《自动控制原理》课件-第3章 时域分析

第3章时域分析法3.1典型输入信号和时域性能指标3.2控制系统的稳定性分析3.3控制系统的暂态性能分析3.4控制系统的稳态性能分析3.5MATLAB用于时域响应分析

13.1

典型输入信号和时域性能指标3.1.1典型输入信号１.阶跃信号，拉氏变换式：2.斜坡信号，拉氏变换式：3.抛物线信号，拉氏变换式：2４.脉冲信号当，A＝1时称为单位脉冲信号，记作。5.正弦信号

，拉氏变换式：33.1.2时域性能指标稳定系统的阶跃响应具有衰减振荡和单调变化两种类型。

1.暂态性能指标：上升时间，峰值时间，调整时间，

（最大）超调量

。2.稳态性能指标：

稳态误差上升时间和峰值时间反映系统响应初始阶段的快慢；最大超调量反映了暂态过程的平稳性；调节时间反映了系统的快速性。，反映了系统的控制精度。43.2

控制系统的稳定性分析3.2.1稳定性的概念及线性系统稳定条件稳定性是控制系统最基本的性质，是系统能够正常工作的首要条件。

稳定性的概念：一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，称系统是稳定的。反之，若系统不能恢复到原平衡状态，即系统的零输入响应具有发散性质，或者进入震荡状态，则系统是不稳定的。稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性，只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。5设系统的闭环传递函数为:系统单位脉冲响应为:R（s）=1线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于S平面的左半部。63.2.2劳斯(Routh)稳定判据设线性系统的特征方程为1.线性定常系统稳定的必要条件

式中，特征方程的系数为实数。系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数都大于零。劳斯稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来确定特征方程在s右平面的根的数目，以判定控制系统的稳定性，也称为代数稳定判剧。72.劳斯稳定判据（1）建立劳斯表

将特征方程的系数按以下方法构成一个n+1行的劳斯表：8（2）劳斯稳定判据

系统稳定的充分必要条件是——特征方程的全部系数都大于零，且劳斯表的第一列元素都大于零。劳斯稳定判据指出：系统特征方程具有正实部根的个数等于劳斯表第一列元素符号改变的次数。9

设某控制系统的特征方程为，

例3-2

判定系统的稳定性。

解特征方程的系数都大于零，满足稳定的必要条件。列劳斯表:由于劳斯表第一列数不全为正，故系统不稳定。第一列数符号改变了两次，故系统有两个正实部根。10（3）两种特殊情况的劳斯判据

1）在劳斯表的某一行中，第一列数为零，而其余数不全为零。按照劳斯判据，因第一列元素不全大于0，可以确定系统不稳定。如需要了解根的分布情况，可用一个有限小的正数代替0，完成劳斯表。

2）劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有对称于原点的根存在。可用全零行的前一行数值组成辅助方程，并用这个方程的导数的系数代替全零行的各项，完成劳斯表。利用辅助方程可解得那些对称根。11试判定系统的稳定性。

例3-4

设系统的特征式为列劳斯表:全零行第一列元素符号没有改变，表明系统不存在s右平面的特征根，临界稳定。解辅助方程：得临界根：123.劳斯判据的应用（1）确定闭环系统稳定时的参数条件（2）检验系统的稳定裕量例3-6

确定图3-4所示系统稳定时K的取值范围。解系统的特征方程为列劳斯表：系统稳定条件：133.3

控制系统的暂态性能分析3.3.1一阶系统分析一阶系统的传递函数和典型结构为系统阶跃响应的拉氏变换式为可得系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的指数曲线，暂态分量随时间增加而逐渐衰减为零，暂态分量衰减的速度（快速性）与一阶系统的特征参数T有关，。一个负实数特征根——143.3.1二阶系统分析1.数学模型典型二阶系统的结构和闭环传递函数：其中，为系统的阻尼比；为无阻尼振荡频率（或自然振荡频率）。系统的特征方程为特征方程的根，即闭环系统的极点为特征方程根的性质由的值完全决定了。

152.单位阶跃响应单位阶跃响应的拉氏变换式为（1）无阻尼情况响应为等幅振荡曲线，其振荡的角频率为，系统不能稳定工作。（2）欠阻尼情况——为一对具有负实部的共轭复数根——一对纯虚根16单位阶跃响应为欠阻尼二阶系统响应的暂态分量，是幅值随时间按指数规律衰减的正弦振荡项。其振荡的角频率为阻尼振荡频率，即特征方程根的虚部；其衰减的速度由，即特征方程根的实部的绝对值决定。17（3）临界阻尼情况——一对相等的负实数根响应为无振荡及超调的单调上升曲线

（4）过阻尼情况——2个不相等负实根，且响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项，响应曲线与临界阻尼时一样——无振荡单调上升曲线

18不同阻尼比时系统特征方程的根在s平面的位置及其单位阶跃响应曲线

192.欠阻尼典型二阶系统暂态性能指标计算

欠阻尼单位阶跃响应式：（１）上升时间（２）峰值时间按定义，峰值时间应出现在第一个峰值处，则：，

20（３）最大超调量0.40.50.60.680.7070.8

2516.3954.31.5可见，最大超调量仅由阻尼比决定。阻尼比越大，超调量越小，系统的平稳性越好。将代入输出响应式有：21（4）调整时间

当阻尼比很小时，经过二次近似后，常用下列两式计算调整时间而实际的调整时间，当＞0.7之后，增大，会变大，快速性变差。从以上分析计算可知，为使系统具有较好的平稳性和快速性，阻尼比一般应取0.4～0.8之间，这时超调量约在25％～1.5％之间，而调节时间比较短。工程上常取作为设计依据，称之为“二阶最佳系统”。此时，超调量为4.3％，而调整时间最小。22（1）讨论系统参数K、T对系统暂态性能的影响。（2）计算系统的暂态性能指标。（3）若要求将系统设计成二阶最佳

，在不改变T的情况下应如何改变Ｋ值?解

(1)系统的闭环传递函数为

讨论：由参数K、T与和的关系可知：开环放大系数K和时间常数T增大，都会使减小，超调量增大，系统振荡加剧；而，=6T，系统的调节时间由时间常数唯一确定，增大T，增大，快速性下降。例3-8

控制系统结构图如图所示，其中。23（2）当K=4,T=0.25时系统的暂态性能指标为：（3）

（3）若设计，有24

例3-9

某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的开环传递函数。解由图可知，该系统为欠阻尼二阶系统。且有由解得：所以，系统的开环传递函数为：25

4.二阶系统性能改善（1）误差的比例-微分控制系统引人比例－微分控制后闭环传递函数为

可见阻尼比增大了，使减小超调量，系统平稳性提高。其中：26（2）速度负反馈控制系统引人速度负反馈控制后闭环传递函数为：其中：可见阻尼比增大，减小了超调量，系统的平稳性得到提高。但开环增益下降了：对系统的稳态性能将产生不利的影响

。由原来：改变为：273.3.3高阶系统分析

三阶及以上系统。将式（3-46）传递函数表示成零、极点形式：设系统没有重极点。系统单位阶跃响应为1.高阶系统的暂态响应分析式中：28如果所有闭环极点都具有负实部，即所有极点都位于s平面的左半部，随着时间的增大，响应中的暂态分量指数函数项和二阶正弦函数项都将衰减趋于零，高阶系统是稳定的。各暂态分量衰减的快慢，取决于对应极点离虚轴的距离。极点离虚轴越远，该极点对应的暂态分量衰减越快。反之，离虚轴很近的极点，其对应的暂态分量项衰减慢，它在整个暂态分量中起主导作用。由求得的高阶系统阶跃响应可知，高阶系统单位阶跃响应的稳态分量为常数A0。暂态分量则由一些实数极点构成的指数函数项和共轭复数极点构成的二阶正弦函数项线性组合而成。292.闭环主导极点

高价系统中，满足下列2个条件的极点称为主导极点：例如，某四阶系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数可近似为：工程上常采用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，或采用计算机进行分析。

（1）距虚轴最近且周围没有零点；（2）其他极点与虚轴的距离比该极点与虚轴的距离大5倍以上。利用主导极点的概念，可以将高阶系统近似用一、二阶系统表达，以便估算系统的性能指标。303.4控制系统的稳态性能分析3.4.1误差及稳态误差（1)从输入端定义：以系统的输入信号与反馈信号比较后的偏差信号定义为误差：

(2)从输出端定义：以系统的期望输出与实际输出信号之差定义为误差：

从输入端定义的误差可以测量，便于用结构图进行分析计算，故在工程上应用较多。在本教材，未加特殊说明时，均采用从系统输入端定义的误差。1.误差的定义对于单位反馈系统对于非单位反馈系统31系统误差的稳态分量在时的值被称为稳态误差，用表示。由反馈控制系统的典型结构，得误差信号式中，开环传递函数系统的稳态误差2.稳态误差323.4.2给定输入信号作用下的稳态误差

控制系统分类：

——以开环传递函数中含零值极点数（积分环节的数目）分类，分别称系统为0型、1型、2型系统。

给定输入信号作用下的稳态误差系统稳态误差——由系统的开环放大系数、开环系统积分环节的数目和输入信号的形式确定。331.阶跃信号输入，称为系统的位置稳态误差系数。对于0型系统，1型及以上系统，阶跃信号输入时，根据稳态误差的不同情况——分为有差、无差、不能跟随输入三类系统342.斜坡信号输入，称为系统的速度稳态误差系数。

对于0型系统1型系统2型及以上系统斜坡信号输入时，35

3.抛物线信号输入，称为系统的加速度稳态误差系数。对于1型以下系统2型系统抛物线信号输入时，小于1型的系统都不能跟踪输入信号36输入信号作用下稳态误差的计算方法有两种：例3-10

已知控制系统的开环传递函数为求（1）系统的稳态误差系数；（2）输入信号时系统的稳态误差。解由劳斯判据可判断本系统稳定（1）误差系数根据叠加原理有

1）终值定理法——直接用终值定理求极限求得稳态误差；

2）误差系数法——根据输入信号的形式求出相应的误差系数后求稳态误差。（2）稳态误差373.4.3扰动信号作用下的稳态误差说明，扰动输入引起的稳态误差，除了与开环传递函数的类型以及扰动信号的形式有关外，还取决于扰动作用点的位置。当式中，是扰动作用点与误差信号之间的传递函数。可见，扰动作用下稳态误差的大小，除了与扰动信号有关外，还主要取决于扰动作用点到误差信号之间的传递函数。383.5MATLAB用于时域响应分析3.5.1用MATLAB分析系统的稳定性1.多项式求根命令roots2．求系统极点命令pole可用roots命令求出已知控制系统特征方程的根。例3-12

已知反馈系统特征方程为，判定稳定性。解在命令窗口执行命令d=[13424];p=roots(d)可用pole命令求出已知闭环传递函数的极点。调用格式：p=pole(sys)显示结果为p=-3.68320.341