

・内=1,a、=k+3,

...无论左为何值，方程总有一个不变的根为X=1.

23.甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下:

命中的环数/环5678910

甲命中次数124210

乙命中次数142111

(1)甲同学10次射击命中环数的中位数是环，乙同学10次射击命中环数的众数是环；

(2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；

(3)经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环,•根据所学的统计知识，从集中

趋势和离散程度这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平.

【答案】(1)7,6(2)7,1.2

(3)甲的射击水平更好一些，理由见解析

【解析】

【分析】此题主要考查了学生对平均数，众数，方差的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键.

(1)根据中位数、众数的定义即可得出答案；

(2)根据平均数、方差公式计算即可得出答案；

(3)从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩.

【小问1详解】

解：甲学生命中的环数从小到大排列后，第5个和第6个数据都是7,

7+7「

----二/

所以甲同学IO次射击命中环数的中位数是2,

乙同学10次射击命中环数最多的是6环，故众数是6；

故答案'A7,6；

【小问2详解】

—x(5+6x2+7x4+8x24-9)=7

甲同学io次射击命中环数的平均数为：10',

33333

^=_LX[(5-7)+2X(6-7)+(7-7)+2X(8-7)+(9-7)]=1.2

【小问3详解】

从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样；从离散程度看，炉甲VS?乙，

甲的成绩比乙更加稳定；从集中趋势看，甲的众数比乙大，甲的中位数也比乙大；所以甲的射击水平更好

一些.

24.如图，出是OO的直径，点c在。。上，CDLAB,垂足为。，且=电分别交

CD、于点F、G.

（1）求证：/-CAB=Z.DCB.

（2）求证：尸是BG的中点.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到乙4CD+NDCB=90°,/强+448=90°,

进而求证NC超=—DCB.

⑵由6=皮?,£CBE=/.CAB,所以NCBE=&CD,FB=FC,再根据

ACGB+ACBG=ADCG+ABCF=%°,得出NCGB=〃CG,所以尸。=阳，即可得出

FB=FG.

【小问1详解】

解：:/1B是。。的直径,

...ZACB=90°,

ZCD+ZDCB=90。,

■■CDLAB,

...NG4B+乙4cz)=90。,

：ZCAB=4DCB；

【小问2详解】

■.■CE=BC,

.-./.CBE=/.CAB,

...^CAB=ZDCB,

；ZCBE=ZBCD,

.：FB=FC,

"CGB+ACBG=ADCG+Z8C斤=90。，

...ACGB=ADCG,

.-.FC=FG,

：.FB=FG,

尸是5G的中点.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角.

25.如图，在。。中，/LB是的直径，尸乂是0°的切线，切点是A,连接尸0,过点8作

BCWPO,与交于点c,连接PC.

A

(i)求证：PC是0°的切线；

(2)若。0的半径为3,PA-4,求3C的长度.

5C=18

【答案】(1)见解析(2)5

【解析】

【分析】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线“垂直于经过切点的

半径是解题的关键.

(1)连接。C,证明尸，根据全等三角形的性质得到N℃P=N0如根据切线的判

定定理证明结论；

(2)证明尸6&0班，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【小问1详解】

证明：如图1,连接。C,

•••总4是8的切线，

c.OALAP,

-BC//P0,

.\ZA0P=Z0BC,ZCOP=ZOCB,

•：0B=0C,

:.乙0CB=LOBC,

­,AA0P=AC0P,

在Aid。尸和A。。尸中，

'OA=OC

<乙AOP=4C0P

IOP=OP,

二“。尸物。。PSAS),

Z.OCP~Z.OAP-90°,

•••”是oo的半径，

PC是OO的切线；

A

P

图।【小问2详解】

解：如图2,连接力。，

在RtZ\O"中，。尸=◎?工市'=5,

•.•HE是。。的直径，

•••ZACB=90°，

.-.^OAP=ZBCA,

,:乙A0P=4CBA,

•••^AOP^CBA，

OA_OP3_5

.-.BC~AB,即而二U,

3。=竺

图2

26.【习题再现】

（教材P74第10题）如图①，/是A43C的内心，4的延长线交上力30的外接圆于点

D.和/Q相等吗？为什么？

（不需解答，请看下面的问题）

（1）如图（1）,/为心力乡。内一点，4的延长线交上出。的外接圆于点Q.若08=0/=。。，求

证：/为的内心；

【拓展提高】

（2）如图（2）,00的半径长为5,弦动点A在优弧EHC上（不与3、0重合）,/是

一儿?C的内心.

①点/到。。上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点;

②血的最大值为一

【答案】（1）见解析（2）①见解析；②10-2五

【解析】

【分析】（1）连接3/,由BD=CD,可知如=8,得到/a4D=NDBC=NC4。，从而推出

/D平分/班C,然后由8。=。/,可知2IBD=ZBID,通过三角形的外角可推出31平分

^ABC,得证.

（2）①作4的延长线交°。于点。，连接31,3。，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相

等，可推出NCBD=NmD,再由三角形外角的可推出NBZD=N34D+乙431,结合

^DBI=£CBD+ACBI,从而推出乙SZD=NZ）Ar,即。可得点。为所求；

②由①可知从而推出当幺。为°。的直径时，4取得最大值，设4?交EC于点M,

__4_cBM=CM=-BC

连接根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得加I3C,2,然后利用勾股

定理先求得QW,即可得到OB,从而求得4的最大值.

【小问1详解】

证明：连接如图

D

'.'BD~CD

BD=CD

ABAD=ADBC=ACAD

4Z）平分/R4C

•••BD=DI

3D=4BID

VZ5ZD是一ABI的一个外角

..NBID=&AD+ZABI

：.SDRAD+ZABI

'：£1BD=£DBC-¥ACBI,ZDBC=ZBAD

&BI=4CBI

3/平分二'M。

,J^JLABC的内心

【小问2详解】

解：①作4的延长线交。。于点。，连接3/,BD,如图

D

•.•/是A43C的内心

..ABAD=ACAD,ZABI=£CBI

BD=CD,。点为BC中点

又•：一。8。和/。4D为CD所对的圆周角

乙CBD=LCAD

乙CBD=ABAD

•；&ID是一HB/的一个外角

^BID=ABAD+AABI

•：ADBI=Z.CBD+ACBI

ABID=ADBI

DB=DI=CD

■■”是一个定值

故延长4交°。于点Q,点Q即为所求，如图:

②如①图，；Al=AD-DI,DI=DB

:.AI=AD-DB

.当心取最大值时，4取得最大值

;当山）为°。的直径时，血取得最大值，如下图所示,

设心交3。于点连接。8

'：IABC的内心

ABAD=ACAD

BD=CD

•.•HD是。。的直径

BM=CM=-BC

..ADIBC,2

ZAMB=90°

•..oo的半径长为5,50-S

53/=-SC=1x8=4

0B=0D=5,AD=W,

OM=y/OB2-BM2=万-42=3

MD=OD-OM=5-3=2

BD=yjBM2+MD2=V43+23=郃

AI=AD-DB=\Q-2>5

⑷的最大值为io-】"

故答案为：

【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的

判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键.

27.【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形

面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面

【操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所

示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点尸为

端点的四条线段之间的数量关系为；

(3)类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5,越是°。的直径，CD、即是。。的弦，且

AB//CD//EF,AB=5,CD=3,ER=4.则图中阴影部分的面积为.

(4)如图6,在图3中“④”的基础上，小昕将绕点p逆时针旋转，他发现旋转过程中-D4P

存在最大值.若PE=8,PF=5,当NZMP最大时，求4D的长；

；图5图6图7

(5)利用图4中的结论解决问题：如图7,分别过矩形的四个顶点作其内部的°。的切线，切点

分别为£,F,G,H,若=BF=b,DH=c,则OG的长为.(用含a,b,c的代数式

表示)

25

【答案】(1)2；(2)PA1+PC2=PB2+PD2-(3)s'；(4)439；(5)

CG=\]a2+c2-b2

【解析】

【分析】(1)利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；

(2)如图，由EG工FH