集合与逻辑（15个考点）-2023学年高一数学上学期（沪教版）原卷版

专题01集合与逻辑（15个考点）

【知识梳理+解题方法】

一.集合的含义

【知识点的认识】

1、集合的含义：

集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物

叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体.

2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.

（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中

的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形

式来描述表示出集合的每一个元素.

（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示.（有限集

就是集合中的元素个数是能够确定的.无限集是集合的元素个数无法精确.抽象集合就是只给出集合元素

满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力.）

用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征.

【典型例题分析】

题型一：判断能否构成集合

典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.

（1）小于5的自然数；

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式2x+l>7的整数解.

分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可.

解答：（1）小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定，所以能构成集合.为{0,1,2,3,4}.

（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合.

（3）由2x+l>7得x>3,因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为

{小>3,且xeZ}.

点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比

较基础.

典例2：下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={(3,2)}N={3,2}B.M={(x,y)\x+y=l]N=[y\x+y=l]

C.M={(4,5)}N={(5,4)}D.M={2,1}N={1,2}

分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、。四个选项进行一一判断.

解答：A、M={(3,2)),M集合的元素表示点的集合，N={3,2},N表示数集，故不是同一集合，故A

错误；

B、M={(x,y)|x+y=l},M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=l},N表示直线x+y=l的纵坐标，

是数集，故不是同一集合，故8错误；

C、M={(4,5)}集合M的元素是点(4,5),N={(5,4)},集合N的元素是点(5,4),故C错误;

D、M={2,1},N={1,2}根据集合的无序性，集合N表示同一集合，故。正确；

故选D

点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道

基础题.

题型二：集合表示的含义

典例3：下面三个集合：A={x|y=7+1},B={y\y=x2+1],C={(x,y)|y=/+l},请说说它们各自代表的

含义.

分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，8为数集，C为点集.

解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且4=凡

B是数集，是由函数的值域构成，且B={y|yNl}；

C为点集，是由抛物线y=/+l上的点构成.

点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构

成.

【解题方法点拨】

研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄

清楚其元素表示的意义是什么.

二.元素与集合关系的判断

【知识点的认识】

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,b,

c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：或

40A.

2、集合中元素的特征：

（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于

这集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总

体是否能构成集合.

（2）互异性：集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的.这个特

性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.

（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.

【命题方向】

题型一：验证元素是否是集合的元素

典例1：已知集合已={小=层-层，mCZ*zzGZ}.求证：

⑴3GA；

（2）偶数公-2（任Z）不属于A.

分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

（2）用反证法，假设属于4再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要

证的结论.

解答：解：⑴V3=22-I2,3EA；

（2）设4）-2eA,则存在力,nEZ,使41-2=苏-〃2=（m+H）（m-n）成立，

1、当〃同奇或同偶时，相均为偶数，

:.Gn-n）（m+n）为4的倍数，与4左-2不是4的倍数矛盾.

2、当"z,n一奇,一偶时，m-n,77?+”均为奇数，

：.Gn-n）（m+〃）为奇数，与4左-2是偶数矛盾.

综上44-2CA.

点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.

典例2：已知集合4={。+2,2a2+a],若3eA,求实数a的值.

分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2/+々=3,求出a的值，验证集合A中元素不重复即可.

解答：解：因为3eA,所以a+2=3或2/+°=3…（2分）

当a+2=3时，a=l,•••（5分）

此时A={3,3},不合条件舍去，…（7分）

当2a2+4=3时，。=1（舍去）或分='，…（10分）

2

由a=-1,得人=成，3}，成立…（12分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

三.集合的确定性、互异性、无序性

【知识点的认识】

集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征.

（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必

居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合.

（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素.例如不能写成

{1,1,2},应写成{1,2}.

（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序.例如{1,2,3}与{3,2,1}是相同的集合，也是

相等的两个集合.

【解题方法点拨】

解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思

想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复.

【命题方向】

本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参

数的集合的讨论为主.

四.集合的表示法

【知识点的认识】

1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方

法叫做列举法.{1,2,3,…},注意元素之间用逗号分开.

2.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号

内，这种表示集合的方法叫做描述法.即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，尸为这个集合的元素的共

同属性）如：小于TT的正实数组成的集合表示为：{X[O<X<TT}

3.图示法（腌〃〃图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一

个集合.

4.自然语言（不常用）.

【解题方法点拨】

在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，

例如数轴的应用，论的图的应用，通过转化思想解答.注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：｛x|2x

-1>0｝表示实数尤的范围；｛（x,y）|y-2x=0｝表示方程的解或点的坐标.

【命题方向】

本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻

辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合.

五.集合的相等

【知识点的认识】

（1）若集合A与集合2的元素相同，则称集合A等于集合2.

（2）对集合A和集合8,如果集合A的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合8的任何一个元素都是

集合A的元素，那么集合A等于集合2,记作就是如果同时那么就说这两个集合相

等，记作4=2.

（3）对于两个有限数集A=B,则这两个有限数集A、2中的元素全部相同，由此可推出如下性质：

①两个集合的元素个数相等；

②两个集合的元素之和相等；

③两个集合的元素之积相等.由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已.上述概念是判断

或证明两个集合相等的依据.

【解题方法点拨】

集合A与集合8相等，是指A的每一个元素都在8中，而且8中的每一个元素都在A中.解题时往

往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性.

【命题方向】

通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能

与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问.

六.集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1.如果集合A中的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合A叫做集合8的子集；A&B；如果集合A

是集合B的子集，并且2中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合8的真子集，即AuB；

2.如果集合A的每一个元素都是集合8的元素，反过来，集合8的每一个元素也都是集合A的元素，那

么我们就说集合A等于集合3,即A=8.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

七.子集与真子集

【知识点的认识】

1、子集定义：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就说

这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集(subset).

记作：(或B24).

2、真子集是对于子集来说的.

真子集定义：如果集合A&B,但存在元素在8,且元素x不属于集合A,我们称集合A是集合8的真子集.

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是8的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.

{1,3}c{l,2,3,4)

(1,2,3,4}c{l,2,3,4}

3、真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}"，如{1,2},{a,b,g};

另外，{1,2}的子集有：空集，{1},{2},{1,2}.真子集有：空集，{1},{2}.一般来说，真子集是在所

有子集中去掉它本身，所以对于含有“个(”不等于0)元素的集合而言，它的子集就有2〃个；真子集就有

2〃-1.但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集.

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AU8,并且匹A时，有A=B,但是AuB,并且BuA,是

不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的.

【命题方向】

本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算,

概率，函数的基本性质结合命题.

八.集合关系中的参数取值问题

【知识点的认识】

两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关

系求出变量的取值等问题.

【解题方法点拨】

求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式.本题根据元素与集合之间的

从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解.求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，

由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等.

【命题方向】

集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结

合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视.

九.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与2的并集，记作AUB.

符号语言：4^18={卫底4或止8}.

AUB实际理解为：①x仅是A中元素；②尤仅是8中的元素；③x是A且是B中的元素.

运算形状：

@AUB=BUA.②AU0=4.③(4)AUB2A,AUB2B.⑤@AUB=0,两个

集合都是空集.©AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;

注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

十.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作ACB.

符号语言：AC\B^[x\xEA,且无68}.

实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

®AHB=BDA.®AA0=0.®AAA=A.④ACBUA,AHBQB.@A^B=A^AQB.@AHB=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(Ans)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

十一.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.(通

常把给定的集合作为全集).

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称

为集合A的补集，记作CuA,BPCuA={x\xEU,且通4}.其图形表示如图所示的Venn

U

图.L1—

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

十二.交、并、补集的混合运算

【知识点的认识】

集合交换律AAB=BAA,

集合结合律(ACB)CC=AC(BAO,(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律AA(BUC)=(AHB)U(AAC),AU(BAC)=(AUB)Cl(AUC).

集合的摩根律Cu(AAB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=C"ACCi/8.

集合吸收律AU(AAB)=A,AA(AUB)=A.

集合求补律A^CuA=U,AHCuA=^>.

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

十三.Venn图表达集合的关系及运算

【知识点的认识】

用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图(韦恩图).集合中图形语言具有直观

形象的特点，将集合问题图形化，利用以所图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且

有助于显示集合间的关系.

运算公式：card(AUB)—card(A)+card(B)-card(AClB)的推广形式：

card(AUBUC)—card(A)+card(B)+card(C)-card(ACB)-card(BAC)-card(APIC)+card

(ansnc),

或利用论〃〃图解决.公式不易记住，用正加图来解决比较简洁、直观、明了.

【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使

用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念.Venn图解题，就必须能正确理解

题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来.

【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题.也

可以联系实际命题.

十四.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则为真时，可表示为称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“p今g”等价的逆否命题是“今「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：尤>0.显然xCp,则等价于关掰,

则x《p一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“qnp”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若p=q为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=>q为真命题且q=>p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

十五.存在量词和特称命题

【存在量词】：

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.符号：3

特称命题：含有存在量词的命题.符号："才’.

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号"于'表示.

【特称命题】含有存在量词的命题.FxoeM,有p(xo)成立"简记成p(xo)”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题全称命题WxeM,p(x)特称命题iroeM,p(xo)

表述方①所有的xeM■，使p(x)成立①存在X06M,使p(X0)成立

法②对一切xew,使p(x)成立②至少有一个xoeM,使p(尤o)成立

③对每一个无CM,使p(无)成立③某些使p(x)成立

④对任给一个尤使p(%)成立④存在某一个xoeM,使p(xo)成立

⑤若XE.M,则p(无)成立⑤有一个xoEM,使p(xo)成立

解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否

定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题.命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不

同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则qn形式的命题而言，既要否定

条件，也要否定结论.

常见词语的否定如下表所示：

词语是一定是都是大于小于

词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

词语且必有一个至少有〃个至多有一个所有X成立

词语的否定或一个也没有至多有〃-1个至少有两个存在一个X不成立

命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中.

十六.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程尤2-2尤+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”

的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真

值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若。则形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,贝IJ“若"贝I

/为真；而要确定“若p则为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真

同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

【专题过关】

集合的含义（共2小题）

1.（2021秋•浦东新区校级月考）下列各对象的全体，可以构成集合的是.（填序号）

①高一数学课本中的难题；

②高一年级中身高超过1.70米的同学.

2.（2021秋•奉贤区校级期中）对于某一集合A,若满足任取a,b,ceA都有“a,b,。为某一三角形的三

边长”，则称集合A为''三角集"，下列集合中为三角集的是（）

A.{x|x是△ABC的高的长度}

B.{尤|3Z1WO}

x-2

C.{x\\x-l|+|x-3|=2}

D.{x|代数式log2（3x-2）有意义}

二.元素与集合关系的判断（共10小题）

3.（2022•浦东新区校级开学）已知集合4={/-々，0},若破4则实数。的值为.

4.（2022•浦东新区校级开学）已知集合4={1,2,3},B={1,m,n},若3-mS4,n+lEA,则非零实数

m+n的可能取值集合是.

5.（2022•浦东新区校级开学）设X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属

于T,。属于T；②T中任意多个元素的并集属于T；③T中有限个元素的交集属于T.则称T是集合X上

的一个拓扑.已知集合乂={4,b,C},对于下面给出的四个集合J

①1二]。，{a},{a,b},{a,c}}；

②T={0,{b},{c},{b,c],{a,b,c}}；

③1士。，[a,c},{b,c},{<?},{a,b,c}}；

@T={0,{a},{c},{a,b,c}].

其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是（）

A.②B.①③C.②④D.②③

6.（2022秋•徐汇区校级月考）设集合A={X|X=_L,〃?6N*},若XICA,X2GA,贝|（）

2m

Xi

A.（xi+x2）EAB.（XI-X2）EAC.（XIX2）GAD.——EA

x2

7.（2022•杨浦区校级开学）若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集"：①0EA,止人②若入、

则且时，工£

（1）分别判断集合3={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”，并说明理由;

（2）设集合A是“好集”，求证：若x、yeA,则x+y&L；

（3）对任意的一个“好集”A,判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若X、疾4则必有xyCA.

QY£A0Y

8.（2022秋•徐汇区校级月考）设A、8是R中两个子集，对于x&R,定义：机=<'「,n=\'「,

1,x€A11,x€B

①若AU8,则对任意xeR,机（1-n）=；

②若对任意xCR,m+w=l,若4={1,2,3},贝IB为.

9.（2022秋•徐汇区校级月考）设数集A由实数构成，且满足：若xeA（XTM且xWO）,则-J-e4.

（1）若2CA,试证明A中还有另外两个元素；

（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为退，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求

3

集合A.

10.（2022•徐汇区校级开学）设A是非空实数集，且OCA.若对于任意的无，疾人都有冲C4,则称集合A

具有性质P；若对于任意的x,疾4,都有三CA，则称集合A具有性质政.

y

（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质P的集合A；

（2）若非空实数集A具有性质P2,求证：集合A具有性质尸1；

（3）设全集U={x|尤WO,xGR},是否存在具有性质Pi的非空实数集A,使得集合CuA具有性质P2?若存

在，写出这样的一个集合4若不存在，说明理由.

11.（2022•浦东新区校级开学）若集合A=｛小2-（a+2）无+2-a<0,xCZ｝中有且只有一个元素，则正实

数a的取值范围是.

12.（2022•杨浦区校级开学）设集合4=｛〃2+〃曰而_3层=1,%，neZj.

（1）证明：若则工6A,且—5——GA；

a2+V3

（2）对于实数p,q,如果l<pWq,证明：2<p3<qJ；并由此说明，A中元素若满足1<b<2+V^，

贝Ub=2+V§；

（3）设cS4,试求满足2+V^<cW（2+V3）2的A的元素.

三.集合的确定性、互异性、无序性（共3小题）

13.（2021秋•黄浦区校级期中）若集合M=｛a,b,c｝中的元素是△A3C的三边长，则△A3C一定不是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

14.（2021秋•奉贤区校级月考）若a€R,则构成集合｛a-1,1｝中的a的取值范围是.

15.（2021秋•奉贤区校级月考）如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

四.集合的表示法（共3小题）

16.（2021秋•浦东新区校级期末）若集合A=｛/,x｝,则实数x可取的值的全体所构成的集合为.

17.（2021秋•普陀区校级期末）已知集合4=｛0,1,2],则集合2=｛帅=3a,aeA]=.（用列举

法表示）

18.（2022・浦东新区校级开学）用|却表示非空集合4中元素的个数，定义人*8=["『旧1，出I,

[|B|-|A|,|B|>|A|

若A={0,1},8={玳/+办）（/+办+3）=0},A*B=1,则实数a的所有可能取值构成集合S,则S=（请

用列举法表示）.

五.集合的包含关系判断及应用（共9小题）

19.（2022•杨浦区校级开学）已知集合2={x€N|-1<XV5},B={0,1,2,3,4,5},则A,B间的关系

为（）

A.A=BB.BQAC.AEBD.AQB

20.（2022•杨浦区校级开学）设集合A={x|lWxW2},2={x|x》a},若AuB,则。的范围是.

21.（2022•徐汇区校级开学）下列关系中错误的是（）

A.0^{0}B.{1,2}是ZC.{（a,b）}={a,b]D.{0,1}£{1,0}

22.（2022秋•徐汇区校级月考）集合S={x|x=m+_L,〃£Z},P={x|x=H+A.,«eZ},Q={x|x=K」,

1231234

依Z},则S、P、。之间的关系是（）

A.SuPuQB.SuP=QC.S=PuQD.PuQuS

23.（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合4={中=共工•后^},集合8={x|p+lWxW20-1},若匹A,

则实数p的取值范围是.

24.（2022秋•徐汇区校级月考）集合A={y|y=W+3x+l},8={y|y=/-3x+l},则集合A与集合2之间的

关系是（用=、u、=来表示）

25.（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合4=凶d-1=0},B={x|x2-2ax+b=Q],若BW0,且求

实数a、b的值.

26.（2022•徐汇区校级开学）已知机为实数，A={x\x1-（m+1）x+m=0],B={x\mjc-1=0}.

（1）当AU8时，求机的取值集合；

（2）当时，求相的取值集合.

27.(2022•杨浦区校级开学)已知aCR,xGR,集合A={2,4,x2-5x+9),B={3,x^+ax+a],C={/+(a+l)

x-1}.

(1)当2EB,8GA时，求〃、工的值；

(2)当B=C时，求〃、x的值.

六.子集与真子集（共4小题）

28.（2022秋•徐汇区校级月考）若xeA,则工e4,就称A是“伙伴关系集合"，集合M={-1,0,1,2,

x2

3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是.

29.（2022•浦东新区校级开学）下列命题中正确的是（）

A.空集没有子集

B.空集是任何一个集合的真子集

C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集

D.设集合8UA,那么，若xCA,则正8

30.（2022•浦东新区校级开学）己知集合人={x|至工《0，x€Z}，2={yly=，+l，xeA},则集合B的子

x-3

集个数为（）

A.5个B.8个C.3个D.2个

31.（2022•浦东新区校级开学）已知集合4={尤*+4x=0},B={4?+2（o+l）x+a2-1=0}.

（1）若A是B的子集，求实数。的值；

（2）若8是A的子集，求实数a的取值范围.

七.集合关系中的参数取值问题(共1小题)

32.(2022秋・徐汇区校级月考)设4={尤*-"+/-19=0},2={尤*-5x+6=0},C=m*+2尤-8=0}

(1)AHB=AUB,求a的值；

(2)若。是(AAB)且ACC=0,求。的值；

(3)AnB=ACCW0,求a的值.

八.并集及其运算(共4小题)

33.(2022秋•浦东新区校级月考)设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={x£-4x+3

=0},则AUB=.

34.(2022秋•徐汇区校级月考)若已知AC{-1,0,1}={0,1},且AU{-2,0,2}={-2,0,1,2},

则满足上述条件的集合4共有个.

35.(2021秋•普陀区校级期末)已知机21,设集合A={x|空2<1}，B={x\\x-2m\>m-1}.

(1)求集合A和集合&

(2)求AUB=8,求实数机的取值范围.

36.（2022•徐汇区校级开学）已知A={m,ai,a3,04},B={ai2,g2,a/}且其中aWZ

（i=l,2,3,4）,若AC8={a2,43},ai+a3—0,且AUB的所有元素之和为56,求43+。4=.

九.交集及其运算（共3小题）

37.（2022・浦东新区校级开学）已知4={小2+。十+1=0,尤611},若40：11+=0,则实数夕的取值集合是.

38.（2021秋•浦东新区期末）设不等式|2x-1|W3的解集为P,不等式2W2XW8的解集为Q.

（1）求集合P、Q;

（2）己知全集U=K,求P「|Q.

39.（2022秋•徐汇区校级月考）记2={a|。是等腰三角形},7={加6是至少有一边为1,且至少有一内角为

30°的三角形},则PCT的元素有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

一十.补集及其运算（共3小题）

40.（2021秋•杨浦区期末）已知全集为R,集合A=（1,+8）,则工=.

41.（2021秋•黄浦区校级期末）已知全集。=已集合A={x|l-x>3x+5},贝唾=.

42.（2021秋•浦东新区期末）已知全集"={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},则工=.

一十一.交、并、补集的混合运算（共5小题）

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