河南焦作市2024-2025学年高一年级下册5月联考数学试题（北师大版）

河南焦作市2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（北

师大版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.sin62°cos32°—cos62°sin32°=()

A.里B.iC.在D.

2222

2.已知角a的始边与％轴非负半轴重合，终边经过点4(3cos/?,sinS),且sina=£则cos2/?=

()

A.2B.-坨C.」D.三

17171717

3.已知cos(%—y)=2sin(%+y),tan(1+y)=$则tanxtany=()

A.-B.-C.-D.--

2355

4.已知非零向量江在向量3上的投影向量为转，同=4,则仅-3)不=()

A.-4B.-6C.-8D.-16

5.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中错误的是()

A.若sin/>sinB,则/>B

B.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形

C.若bcosA=acosB,则△ZBC为等腰三角形

D.对任意△ABC,都有cosB+cosC>0

6.已知aG(0,(0,刁)，且tana+tan£=--,贝lj()

A.2/?—cz=—B.2s+a=5

C.2a—/?=—D.2a4-jS=—

7.已知函数f(>)=l-2sin2(3x+录(3>0)在［0,n］上有且仅有2个零点，则3的取值范

围为（）

［冷)D・唇)

8.设点尸在△力BC内且为△ABC的外心，ZBXC=30°,如图，若△PBC,APCA,AP48的面

积分别为%无，y，则“y的最大值是（）

二、多选题

9.定义：角。和0都是任意角，若0+9=今则称。与，广义互余”.已知sina=%满足下

列条件的角0中，可能与角a广义互余的是（）

A.COS（TT+=|B.tan£=手C.COS（2TT-0）=：D.sin£=言

10.已知g是函数/（%）=sin（ax-小（3>0）的一个零点，则下列说法正确的有（

A.函数/（久）最小正周期的最大值为47t

B.函数f（x）可能在（0,m）上单调递增

C.直线久=詈不可能是图象的对称轴

D.若/⑺在［O,；］上有且仅有2个最值点，则3=羡

11.如图，在边长为4的正方形4BCD中，点E是4D的中点，点P满足»=4荏+

〃而（0<Z<1,0<M<1）,则下列说法正确的是（）

A.若2=〃=$则方•丽=4

试卷第2页，共4页

B.若〃=1,则品•行为定值

C.若点P在线段BE上，贝咛4+〃为定值

D.若|布|=4,则22+〃的最大值为遮

三、填空题

12.已知。用,且cos侬+1)=—亲则tan(0_\=—.

13.如图所示，两直角三角形共斜边MN,且MN=6,MB-MA=3,NA-NB=2,设

乙AMN=/?,Z-BMN=a,贝！Jcos(S—a)=.

14.当0<x<］时，不等式sin2%—2cos22x+11>msinxcos%成立，则m的取值范围是

四、解答题

15.已知a,夕为锐角，sin(cr+/?)=|,sinacosjS=

(1)求证：tana=2tan£；

(2)求cos(a-0)的值.

16.求下列式子的值.

(l)tan200+4sin20°；

(2)sin40°(tanl00-V3)；

C、tanl0°+tan50°+tanl20°

I)tanl0°tan50°,

17.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角4,B,C所对的边，且sin4(sinA-sinC)=

sin2(X+C)—sin2c.

⑴求角B；

(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.

18.已知向量2=(V5cos3x,sina)x),b-(coscox,coscox),函数/'(x)=2,3—j®>0),

/(x)图象的相邻对称轴之间的距离为今

(1)求/'(%)的解析式;

(2)求函数/(久)的单调递增区间和/0)的图象的对称轴方程；

(3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的5纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平

移2个单位得久久)的图象，若关于x的方程g(x)=m在卜卷段上只有一个解，求实数6的取

值范围.

19.已知函数/(久)的定义域是D,对于任意的定义集合当⑴={久"(久)2f(t)}.

⑴设/(久)=sinx,定义域D=卜*］，求加0)；

⑵设/(%)=sin久，定义域D=卜*］,若％t)?Sf(E),求t的取值范围；

(3)设/(%)=cos2x+acosx,定义域0=求实数a的取值范围，使得对任意的J£。

且匕＜t］，都有»(切—Sfg。

试卷第4页，共4页

《河南焦作市2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题(北师大版)》参考答案

题号12345678910

答案BCDCBDCBCDACD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】sin62°cos320-cos62°sin32°=sin(62°-32°)=sin30°=j.

故选：B.

2.C

【分析】由三角函数的定义列出方程，即可得到cos?.,再结合二倍角公式代入计算，即可

得到结果.

【详解】依题意，/鬻F=；，即8sin2£=9COS20,

79coszp+sinz/53

又sin2s+cos2/?=1,则cos2s=*

所以cos2s=2cos2s—l=2x^—1=—

故选：c.

3.D

【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将cos(X-y)=2sin(%+y)展开，两边同时除以

cosxcosy,再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】cos(%—y)=2sin(x+y),

•••cosxcosy+sinxsiny=2sinxcosy+2cosxsiny,

两边同时除以cosxcosy,

可得1+tanxtany=2tanx+2tany,

tanx+tany1

tan(x+y)=

1-tanxtany3’

,,,1-tanxtany

••・tanx+tany=-----------,

1taitany

・•・1+tanxtany=2x^y解得tanxtany=-

故选：D.

4.C

答案第1页，共11页

【分析】由投影向量的计算，求得数量积，根据数量积运算律，可得答案.

【详解】非零向量a在向量3上的投影向量为:几同=4,

则患']fI=2解得I，b=8,故(2—b)-b=a-b—b2=8—16=—8.

故选：C.

5.B

【分析】利用正弦定理进行角化边,再根据大边对大角来判断A；利用正弦定理进行边化角，

再利用二倍角公式求解，分两种情况讨论判断B；利用正弦定理进行边化角，再利用两角差

的正弦公式求解判断C；根据三角形内角和定理得出不等关系0<B<n-C<m再利用

y=cos%在(O,TT)上单调递减来求解.

【详解】对于A,由sinZ>sinB,根据正弦定理得a>b,则/>8,故A正确；

对于B,由acosZ=bcosBf根据正弦定理得sinZcosA=sinBcosB,

则sin24=sin28,则2/=28或2/+28=n,

则A=8或4+8=热所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误;

对于C,由bcos/=acosB,根据正弦定理得sinBcos/=sirL4cos8,

则sin(B—Z)=O,即4=从所以△ABC为等腰三角形，故C正确；

对于D,由8+C<n,则0<B<n—C<iif

因为函数y=cos%在(0m)上单调递减，贝!JcosB>cos(n—C)=—cosC,

即cosB+cosC>0,故D正确.

故选：B.

6.D

【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得sin(a+/?)=cosa,根据诱导公式及正弦

函数的性质得a+S=^-a或(a+0)+@一a)=TT,即可得解.

【详解】因为tana+tan。=吃，所以必竺=1.一sin,

COS0

即sinacosy?=cosa—sin/?cosa,整理得sin(a+/?)=cosa,

即sin(a+0)=sinQ—所以a+0=；—a或(a+£)+(1—a)=it,

即2a+0=］或0=T(舍去).

故选：D

答案第2页，共11页

7.C

【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得q42113+：<?,解不等式即可得出

242

答案.

【详解】/(%)=1—2sin2(3%+小=cos(2a)x+：),

令t=2(JL)X+因为第6［0,n］,所以tE2113+；］,

令cost=0可得力=fcir+I，kEZ,

因为f(%)在［0m］上有且仅有2个零点，所以2713+-V等，

242.

解得3G［|,0.

故选：C.

8.B

【分析】由5心.=2得到外接圆半径的平方，设N4PC=8,将无，y用。表示，再结合二倍

角公式化简即可得到答案.

【详解】因为NB4C=30。，所以NBPC=60。，设△ABC外接圆半径为r,

所以SAPBC=|r2sin60°=解得产=套,

设NAPC=8,120°<e<180°,贝此4PB=300°—8,

22

SAAPC=X=|rsin6=JsinO,SAAPB=y=|rsin(300°-0)=^sin(300°-0),

故x-y=|sin0sin(3OO°-0)=|sin0(—/cos0—|sing)

=if--sin20-182)=1sin(30°-20)--—

6V2276v71261212

当e=150。时，等号成立.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：引入变量N4PC=e,将居y均用变量。表示，将最后结果表示为关于。

的三角函数，利用三角函数的性质求最值是解题的关键.

9.CD

【分析】由条件结合诱导公式化简可得sina,根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系

判断各选项即可.

【详解】对于选项A,若角a和/?广义互余，则a+8=］即0=：—a,

答案第3页，共11页

则COS(TI+/?)=cos(|IT-a)=—sina=—故A错误；

对于选项B,若角a和£广义互余，贝UtanS=翳=%三=落=(，

解得cosa=手，则siMa+cos2q。1,故B错误；

对于选项C,若角a和，广义互余，贝UCOS(2TI—S)=cos0=cos一仇)=sina=故C正

确；

对于选项D,若角a和0广义互余，贝！Jsin£=sin一a)=coset=±V1—sin2cr=土言，

即满足sin/?=誓的角£可能与角a广义互余，故D正确.

故选：CD.

10.ACD

【分析】根据题设条件计算得a=3fc+|,kezf利用正弦型函数的周期性和单调性计算

可判断AB,利用正弦型函数的对称轴计算可判断C,结合正弦型函数的图象可判断D.

【详解】由题意得“3—"=/CTT,kEZ,所以co=3/c+工，fcEZ.

362

对于A,又3>0,所以3的最小值为;，则函数/(均最小正周期的最大值为T=4=4n,故

23

A正确；

对于B,设函数/⑺的最小正周期为7,若/⑺在(0涔)上单调递增，则必有:<p贝b>5m

又由A知TW4m故B错误；

对于C,若直线x=g是/(x)图象的对称轴，则-£=nm+%meZ,

解得3=得上，mEZ,与o)=3k+3,keZ不能同时成立，故C正确；

对于D,若则3乂—鼠卜：，W],若/(X)在[。,可上有且仅有2个最值点，

则文—三〈即，解得5W“<8,又3=3k+Lk&Z,所以3=上，故D正确.

236222

故选：ACD.

11.BCD

【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向

量模长的计算公式逐项计算判断即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

答案第4页，共11页

则力(0,0),B(4,0),C(4,4),0(0,4),E(0,2),

所以希=(4,0),AD=(0,4),因为丽=AAB+/zAD(0<A<1,0<M<1)，

所以Q=(42,4/Z)(0<2<1,0</Z<1),即P(4/l,4〃)(0<A<1,0</z<1).

对于A,若4=〃=],贝牙(2,2)，所以而=(一2,0),~PB=(2,-2),

所以丽•丽=一4,故A错误；

对于B,当〃=1时，P(44,4),所以万=(44,4),又就=(0,4),

所以尻•布=16,故B正确；

对于C,因为前=(-4,2),BP=(4A-4,4g),

又点P在线段BE上，所以丽〃丽，所以(44-4)X2=-4x4〃，

所以+=故C正确；

对于D,若|布|=4,又族=(4尢4〃)，所以J(4/l)2+(4=2=4,即;^+犷=乙

旬咽，

所以24+〃=2cos0+sin。=V5sin(0+<p),其中9为锐角且tanw=2,

所以当。+9=]时，24+〃取得最大值，且最大值为有，故D正确.

故选：BCD.

12.-

4

【分析】根据角的范围结合二倍角余弦公式及同角三角函数关系即得cos,+小=-|,最

后应用切化弦计算求值.

【详解】因为8egg,所以8+江&

可知cos(9+g)<0,sin(6+；)>0,

且由二倍角公式得cos(20+y)=2cos2(°+f-1=一套

答案第5页，共11页

解得cos(6+9=—|，则sin(0+§=Jl_cos2(8+,)=

3

4

故答案为：*

【分析】在直角三角形中利用三角函数表示各个直角边，然后代入等式，平方相加即可求解.

【详解】乙BMN=a,乙AMN=/?,

由题意可得MB=6cosa,NB=6sina,MA=6cos/?,NA=6sin/?,

(1

cosa—cospn=-

因为｛窜［篇"，则6coscr—63sB=3即|:

6sin£—6sina=2sin/3—sina=-

I3

两式平方相加可得2—2cosacosy?—2sinasin/?=

即2—2cos(j5—a)=—,所以cosQ5-a)=—.

故答案为：

14.(-8,24]

【分析】由题意当0<%v］时，2sin2x+—+1>y,故只需求出0V%<］时，2sin2%+

TT；--1-1的最小值即可.

【详解】因为0V%所以0<sin2x<1.

由题意得上二经*1>勺或立，

sin2x2

2sin22x+sin2x+9口,9,^m

即Rn------------>—,即2sm2%+----+1>—.

sin2x2sin2x2

因为关于sin2x的对勾函数y=2sin2x+急在(0,1]上单调递减,

所以2sin2久+2+1的最小值为12,所以：W12,

sin2x2

解得m<24,即TH的取值范围是(—8,24］.

故答案为：(—00,24］.

15.(1)证明见解析

答案第6页，共H页

⑵等

【分析】(1)由sinacos/?+cosasin/?=sinacosB=得cosasin^=工，从而由sinacos^=

236

2cosasinS即可得证;

（2）先求得sin（a-/?）,再根据平方关系、角的范围即可求解.

【详解】（1）因为sin（a+S）=5

所以sinacosS+cosasin/?=又sinacos£=

所以cosasinS=---=-

236

所以sinacosS=2cosasin£,即"3=2x"g,

cosacosp

所以tana=2tan£；

(2)sin(a—£)=sinacos^—cosasinS=：­：=：

所以cos2(a—S)=1—sin2(a—^)=1—^=||

因为a,£为锐角，所以0<a<3，0<£<3，所以*<一0<0,

所以所以c°s(a-6)==等.

16.(1)V3

⑵-1

（3）-V3

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系切化弦和二倍角的正弦公式以及两角和差的正弦公

式即可求解.

（2）根据同角三角函数基本关系切化弦和两角差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算.

（3）由tan60。=tan（10。+50。）=百，利用两角差正切公式可整理得到结果.

o

【详解】（1）原式=-si-n-20-°-F,4.si.n20°=-si-n2-0--+-4s-i-n2-0-°-co-s-2-0°

cos20°cos20°

sin200+2sin40°_sin200+2sin(60°-20°)

cos20°cos20°

_sin20o+V3cos20o-sm20o

一cos20°

(2)原式=sin40°(tanl0°—tan60°)=sin40°x—；；；；；。

答案第7页，共11页

sinl0°cos60°—cosl0°sin60°—sin50°

=sin40°x=sin40°x——-----

cosl0°cos60°coslOcos60°

sin40°cos40°-sin80°^coslO°

CEM。。=T

cosl0°cos60°cosl0°cos60°

tanlO°+tan5O°

(3)因为tan60°=tan(10°+50°)==V3,

1—tanl0°tan50°

所以tanl0°+tan50°=V3—V3tanl00tan50°,

tan10°+tan50°+tan120°=V3-V3tanl00tan50°-V3=—V3tanl00tan50°,

所以原式=噜端詈7

17.⑴8=3

(2)(3+V3,6+2V3)

【分析】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦

定理解三角形即可.

（2）由三角形形状和角8的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示

三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的

范围.

【详解】（1）在AABC中，A+B+C=11,

所以sin4(sin4—sinC)=sin2(X+C)—sin2C=sin2B—sin2C,

即sin2力—sinXsinC=sin2S—sin2C.

由正弦定理可得—ac=ZJ2—C2,即小+c2—fa2=ac.

a2+c2-b21

由余弦定理，得cosB=

2ac2

因为B为锐角三角形ABC的内角，所以8=泉

（2）由（1）知，B=%因为△4是锐角三角形,

所以ae(o,3c=e(o.g,解得4eg》

由正弦定理=---=——9得

sinAsmFsinesinAsin-

3sin管-4)'

〜,2sin-A/32sin(—■-V3cosyl+sini4y/3cosA.

所以b=—7--9c=------：---=---：---=—：―■—F1，

sin/sin/sinAsinAsin/

V3cos>l,yV3(l+cos>l),。

所以△/8C的周长a+b+c=2+-+——+1=---——+3.

sinAsin?lsinTl

l+cosi4_2cos2^

1且H二），

因为7~Af

k-2si喙谒tan—

2

答案第8页，共11页

所以号e(七,f).

sinZ\tan-tan—/

因为tang=1,tan=1n=2-V3,所以把竽E(1,2+g),

4121+cos-sirii4'7

所以殁畀+3e(3+8,6+28)，

即^ABC的周长的取值范围是(3+V3,6+2V3).

18.(1)/(久)=sin(2久+

(2)单调递增区间为卜詈+的1吟+同，k&Z,对称轴方程为x=?+*k&Z

⑶[-旧,魂)u⑵

【分析】(1)利用二倍角的余弦公式和二倍角正弦公式，以及三角恒等变换化简函数/(乃;

(2)根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解；

(3)利用三角函数的图象变换求函数g(x)的解析式，再通过换元后，结合y=2sint的图象，

即可求解.

【详解1(1)依题意，/(x)=V3cos2tt)x+sintoxcosojx—=-y(1+cos2tox)+|sin2tox—

V3

2

=sin(23%+)3>0.

因为f(%)图象的相邻对称轴之间的距离为》所以/(%)的最小正周期为m

所以空=冗，得但=1,所以/(%)=sin(2%+U).

2d)\3/

(2)令——+2/CTC<2%+—<—+2/CTC,kE.Z,

232

则——-+fcn<%<—+Mr,kEZ,

cfGz

如

令fzm

+71--+ITcG+cfez

2