平面解析几何（解答题）-浙江省高考数学一轮复习提升训练

《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练》

专题12平面解析几何（解答题）

33.（2022•浙江•高三开学考试）如图，已知双曲线。:£-产=1,经过点1）且斜率为左的直线/与C交

于A,B两点，与C的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为AM,N,3）,其中ke0,学.

（1）若点T是MN的中点，求女的值；

（2）求△OBN面积的最小值.

【答案】⑴！

网一垃

）-4-

【分析】（1）联立直线/与双曲线方程，根据点T是MN的中点，列方程求解即可.

（2）联立直线/与双曲线方程，表示出忸N|的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到

三角形面积表达式，即可求得结果.

(1)

设孙义）

y=Z:(x—1)+1

联立直线/与双曲线方程一2,消去y得（1-2/卜2-4人（1一左卜-2（1-左）2=0,

、=0

1—2/y

4k-4k2-2(一)2

由韦达定理可知，%+W=-----z-,X,

1—2/121一2k2

y=—1)+1

Y1--..k.........

联立直线/与其中一条渐近线方程，解得V2

------k;

2

_1-k_k-1

即标=应，同理可得〜=0,,

-------k——+上

22

皿I4左-4左2

贝！=1二石+%2,

1-2化

则可知AB的中点与MN中点重合.

由于T（U）是MN的中点，所以4『/=2,解得彳=|；

（2）

>=左自-1）+1与［一产=1联立，消去y得

（1_2左2）尤2_4左（1_k）工_2（1_左）2_2=0

由（1）知，忸叫=|AM|=-.或<0硒=-S^QMN）

由于|期二后迪匹『尸,|MN卜行也F

诉］----母（yl（l-k）2+1-2Z:2-小（1-k）2）

所以忸N卜VT7F—----------------------------------1,

1—2k

1一女

又。到直线的距离［=乐声，所以

%硒三网/=’.（一附一1+；丁2一.

近。-8

2«1-k¥+l-2k2+J(1-J)2

V2

整理得s’

2

.,,f,A/2Je1-2左2-2/+4f-l14〜

令1-q1-丁］,则B=「^=K7-2，

当』=2,即孑=工时，

t2

Er的最大值为2,所以%的最小值为二一3.

（1一%）4

34.（2022•浙江•杭十四中高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系x0y中，椭圆C过点（6,：）,焦点

£（-省,0）,月（百,0）,圆O的直径为月工.

(1)求椭圆C及圆。的方程；

(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标;

②直线/与椭圆C交于A3两点.若A0R的面积为2匹,求直线/的方程.

7

【答案】(1)—+j2=1,x2+y2=3；(2)y=-s/5x+35/2

4

【详解】分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得6,

即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组

可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间

距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.

详解：解：(1)因为椭圆C的焦点为月卜石,0),丹(6,0),

可设椭圆。的方程为，+/=1(〃〉匕〉0).又点在椭圆。上，

[311「24

---1----=1/72=4

所以4b2解得/

"8=3,3=1

因此,椭圆C的方程为♦+为=1.

4

因为圆。的直径为耳耳，所以其方程为/+y=3.

(2)①设直线/与圆。相切于尸(%,%)(%>(),%>0),则疗+%2=3,

所以直线/的方程为y=-E(x-%)+%,gpy=-^x+—.

%y0y0

2

[X2_.

y=1,

由2,消去》得

x3

y=---0x+—,

1%%

(4/2+%?卜2-24劣0%+36—4y02=0.(*)

因为直线/与椭圆。有且只有一个公共点，

222

所以A=(-24%)-4(4x0+升)06-4年)=48城(^0-2)=0.

因为知%>。，所以5=夜,%=1.

因此，点尸的坐标为(3,1).

②因为三角形0AB的面积为亚，所以J_A3.OP=R1,从而48=逑

7277

设A（%,y）,5（孙％）,

由（*）得凡2

2(4/2+为2

所以AB?=(%一%2)2+(%_%)2

1+2

(4/2+姬

因为为2+%2=3,

32

所以A*=42

—,BP2x0-45x0+100=0,

、

解得端］（婕=20舍去），则为2=:

，因此P的坐标为•

7

点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解;

二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的

情况.

35.（2022•浙江•高三阶段练习）如图，已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点「且经过点A（2p,m）（加>0）,

|AF|=5.

⑴求p和m的值；

(2)点M,N在。上，且AM,4V.过点A作AD,MN,。为垂足，证明：存在定点Q,使得为定值.

【答案】(1)P=2,m=4；

(2)证明见解析.

【分析】(1)由抛物线定义有|AP|=2p+孑=5求P,由A在抛物线上求相即可.

⑵令MN:x=ky+n,,N(x2,y2),联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据

及向量垂直的坐标表示列方程，求底儿数量关系，确定MN所过定点B,再由AE>_LMN易知。在以AB为

直径的圆上，即可证结论.

(1)

由抛物线定义知：|A尸|=2。+孑=5,则p=2,

又4(4,m)(%>0)在抛物线上，则疝=4x4,可得m=4.

(2)

设〃(外,%),由(1)知：44,4),

所以AM=(%1—4,%—4)>AN=(々—4,%—4)>乂AMJ-AN,

所以(三一4)(工2-4)+(“-4)(%-4)=玉超-4(玉+%)+%%-4(%+女)+32=0,

令直线M/：x=6+〃，联立C:y2=4x,整理得/一4.-4〃=0,且A=16/+16〃>0,

所以3+以=4左，%%=-4〃，则占+%=%(%+%)+2〃=442+2〃，芯尤2=%2yly2+%”(%+%)+"?=〃2，

综上，”2一16左2一12〃一16左+32=("—4左一8)(〃+4%—4)=0,

当“=8+4左时，脑门*=以,+4)+8过定点3(8,-4)；

当〃=4一4人时，皿:》=­，一4)+4过定点(4,4),即AM,N共线，不合题意;

所以直线MN过定点3（8,T）,又AD1MN,故。在以A3为直径的圆上,

而中点为。（6,0）,即Q0=?=2岔为定值，得证.

:一，=l（a>0,b>0）的离心率为半，且点（3,夜）在

36.（2022•浙江•慈溪中学高三开学考试）已知双曲线C:

C上.

⑴求双曲线C的方程:

（2）试问：在双曲线C的右支上是否存在一点P,使得过点尸作圆V+y2=i的两条切线，切点分别为A,2,

直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,且且？若存在，求出点P；若不存在，请说

△iWCzzV33

明理由.

【答案】⑴:-丁=1

⑵存在，川2后有）或尸（2后-君）

【分析】（1）根据题意即可列出关于。、汰c方程组，即可解出答案；

（2）根据题意设尸（尤0,%）,即可求出直线的方程，则可求出点M,N的坐标，即可表示出

」1

\MN\=，再由点。到直线AB的距离d=~7『,则可表示出S=g|MN|-d=

9+8y厂石'

即可求出点P的坐标.

（1）

因为6=工=38,所以即/=3片,

a33

又点（3,⑹在双曲线的cJ4=l（“>0,b>0）图像上，

o9Q2

所以5一炉=1’即京下j解得"=1"=3'

所以双曲线C:二一y2=i；

3'

（2）

设尸（尤0,%）,

由已知点A,2在以O尸为直径的圆=冬近上,

又点在尤2+尸=1上，则有方程组.口-歹+⑶-

x2+y2-1

解得直线AB的方程为%x+=1,

设直线AB与渐近线y=^x,y=—@x的交点分别为M,N,

33

xox+yoy=1

由V3解得加

y=——x

['3

xox+yoy=\

13

由*6解得N

V=------X

3%--/--

JJ7

所以卜

,1

又点0到直线AB的距离为d=/22

则三角形MON的面积5=。上叫"1

炉1=一

又因为寸-y；=l,所以33+§y29+8%；，

由已知S=且，解得y；=3,即%=土石，

因为点尸在双曲线右支上，解得飞=2石,

即点尸(2"码或网2"-⑹.

37.(2022•浙江•高三开学考试)已知直线/：'=履+1与双曲线C:上-y2=i交于加、N两个不同的点.

4-

(1)求％的取值范围；

(2)若A为双曲线C的左顶点，点加在双曲线C的左支上，点N在双曲线C的右支上，且直线也4、附分别

与＞轴交于P、。两点，当|尸。|=1时，求％的值.

【答案】（1）一亚＜k＜亚且左

222

7

(2)k=—

10

1一4左2w0

【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得A＞0'即可求出参数的取值范围;

（2）设由（1）可得韦达定理，求出直线肱1的方程，即可求出尸点坐标，同理可

得。点坐标，根据|尸。=1得到方程，解得即可.

(1)

：4消》整理得（1一缺2）尤2-8履一8=0,

解：联立方程组

lUT%”解得-理＜理目巾±1

依题意可得

△=32—64左2〉0222

(2)

8k

%+X,=---T

121-4P

解：设加、N坐标分别为MA（-2,0）,由（1）知，

-8

1-4/

3

直线MA的方程为＞=(x+2),

%+2

令x=0可得点尸坐标为0,

同理点。坐标为（。，至；

IX2+2J

由陷4所以上-疑心所以

所以卜⑸1一2二（1-2Z:）|=2（2左-I）2,

整理得20人2—4a-7=0,即（2k+1）（10：—7）=0,

177

解得％=—5（舍去）或左二木，二•％=而.

38.（2022.浙江省淳安中学高三开学考试）如图，已知椭圆三+乎=1（。＞6＞。）的离心率为正，以该椭圆

。2b22

上的点和椭圆的左、右焦点月，月为顶点的三角形的周长为4（忘+1）.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,

设尸为该双曲线上异于顶点的任一点，直线P片和尸％与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(II)设直线尸大、P外的斜率分别为&、k2,证明勺义=1;

(ill)是否存在常数人使得|至|+|。|=川•，8|恒成立？若存在，求尤的值；若不存在，请说明理由.

22

【答案】(I)椭圆的标准方程为土+—=1;双曲线的标准方程为

84

^_£=1(II)勺&=仔二=1.(III)存在常数2=逑使得|AB|+|CD仁川AB'cq恒成立，

44%o—48

C0

【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为C,由题意知：a~~2,

2a+2c=4(也+1),所以2=2*"^,c=2.

22

L+匕

又a2=b?+c2,因此b=2.故椭圆的标准方程为84=1.

22

工_匕

由题意设等轴双曲线的标准方程为mm=l(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2,

22

L-匕

因此双曲线的标准方程为44=1.

出%

z-2

(2)设A(xi，yi),B(X2,y2),P(x0,yo)，则卜=与+2,k2=o.

因为点P在双曲线x2—y2=4上，所以x—y=4.

.儿儿

因此k「k2=X。+2.勺-2=X。-4=],即k「k2=l.

(3)由于PFi的方程为y=ki(x+2),将其代入椭圆方程得(2。+l)x2-8klx+8kl-8=0,

幽28婷-8

显然2kl+l¥0,显然△>().由韦达定理得Xl+X2=2左+1,X1X2=2左+1.

11_1发：+12占2+1

则西+西=碰（婷+]+&?+[）

又ki-ki=L

2

1

逑

k1乌

111/号+i

国+画=达片+]+l88

¥1

所以

3质

故|AB|+|CD|=8|AB|-|CD|.

逑

因此存在九=8,使|AB|+|CD|=MABHCD|恒成立.

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求

解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式

选取最值的计算方式

39.(2022•浙江.高三开学考试)已知椭圆C：F+'=l(a>b>0)过点A1,一,且以长轴和短轴为对角线

abI2,

的四边形面积为4/.

⑴求C的方程；

22

（2）已知椭圆6：与r+斗v=丸，在椭圆C1上任取三点BC。，是否存在兄使得△以»与椭圆。相切于三角形

ab

三边的中点，若存在，求出力的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（小i

(2)存在，2=4

【分析】（1）由以长轴和短轴为对角线的四边形面积为4〃可得12a-26=4",求得口=»,再结合A1,

13

在椭圆上得到/+指=1,两式联立即可得到答案;

（2）设3（私力）,3C,3D的中点分别是E,尸,E（&yJ尸（%，%），然后得到直线E户为牛+町=1，与椭圆C

进行联立，得到一元二次方程，利用韦达定理以及结合题意通过计算即可得到答案

(1)

以长轴和短轴为对角线的四边形面积为s=g2a-2匕=2仍，从而2"=4〃,a=26,

13

因为AL在椭圆上，所以二+^^=1,解得a=2,Z?=l,

所以椭圆方程为三+V=1

4'

(2)

设3(私〃),3C,的中点分别是瓦尸,E,%),/仁,%)，则C(2芯—加,2%-,£)(2%—私2%-,

因为5c加均与椭圆C相切于瓦尸点，所以8C3+%>=1,皿号+%y=l,

x.m1

七+M〃=l

因为川加㈤在两直线上，所以<

xmr

；o+%〃=1

所以（与，乂），5，力）在直线等+利=1上，即直线所的方程为等+利=1,

mx1

---Fny=1//22

■t得4〃+m2m11八

联立

2无一寿x+/T=°'

X2i、16n

一+y-1

[47

16(l-n2

所以8m

X+%2=-5-----7，中2=-------

4/+m24/+m2

4-mx.4-mx08-m(Xj+x)_8〃

所以X+%=-----L+------2

4n4〃4n4/+rn2

当直线。斜率存在时，且s的中点为(西+々-%,%+%-〃)，直线

m8-m2—4H2

CD:y=——近[x-(玉+x2-〃?)]+(/+%_〃)=_---XH-------------------------

%2-XlJ4n4n

y=Ax+B

22

rri8-m-4H得+A2k+2A&+B2-1=0,,

设联一行”

4〃+/=1

U-

因为8与椭圆C相切，所以A=4A2B2-40,化简得4=4片+1，

8-m2-4/2

代入A=，B=得(8-历—4n2=4(m2+4n2

4n4〃

因为3(私〃)在椭圆G：；+y?=2上，所以疗+4/=4彳，代入得(8—4㈤2=4(42),解得4=4,4=1(舍),

22

所以4=4,止匕时A=—2,5=8-m-4n8-422

4〃4〃4〃n

8m8m1

CD中点的横坐标为玉+%-相=-m=------m=——m,

4n2+m2422

-2AB1

方程+A?卜2++笈_1=0的解为X=-7-----------——--m

2ABx2*2

所以彳=4时，CD与椭圆C相切时切点为8的中点，所以4=4满足条件,

当直线C。斜率不存在时，不妨假设直线C£＞切于椭圆C的左顶点(-2,0),且根据椭圆的对称性，8的中

点为左顶点(-2,0),8在x轴的正半轴上，

所以将x=-2代入椭圆C|：1+y2=2得＞=±71二1,不妨设C卜2,^/I=T),

将＞=0代入椭圆£:[+＞2=2得.±271,所以B(2VI,0),

则3c的中点为3-1,'铲)代入椭圆C得上乎t*+_=1,解得4=4,

综上所述，2=4

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

(1)得出直线方程，设交点为A&，%),Bg%);

(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或＞)的一元二次方程；

(3)写出韦达定理；

(4)将所求问题或题中关系转化为芯+/，工也形式；

(5)代入韦达定理求解.

40.（2022•浙江嘉兴・高三阶段练习）已知椭圆C:=+2=1（0<6<2）,直线4：y=x+〃，与椭圆C交于A,B

两点，且|A3|的最大值为学.

⑴求椭圆C的方程；

⑵当卜用=半时，斜率为-2的直线乙交椭圆C于尸，。两点（尸，。两点在直线4的异侧），若四边形APBQ

的面积为心反,求直线4的方程.

9

22

【答案】⑴上+乙=1

42

（2）Z2:2x+y±0=0.

【分析】（1）设AQ,%）,8（%,力）,联立直线4与椭圆方程，得出韦达定理，再根据弦长公式求解，结合

函数的最大值可得。=应，进而求得椭圆方程即可；

（2）设直线4方程为y=-2x+〃，P（x3,y3）,Q（x4,y4）,记点尸，。到直线乙的距离分别为4,d2,表达

出4，4，根据而求解即可.

9

（1）

Z+£=i

设A（XQJ,网当,％），联立直线4与椭圆方程得4/一，

y=x+m

消去y得伊+4*+8〃氏+4（加-〃）=（）,又占,巧是这个方程的两个实根，

A=64m2-16(Z>2+4)(m2-/?2)>0

-8m

所以x.+x2=------由弦长公式得

12从+4

4(m2-b2}

--

.12/+4

-8m2

IAB\=J1+左2民—工21=,I-4x

Z72+4隼"黑•”

所以当修=。时，|AB|取到最大值，即1A用=解得6=0.

，/?2+43

22

所以椭圆C的方程为土+乙=1.

42

(2)

土+匕=1

设直线，2方程为y=-2%+〃，？«,%),。(%乂)，联立直线，2与椭圆方程42-，消去y得

y=—2x+n

9x2—Snx+ln2—4=0,

A=(-8疗-4x9x(2n2-4)>0

所以<当+%=豆(-372,372),

2n2-4

9

'4^4'且(%一%)(%—%)<。，

记点尸，。到直线乙的距离分别为4，d2,又4=七冒江，d2=

匕-%|+卜-％|=|1-%=3|5—尤/

所以4+4=

00-y/2一应

W府了不=3用「X2；4=如",

所以SAPB。=；lAB|(4+出)=!^^，'|J18-7/=^1^Ji8-7『,

因为S"B2=?#，所以孚J18-=增,整理得1=2,所以凡=±夜满足条件,

综上所述直线的方程为4：y=-2x土血，即为/2：2x+y±&=0.

22

41.(2022•浙江省苍南中学高三阶段练习)已知点A(2,D在双曲线C:二-与=l(b>0)上.

2b-

(1)求双曲线C的渐近线方程;

⑵设直线/：>=H尤-D与双曲线C交于不同的两点E,F,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N.当

△AMN的面积为应时，求上的值.

【答案】(l)y=土日x

(2)-|

【分析】(1)由双曲线的性质求解,

(2)由2F两点坐标表示|政V|,联立直线/与双曲线方程，由韦达定理化简，再由AAAW列方程求解

(1)

22

将点A(2,l)代入方程土一斗=1,解得廿=1,

2b2

所以双曲线c的方程为y-j2=i,渐近线方程为y=土等X；

(2)

2

联立<x2，整理得(1—2左jx+4kx—2k—2=0,由题意j、0,

.万一，->

得严<1且左2/[设点E,尸的坐标分别为(和M),®,%)，由韦达定理得%+9=31,%吃=当匚

直线AE的方程为>-1=2匚1(x-2),令x=3,得y=2=+1,即川3,上二+1],同理可得

国一2七_2(再一2J

|占一%|=，(『+城-4+2=2浮了

y2T_弘-1|=11%-々%-占+尤2-2%+2%

\MN\=

%—2玉一J（七一2）（%—2）

kxx（X2-1）一2左（冗2-1）+^2辰2（X—1）+2左（再一1）一项

（芯-2）（^2-2）

=k-H=忘",

（西+々）+

xxx2-24平K7

所以△AMN的面积S=-x|MN|x1=1x1.L=y/2,即241-k2=|1-%|,

22

3i3

解得左=1或左=—=，又左2<1且所以％的值为--.

525

42.(2022.浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习)已知椭圆C：W+与=：l(a>6>0)过点[。，3],月(-2,0),工(2,0)

ab144J

为其左、右焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)P为第一象限内椭圆C上的一点，直线尸耳,PB与直线x=5分别交于两点，记△R4B和△环区的面

S.25PA-PF.

积分别为*邑，若2=丁，求0n屋的值.

与9PB-PF2

【答案】⑴u

10o

(2)1

【分析】(1)先根据椭圆焦点得c=2,再由定义得到椭圆方程.

⑵先设直线2吊尸工并表示出4],再根据2=个求出?['£|'415彳]，3（5,9），最后由距离公式得到

|「团=|师疗用=）亚,1PAl=|扬尸耳=：亚,计算出答案.

（1）

由题意可知片（-2,0）,耳（2,0）,

/.<?=2,

,■,椭圆C:0+2=l(a>6>0)过点I：,：],

/.a=Vw,

b2=a2—c2=6,

椭圆c的方程为：却=“

106

(2)

由£(-2,0),P(x0,%)得直线正耳：%x-(%+2)y+2%=0,

令x=5,解得'=^7,

毛+2

1%+2)

同理得215,且

.•.河|="一旦|=以嗯_20%,

XQ+2XQ_21XQ—4

,：_5/(57。)(5一/)[25

邑；呼2M忖一49'

化简得16x；+90x0-325=0①或34君-90%+125=0(2),

由①得(25一5)(胱+65)=0,故x0=g,

由②可知/<0,故该方程无实根.

522Q

将七=三代入椭圆方程I+J=l中，解得为=：,

21062

,・,吗£|4，3，8（5,9）,

.-.|pf；|=|A/To,|pf；|=17To.|PA|=|Vw,|PB|=|Vio,

PA-PF,

...-------------=1.

PB-PF2

r221

43.（2022•浙江•高三开学考试）已知椭圆C：[+与=1（.＞0力＞0）的右焦点为F（2,0）,离心率为不AABC

ab2

为椭圆C的任意内接三角形，点。为AABC的外心.

（2）记直线AB.BC.CA.OD的斜率分别为尤&，且斜率均存在.求证：4Khk3kA=3.

22

【答案】⑴L+匕=i；

1612

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用右焦点、离心率求出。，。即得解；

£＞

（2）设4（%,%）,3（%2,%），。（王，％），（当，4），求出％，&%，%即得证.

（1）

丫21

解：由椭圆C:「+与=1（。＞0,6＞0）的右焦点为尸（2,0）,离心率为£r=:得。=4,c=2.所以

aba2

b=A/16—4=2^3.

22

所以椭圆C的方程为上+匕=1.

1612

（2）

证明：设4a,乂）,巩心力）〈（电，%），0®，%），则占二充三生二工资名二受?&二?.

设△ABC的外接圆方程为f+y2_2X4X-2"y+产=。，

得片+弁一2%4石一2y4yl+尸=0,x；+y；-2x4x2—2y4y2+厂=0,

两式相减得君—4+£-y；=2%（%—玉）+2y4（为一%），

因为尤-y；=-3-4）,所以]]（%2+玉）=214+2%匕，

同理：；(九2+%3)=2%4+2乂右.

cX.-xcx+xx.-x

两式相减得：2%=京方,于是：2中」9一京力A为

所以%子二」的二77(尤2+玉)％2一(％3+12)%1

44（L

（七一占）（毛一毛）（毛一占）

将代入《得：2（君一尤;）（%一）2）一（老一无；）（»2一%）

因为尤一工；=-g（y；-y；）,xl~xl=-g（y；一式）

rrpik_3(二1%2)(%2—%)(尤3-xj

'4)(%f)

所以叫k2k3k4=3得证.

44.（2022•浙江省桐庐中学高三阶段练习）己知椭圆氏，系=1（“>6>0）经过点"守且焦距

比周=26,线段AB,CD分别是它的长轴和短轴.

⑴求椭圆E的方程；

（2）若N（sj）是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线尸。经过定点.

①s=l,tw±3,直线根,g与椭圆E的另一交点分别为尸，Q.

2

②，=2,SER,直线NCND与椭圆E的另一交点分别为尸，Q.

【答案】⑴工+/=1

4-

（2）见解析

’13,

---1----=1

【分析】（1）由已知可得：a24b2,解得：4=4万=i,即可求椭圆E的方程；

a2-b2=3

（2）选①，则N（l/）,A（-2,0）,3（2,0）,设P（冷，力）,0&,渥，

^NA=~~~=W，&NB="~~^=T，所以L:y=W（X+2）/NB：y=—，（彳一2）,

1+ZJ1—ZJ

联立直线和椭圆的方程，求出尸,。的坐标，进一步得到直线尸。的方程，令y=0,尤=4,故直线PQ恒过定点

（4,0）.

选②，则N（s,2）,C（0,l）,r）（0,-l）,设尸⑸,井）,0&,坨）,

k=—=一，左即=—=一，所以：y=_%+1，,即：y=_%一1

NC5sssSS

联立直线和椭圆的方程，求出P,。的坐标，进一步得到直线PQ的方程，令x=0,y=；,故直线PQ恒过定

点

（1）由己知，点ML坐在椭圆上，所以』+义=1，又因为片一〃一，所以/=4万=1,所

\2\a4b

以椭圆的方程为：cr=4,b2=l.

（2）选①，则N（1J）,A（-2,O）,3（2,O）,设「（4,丹）,。&,“），几=丁）=;,%=/）=乜所以

1+231—2

y=*+2）

INA:，=；（，+2），/液:丁=-，（%-2）,2消去y得:

X21

——+y-I

4

△=256/-4（9+4/）（16/-36）=36?>0所以-2/=1；[十乎,所以/=一；：:产,则%所以

y=-t（x-2）

-8r+18

P：2,消去y得：（l+4/2）x2-l6r2x+l6r2-4=0,

9+4/'x

彳+y-

422

A=256/-4（l+4f）（l6?-4）=16>0,所以2q=g^,所以a=氏|,则均=上？，所以

I2t4t

一就:巴:所以直线尸。的方程为：

9+4t21+4/

,所以16y4+（8x—32）/+16”2+（2X—8"+3y=0,所以y=0,尤=4,故直线

。。恒过定点（4,0）.选②，则N（s,2）,C（0,l）,D（0,—l）,设*%,力）,。小,%），G=平="即=—1=：,