反比例函数专题强化训练习题集

反比例函数专题强化训练习题集核心知识点全覆盖·解题技巧深度练一、前言反比例函数是初中数学的核心内容之一，既是代数与几何的桥梁，也是中考的重点考查对象（占比约8%~12%）。其知识点涵盖定义、图像、性质、k的几何意义、与一次函数的综合应用等，题型灵活多变，既考查基础概念，也注重逻辑推理与实际建模能力。本习题集以“夯实基础—深化性质—综合应用—拓展提升”为梯度，覆盖反比例函数所有考点，旨在帮助学生系统巩固知识点、突破易错点、提升解题能力。每道题均附详细解析，强调方法指导与思维训练，适合初三学生一轮复习或专题强化使用。二、知识梳理（核心考点清单）1.定义形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，称为反比例函数。自变量\(x\)的取值范围：\(x\neq0\)；函数值\(y\)的取值范围：\(y\neq0\)。2.图像与性质图像：双曲线（关于原点对称，关于直线\(y=x\)、\(y=-x\)对称）；性质：当\(k>0\)时，双曲线位于第一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k<0\)时，双曲线位于第二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。3.\(k\)的几何意义过反比例函数图像上任意一点\(P(x,y)\)作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(A\)、\(B\)，则：矩形\(OAPB\)的面积\(=|xy|=|k|\)；三角形\(OAP\)（或\(OBP\)）的面积\(=\frac{1}{2}|k|\)。4.与一次函数的综合联立\(y=\frac{k}{x}\)与\(y=ax+b\)，消去\(y\)得：\(ax^2+bx-k=0\)，判别式\(\Delta=b^2+4ak\)：\(\Delta>0\)：两函数图像有两个交点；\(\Delta=0\)：有一个交点（相切）；\(\Delta<0\)：无交点。5.实际应用常见反比例关系：路程一定时，速度与时间成反比（\(v=\frac{s}{t}\)）；面积一定时，长与宽成反比（\(a=\frac{S}{b}\)）；工作量一定时，工作效率与时间成反比（\(\eta=\frac{W}{t}\)）。三、基础巩固篇（易题·覆盖核心概念）习题1.下列函数中，属于反比例函数的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=2x^2\)C.\(y=\frac{1}{x-1}\)D.\(y=\frac{3}{x}\)2.若函数\(y=(m-2)x^{m^2-5}\)是反比例函数，则\(m=\)（）A.2B.-2C.±2D.33.反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)经过点\((3,-2)\)，则\(k=\)（）A.-6B.6C.\(-\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)4.函数\(y=\frac{5}{2x+3}\)的自变量取值范围是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq-\frac{3}{2}\)C.\(x>-\frac{3}{2}\)D.\(x<-\frac{3}{2}\)5.反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)的图像上有一点\(P(a,b)\)，则\(ab=\)（）A.4B.-4C.\(\frac{1}{4}\)D.\(-\frac{1}{4}\)解析1.答案：D反比例函数的标准形式为\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），A为一次函数，B为二次函数，C为分式函数（分母为\(x-1\)，非\(x\)），故D正确。2.答案：B反比例函数需满足：\(m^2-5=-1\)（指数为-1）且\(m-2\neq0\)（\(k\neq0\)）。解得\(m^2=4\)，\(m=±2\)，排除\(m=2\)，故\(m=-2\)。3.答案：A代入点\((3,-2)\)得：\(-2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=-6\)。4.答案：B分母不能为0，故\(2x+3\neq0\)，解得\(x\neq-\frac{3}{2}\)。5.答案：A点\(P(a,b)\)在\(y=\frac{4}{x}\)上，故\(b=\frac{4}{a}\)，得\(ab=4\)（\(k\)的几何意义的基础形式）。四、性质深化篇（中等题·聚焦图像与k的意义）习题1.若反比例函数\(y=\frac{k-3}{x}\)的图像在第二、四象限，则\(k\)的取值范围是（）A.\(k>3\)B.\(k<3\)C.\(k>0\)D.\(k<0\)2.已知点\(A(-1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)、\(C(3,y_3)\)在\(y=\frac{6}{x}\)的图像上，则\(y_1,y_2,y_3\)的大小关系是（）A.\(y_1<y_2<y_3\)B.\(y_1<y_3<y_2\)C.\(y_2<y_3<y_1\)D.\(y_3<y_2<y_1\)3.过反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图像上一点\(P\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(Q\)，若\(\triangleOPQ\)的面积为4，则\(k=\)（）A.8B.-8C.±8D.±44.反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像关于原点对称，若点\((2,-3)\)在其图像上，则下列点也在图像上的是（）A.\((2,3)\)B.\((-2,-3)\)C.\((-2,3)\)D.\((3,-2)\)解析1.答案：B图像在第二、四象限，说明\(k-3<0\)（\(k<0\)时双曲线在二、四象限），故\(k<3\)。2.答案：B代入得：\(y_1=\frac{6}{-1}=-6\)，\(y_2=\frac{6}{2}=3\)，\(y_3=\frac{6}{3}=2\)，故\(y_1=-6<y_3=2<y_2=3\)。3.答案：C\(\triangleOPQ\)的面积\(=\frac{1}{2}|k|=4\)，解得\(|k|=8\)，故\(k=±8\)（面积为绝对值，\(k\)可正可负）。4.答案：C关于原点对称的点坐标为\((-x,-y)\)，点\((2,-3)\)关于原点对称的点为\((-2,3)\)，故C正确。五、综合应用篇（中难题·结合一次函数与几何）习题1.已知一次函数\(y=ax+b\)与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)交于点\(A(1,4)\)和\(B(-2,m)\)，求：（1）\(k\)、\(m\)的值；（2）一次函数的表达式；（3）\(\triangleAOB\)的面积。2.如图，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点\(A(2,3)\)，过点\(A\)作\(AB\perpx\)轴于\(B\)，作\(AC\perpy\)轴于\(C\)，求矩形\(ABOC\)的面积。3.已知反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)与一次函数\(y=mx+2\)的图像有两个交点，求\(m\)的取值范围。解析1.解答（1）点\(A(1,4)\)在\(y=\frac{k}{x}\)上，故\(k=1×4=4\)；点\(B(-2,m)\)在\(y=\frac{4}{x}\)上，故\(m=\frac{4}{-2}=-2\)。（2）一次函数过\(A(1,4)\)、\(B(-2,-2)\)，代入得方程组：\(\begin{cases}a+b=4\\-2a+b=-2\end{cases}\)，解得\(a=2\)，\(b=2\)，故一次函数表达式为\(y=2x+2\)。（3）方法一（坐标公式法）：\(\triangleAOB\)的面积\(=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}|1×(-2)-(-2)×4|=\frac{1}{2}|-2+8|=3\)。方法二（分割法）：一次函数\(y=2x+2\)与\(y\)轴交于点\(C(0,2)\)，则\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=1+2=3\)。2.解答矩形\(ABOC\)的面积\(=|k|\)（\(k=2×3=6\)），故面积为6。注：直接计算边长也可：\(AB=3\)（\(y\)坐标），\(AC=2\)（\(x\)坐标），面积\(=3×2=6\)。3.解答联立\(y=\frac{8}{x}\)与\(y=mx+2\)，得\(mx+2=\frac{8}{x}\)，整理得\(mx^2+2x-8=0\)。有两个交点需满足：\(m≠0\)（反比例函数\(k≠0\)）且\(\Delta>0\)（判别式大于0）。\(\Delta=2^2-4×m×(-8)=4+32m>0\)，解得\(m>-\frac{1}{8}\)。故\(m\)的取值范围是\(m>-\frac{1}{8}\)且\(m≠0\)。六、拓展提升篇（难题·考查综合思维）习题1.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像上有两点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，若\(x_1<0<x_2\)且\(y_1>y_2\)，求\(k\)的取值范围。2.如图，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)与直线\(y=-x+4\)交于\(A\)、\(B\)两点，若\(\triangleAOB\)的面积为6，求\(k\)的值。3.某印刷厂印刷一批书籍，若每天印刷\(x\)册，需\(y\)天完成。已知当\(x=500\)时，\(y=30\)。若每天多印刷100册，求提前多少天完成。解析1.解答\(x_1<0\)，点\(A\)在第二或第三象限；\(x_2>0\)，点\(B\)在第一或第四象限。若\(k>0\)：点\(A\)在第三象限（\(y_1<0\)），点\(B\)在第一象限（\(y_2>0\)），此时\(y_1<y_2\)，不符合条件；若\(k<0\)：点\(A\)在第二象限（\(y_1>0\)），点\(B\)在第四象限（\(y_2<0\)），此时\(y_1>y_2\)，符合条件。故\(k<0\)。2.解答联立\(y=\frac{k}{x}\)与\(y=-x+4\)，得\(\frac{k}{x}=-x+4\)，整理得\(x^2-4x+k=0\)。设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=4\)（韦达定理），\(x_1x_2=k\)。直线\(y=-x+4\)与\(y\)轴交于点\(C(0,4)\)，故\(\triangleAOB\)的面积\(=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×OC×|x_1|+\frac{1}{2}×OC×|x_2|=\frac{1}{2}×4×(|x_1|+|x_2|)=2(|x_1|+|x_2|)\)。若\(k<0\)，则\(x_1x_2<0\)（\(x_1\)、\(x_2\)一正一负），故\(|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)。由面积为6得：\(2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，平方得\(16-4k=9\)，故\(k=\frac{7}{4}\)？修正：若\(k<0\)，\(x_1x_2=k<0\)，则\(|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，面积\(=2×\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，\(16-4k=9\)，\(k=\frac{7}{4}\)？不对，因为\(k<0\)，所以这里可能出错了。正确方法：用坐标公式\(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\)，代入\(y_1=-x_1+4\)、\(y_2=-x_2+4\)，得：\(S=\frac{1}{2}|x_1(-x_2+4)-x_2(-x_1+4)|=\frac{1}{2}|-x_1x_2+4x_1+x_1x_2-4x_2|=\frac{1}{2}|4x_1-4x_2|=2|x_1-x_2|\)。由\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，故\(S=2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，\(16-4k=9\)，\(k=\frac{7}{4}\)。但此时\(k=\frac{7}{4}>0\)，双曲线在第一、三象限，直线\(y=-x+4\)与双曲线交于第一象限的两点，\(x_1\)、\(x_2\)都为正，故\(|x_1|+|x_2|=x_1+x_2=4\)，面积\(=2×4=8\)，不符合条件。哦，这里矛盾了，说明之前的分割法有误。正确分割：当\(k>0\)时，双曲线在第一、三象限，直线\(y=-x+4\)与双曲线交于第一象限的两点，此时\(x_1>0\)、\(x_2>0\)，故\(\triangleAOB\)的面积\(=S_{\triangleAOC}-S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×OC×x_1-\frac{1}{2}×OC×x_2=\frac{1}{2}×4×(x_1-x_2)=2(x_1-x_2)\)（假设\(x_1>x_2\)），而\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=k\)，故\(x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，面积\(=2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(k=\frac{7}{4}\)，此时\(k>0\)，符合条件。当\(k<0\)时，双曲线在第二、四象限，直线与双曲线交于第二、四象限的两点，此时\(x_1<0\)、\(x_2>0\)，\(\triangleAOB\)的面积