高中数学苏教版必修四学案3.3几个三角恒等式

学习目标1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一积化和差与和差化积公式思考1如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sinαcosβ和cosαsinβ？思考2若α＋β＝θ、α－β＝φ，则如何用θ、φ表示α、β？梳理(1)积化和差公式sinαcosβ＝________________.cosαsinβ＝________________.cosαcosβ＝________________.sinαsinβ＝________________.(2)和差化积公式sinα＋sinβ＝________________.sinα－sinβ＝________________.cosα＋cosβ＝________________.cosα－cosβ＝________________.知识点二万能代换公式思考结合前面所学倍角公式，能否用taneq\f(α,2)表示sinα？梳理万能公式(1)sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).(2)cosα＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).(3)tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2)).知识点三半角公式思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2×eq\f(α,2)替换α，结果怎样？思考2根据上述结果，试用sinα，cosα表示sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).思考3利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)和倍角公式又能得到taneq\f(α,2)与sinα，cosα怎样的关系？梳理半角公式(1)sineq\f(α,2)＝.(2)coseq\f(α,2)＝.(3)taneq\f(α,2)＝.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由eq\f(α,2)所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即eq\f(α,2)是α的半角，而α是2α的半角．类型一积化和差与和差化积公式eq\x(命题角度1积化和差公式的应用)例1求下列各式的值．(1)sin37.5°cos7.5°；(2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°.反思与感悟在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1化简：4sin(60°－θ)·sinθ·sin(60°＋θ)．eq\x(命题角度2和差化积公式的应用)例2已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值．反思与感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．类型二利用万能公式化简求值例3(1)已知cosθ＝－eq\f(3,5)，并且180°＜θ＜270°，求taneq\f(θ,2)的值；(2)已知eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ－3cosθ)＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．反思与感悟(1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．类型三三角恒等式的证明例4求证：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练4证明：eq\f(sinα＋1,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(1,2)taneq\f(α,2)＋eq\f(1,2).1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈(0，π)，则coseq\f(α,2)的值为________．2．已知α－β＝eq\f(2π,3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，则cos(α＋β)＝________.3．已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，450°＜α＜540°，则taneq\f(α,2)＝________.4．化简：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－tan\f(α,2)·1＋cosα,\r(1－cosα))(0＜α＜π)．1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．

答案精析问题导学知识点一思考1∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ，,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ，))∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).梳理(1)eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)](2)2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)知识点二思考sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，即sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).知识点三思考1结果是cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝1－2sin2eq\f(α,2)＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2).思考2∵cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，∴coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，同理sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).思考3taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).梳理(1)±eq\r(\f(1－cosα,2))(2)±eq\r(\f(1＋cosα,2))(3)±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)题型探究例1解(1)sin37.5°cos7.5°＝eq\f(1,2)[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝eq\f(1,2)(sin45°＋sin30°)＝eq\f(\r(2)＋1,4).(2)sin20°·sin40°·sin80°＝－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－20°)]·sin80°＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,2)sin80°cos20°＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(sin100°＋sin60°)＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(\r(3),8)＝eq\f(\r(3),8).(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)[sin90°＋sin(－50°)]－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－40°)]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin50°－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4).跟踪训练1解原式＝－2sinθ·[cos120°－cos(－2θ)]＝－2sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cos2θ))＝sinθ＋2sinθcos2θ＝sinθ＋sin3θ－sinθ＝sin3θ.例2解因为cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2). ①又因为sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，所以2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3). ②因为sineq\f(α－β,2)≠0，所以由①②得－taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(3,2)，即taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2).所以sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq\f(12,13).跟踪训练2解原式＝(sin20°＋cos50°)2－sin20°·cos50°＝(2sin30°·cos10°)2－eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝cos210°－eq\f(1,2)cos20°＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋cos20°,2)－eq\f(1,2)cos20°＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).例3解(1)∵180°＜θ＜270°，∴90°＜eq\f(θ,2)＜135°，∴taneq\f(θ,2)＜0.∵cosθ＝eq\f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝－eq\f(3,5)，∴tan2eq\f(θ,2)＝4，∴taneq\f(θ,2)＝－2.(2)∵eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ－3cosθ)＝－5，∴eq\f(2tanθ＋1,tanθ－3)＝－5，∴tanθ＝2.又cos2θ＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5)，sin2θ＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4,5)，∴3cos2θ＋4sin2θ＝－eq\f(9,5)＋eq\f(16,5)＝eq\f(7,5).跟踪训练3解∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝3，∴eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，∴tanθ＝eq\f(1,2).sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)－eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)－1＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)－1＝－eq\f(4,5).例4证明要证原式，可以证明eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋co