福建省福州市部分学校2024~2025学年高三上学期元月联考数学试题（原卷版）

2024~2025学年第一学期福州市部分学校元月联考

高三数学试卷

考试日期：2025年1月3日

完卷时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的.）

3i

zz

1.已知复数12i（其中i为虚数单位），则（）

52

A.B.C.2D.5

52

2.已知集合A{x∣2x5},B{x∣2a1x2a6}，若AB{x∣3x5}，则a（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量a(1,1),b(2,1)，若(kab)a，则k（）

11

A.B.C.2D.2

22

是直线与直线2平行的（）

4.“a2”“l1:2ax4y30l2:(a1)xy50”

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

充要条件既不充分也不必要条件

C.D.

5.已知圆台的母线长为4，高为7，体积为77π，则圆台的侧面积为（）

A.48πB.24πC.20πD.10π

ππ

6.已知函数fxsinx0的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（）

312

A.2B.4C.6D.8

7.为丰富学生的校园文化生活，哈尔滨市第九中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场，现欲测量操场两侧

C，D两点之间的距离，甲同学选定了与C，D不共线的P1,P2两处观测点，如图所示，并知P1P2a，设

DP2P11,CP1P22,P2DP13,P1DC4,P2CD5,P2CP16，以下是测量数据

的不同方案：①测量1,2,3,4；②测量1,2,3,6；③测量1,3,5,6；④测量

1,3,4,6．若甲同学选择的方案能唯一确定C，D两点之间的距离，则这样方案的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知定义域为R的函数fx为偶函数，且fx在区间0,上单调递减，则下列选项正确的是（）

33

A.fflog14flog45B.fflog45flog14

2323

33

C.flog14flog45fD.flog45flog14f

3232

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项是符合题意的，全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分.）

π

9.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c4,C，且sinCsinBA2sin2A，则

3

下列结论一定成立的是（）

A.a2b

83

B.VABC的面积为

3

C.VABC的周长为443

83

D.VABC外接圆半径为R

3

11

10.已知角,满足sin，cossin，则下列结论正确的有（）

43

71

A.cos2B.sincos

812

5

C.tan4tanD.sin2

12

11.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的

切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆

22

xy2242

E:1ab0的蒙日圆为C:xya，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交

a2b23

圆C于P,Q两点，直线PQ交椭圆E于A,B两点，则下列结论正确的是（）

3

A.椭圆E的离心率为

3

1

B.若点D在椭圆E上，将直线DA,DB的斜率分别记为k,k，则kk

12123

236a

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为

3

4

D.MPQ面积的最大值为a2

3

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

n

1

12.已知ax的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为______．

x2

22

13.若动直线l1:mxym30，圆C:(x2)(y4)3，则直线l1与圆C相交的最短弦长为

__________．

14.已知VABC在斜二测画法下的直观图(其中A与A对应，B与B对应)为下图所示的ABC，其中

3

OAOB1，OC，则VABC的面积为______；以该VABC为底面的三棱锥PABC中，

2

△PAB≌△CAB，PC3，则三棱锥PABC的外接球半径为______.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

15.良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不

可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识

竞赛活动，班主任将竞赛题目分为A,B两组，规定每名学生从A,B两组题目中各随机抽取2道题作答．已

21

知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对B组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立．

32

（1）求学生甲恰好答对3道题的概率；

（2）设学生甲共答对了X道题，求X的分布列及数学期望．

x2y2

16.已知y2x是双曲线C:1a0,b0的一条渐近线，点2,2在C上.

a2b2

（1）求C的方程；

（2）已知直线l的斜率存在且不经过原点，l与C交于A,B两点，AB的中点在直线y2x上.若M1,1，

△MAB的面积为6，求l的方程.

17.三棱台ABCA1B1C1中，AB2A1B1,ABBC,ACBB1，平面AA1B1B平面ABC，

，与交于．

AB3,BC2,BB11,AE2EBA1CAC1D

（1）证明：DE∥平面A1BC1；

（2）求异面直线A1C1与DE的距离．

2

18.已知函数fxaxlnx1xaR.

（1）当a0时，讨论fx的单调性；

x

（2）gxfxx1e2x1

.

（i）当a0时，求gx的最小值；

（ii）若gx0在0,上恒成立，求a的取值范围.

已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的*，恒成立，

19.annTnkZnNan1Tn