人教B版高考数学总复习讲义：爪形三角形中特殊线的计算

第9节爪形三角形中特殊线的计算

题型分析“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的

图形，一般涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算.通常可以采用''邻补角策略”、“算两

次”策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.

题型一三角形的高线

例1(2023・新高考I卷)已知在△ABC中,A+3=3C,2sin(AC)=sinB.

(1)求sinA;

⑵设A3=5,求A3边上的高.

解法一(1)在△ABC中,A+B=7rC,

因为A+B=3C,

所以3C=7iC,所以C=~.

4

因为2sin(AC)=sinB,

所以2sin(2-%sin得-4),

展开并整理得近(sinAcosA)=；y(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,

所以sinA=封电.

io

(2)由正弦定理，得

BC=­sinA$X亚=3倔

sinCV2io

2

由余弦定理，得

AB2=AC2+BC22ACBCCOSC,

即52=AG+(3府2AC3限os2

4

整理得AC23V10AC+20=0,

解得AC=g或AC=2V10.

由⑴得,tanA=3>V3,所以

又A+B=—,所以B>~,即C<B,

44

所以AB<AC,所以AC=2V10.

设A3边上的高为/?,

^\--AB-h=--AC-BCsmC,

22

即5/7=2V10X3V5Xy,解得h=6,

所以A3边上的高为6.

法二⑴在△ABC中,4+3=兀。，

因为A+B=3C,

所以3C=TIC,所以C=~.

4

因为2sin(AC)=sinB,

所以2sin(AQ=sin[7i(A+C)]=sin(A+C),

所以2sinAcosC2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCWO,

所以tanA=3tanC=3tan-=3,

4

又sinA>0,tansin2A+cos2A=l,

cosA

所以sinA=封电.

io

(2)由(1)知tanA=3>0,所以A为锐角，

又sinA二亚电,所以cosA=—,

ioio

所以sinB=sin(A+C)

=—V2X-V-io1—V2X-3-V10=2V5.

2102105

由正弦定理，得

AC=^^=^=2ViO,

sinCV2

2

故A3边上的高为ACsinA=2V10X^=6.

10

思维建模1.设历,丸2,%3为△ABC的边a,"c上的高，则hi：h2：fe=-:-：-=—:—1

abcsinAsinBsinC

2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度.

高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.

训练1设△ABC的内角45C的对边分别为a",c,且cos。士誓.

⑴求角B的大小；

(2)若边A3上的高为三求cosC的值.

4

解(1)由余弦定理的推论得二?M匕普，

所以a2+Z?2c2=2d!(6zcsinB),

所以b1=c^+c12acsmB.

又因为b2=cp-+c22accosB,

所以sinB=cosB,

则tan5=1.

因为8£(0,兀),所以*.

(2)因为AABC的面积S=/csinB

V2C2rri.ly/2

TC，贝U〃丁

由余弦定理得b2=o2+，2accosB

=f—cf+c22X^cXcX与汩

\4J428

所以b=^c,

4

应应L

a-csin7c^C_V5

所以cosC=

b-叵c-5

题型二三角形的中线

例2记△A5C的内角A,5,C所对的边分别为Q,b,c,已知bsinC=sinC+V3cosC,A=^.

⑴求

(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断△ABC是否存在?若存在,求出△ABC的面积;若

不存在，说明理由.

①3c边上的中线长为当②A3边上的中线长为夕.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

解⑴由bsinC=sinC+V3cos。及正弦定理，得csinB=2sin（c+；）,

因为A=pA+B+C=TI,

所以csinB=2sin（7iB）=2sinB,

又sinBW0,所以c=2.

⑵选①,

法一设3C边上的中线为AD,

则心率的CD亭.

AD2+BD2-AB2_AD2+CD2-AC2

由及余弦定理的推论得,

cosNADB=cosNADC2AD-BD-2AD-CD

化简,得a2=2Z?2+6,

由余弦定理，得a2=Z?2+c22Z?ccosZBAC,

即(22=/?22Z?+4,

所以廿+26+2=0,该方程无实数解,

故符合条件的△A5C不存在.

法二设边上的中线为AD,

贝励劣行+宿，

两边平方得标2=#近2+2万.元+北2),

gp|=lx(4+2X2&x|+Z;2),

即庐+26+2=0,易知该方程无实数解，

故符合条件的△ABC不存在.

选②，

设A3边上的中线为CT,贝ljCF=V7,AF=BF=^AB=1.

在△ACT中，由余弦定理C产=AR2+AC22ACARCOSA,

得7=1+〃2万cosg,整理得b2b6=0,

解得b=3或Z?=2(舍去).

故AABC的面积S=-bcsinA，X3X2X—.

2222

思维建模如图，在△ABC中,AD为3c的中线.

(1)余弦定理法

在△A3。中，AB2=AD2+BD22BDADCOS/ADB,①

在△ACD中，

AC2=AD2+DC22ADDCCOSZADC,②

①+②得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).

(2)向量法

由TAD=|(A5+ZC),^HUD2=^b2+c2+2bccosZBAC)

⑶倍长中线法

借助平行四边形性质:平行四边形对角线的平方和等于四边形的平方和.

易得2（4。2+432）=3。2+（24。）2

(4)中线公式

在△ABC中，3C边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)4。=匣尹星

当然除了上述常用的方法以外,还有坐标法等技巧.

训练2(2025•福建九地市质检)在△ABC中，内角A,5C的对边分别是a,b,c,且asmC=

csinB,C=—.

3

(1)求3的大小；

(2)若443。的面积为求边上中线的长.

解⑴•:asinC=csinB,

由正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB,

V0<C<7i,sinC>0,sinA=sinB,

0<A<7l,0<B<7l,/.A=B或A+5=7l(舍去)，

'：A+B+C=n,且C=—,

36

⑵依题意得型=%/?sinC,

42

\*A=B,.\a=b,

・3V319-2nV3a2z.777

■・——=-asm—=---，彳寻Ha=b=73,

4234

由正弦定理，得c=竺半=3,

设3c的中点为D,

连接AD,如图，

因为2（22CAB）,

AD=4-AB+AC+2AB-ACCOSZ

解得AD=叵.

2

题型三三角形的角平分线

例3(2025•江西重点中学协作体联考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的

半径为2g,且bcosC=a+^-csinB.

⑴求角B-

(2)若NA3C的平分线交AC于点D,BD=^3,点E在线段AC上,且EC=2EA,求ABDE的面积.

解(1)由正弦定理可得sinBcosC=sinA+fsinCsinB.

又sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

则cosBsinC+-ysinCsinB=0.

VCeCO.Ji),AsinC^O,AcosB+ysinB=0,

即tanB=y/3.

又5£(0,兀),・・・5号.

(2)由⑴可知B号,

B

CDEA

又AABC的外接圆的半径为2百，

・•.由正弦定理得上=4点所以b=6,

sinB

,.•3。平分/ABC,

1TT

・•・ZCBD=ZABD=-ZABC=^.

23

由SAABC=S^BCD-^S^ABD,

可得工acsin—=^a-V3sm-+-c-V3sin

232323

即4zc=V3(a+c),①

由余弦定理得b^a2-^-Saccos午，

即(〃+C)2〃C=36,②

由①②可得a=c=2«.

所以BDLAC,又,：EC=2AE,贝ljDE=1,

故&BDE=[xiXg=手.

思维建模角平分线问题的处理策略:在△ABC中,AD平分N3AC

⑴角平分线定理岑塔；

(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.

训练3(2025・长沙模拟)已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,48cos

C=V3Z?csinA.

⑴求A；

(2)已知AM为NA4c的平分线,且与3C交于点M,若AM=^,求△ABC的周长.

解(1)根据题意可得V^tzcosC+csinA=V3Z?,

由正弦定理得V^sinAcosC+sinAsinC=V3sinB,

又V^sinB=V3sin(A+C)=V3sinAcosC+V3cosAsinC,

故sinAsinC=V3cosAsinC,

又sinCWO,所以sinA=V3cosA,则tanA=V3,

因为AG(0,兀)，所以人三.

(2)因为SMBC=S^ABM+S^ACM,

所以与csinNBAC=-AM-c-sinNBAM+-AM-b-sinNCAM,

又AM平分NB4c

^ZBAM=ZCAM=^BAC=^

、/

所—以KI一1b1eX—V31Xv/—2V2CX-1+-1X-2V2bJvX/1

贝即Z?c=^p(Z?+c),

33V3

由余弦定理得a1=b2+c12bccosZBAC,

HP16=b2-^-c2bc,

所以16=(Z?+c)23Z?c=(Z?+c)2^^(Z?+c),

解得匕+。=2伤(负值舍去)，

故△ABC的周长为2V6+4.

■角平分线张角定理拓展视野

在△ABC中，三个内角A,比C的对边分别为a,b,c,如果NR4D=a,AD是NA4c的角平分线，则有

1(AD,AD\

COSa=2\T+T)

证明：:S/\ABC=S/\ABD^-SAACD,

Iii

A-ABXACXsin2a=-ABXAZ)Xsina+入CXAOXsina,

222

即cbX2sinacosXA£>Xsin«+Z?XADXsina

两边同除以bcsina得2cos。=华+2

bc

・_1.AD\

・・cosot——I—I——I.

A

BDC

典例已知AD是AABC的角平分线,AB=3,AC=5,NB4c=120。，则AD的长为.

A

BDC

答案

解析法一••N。是△ABC的角平分线，且NR4c=120。,

ZBAD=ZCAD=6Q°.

,•*S^ABD~^S^CAD=S^ABC,

：

.-2ABADsinZBAD2+-ACADsmZCAD

=^AB-ACsinZBAC,

艮「X3ADX遗+工X5ADX出

2222

=ix3X5X—,

22

解得AD=-.

8

法二由角平分线张角定理得

cos60。=偿+y）4解得AD=T

训练（2025・广州质检）已知△ABC中,A3=6,AC=2,AD为/BAC的角平分线,AD=y/3,则AABC的面

积为（）

A.2V2B.4V2

C.3V2D.3V3

答案B

解析法一设N3AD=NC4D=0,

S^ABC=S^ABD+S^ACD,

WJ-AB-AC-sinZBAC=-ABADsmZBAD+-ADACsmACAD,

222

EP|x6X2Xsin2^X6XV3Xsin^+1x2XV3Xsin仇

可得V5sin26=2sin0=2V3sinOcos0,

*.*sin6W0,则cos。=号

/.sin0=V1—cos20,

3

贝IJS^ABC=S^ABD+SMCD=1X6XV3X*X2X百X^=4A/2.

法二由角平分线张角定理得

cosZBAD=-（―+—,

2\6273

故sinZBAD=y,

所以sinZBAC=2smZBADcosZBAD=^,

故SAABC=1X6X2X^=4V2.

1.（2025・咸阳模拟）在△ABC中，内角A,5C的对边分别为a,b,c,且acosB+^b=c.

⑴求A；

⑵若b=3,c=V3,求AABC中3c边上高线的长.

解（1）因为acosB+^-b=c,

由正弦定理可得sinAcosB+—sinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

所以/sinB=sinBcosA,

又因为0<B<TI,所以sinB>0,

所以cosA=—,

2

因为0<A<7i,所以

6

(2)由已知及余弦定理得

a2=b2+c22bccosNBAC

=9+32X3xV3Xy=3,

所以o=V3,

设△ABC中3C边上的高线长为h,

所以SAABC=|z?csinZBAC=^ah,

解得/7=|.

故△ABC中3C边上的高线的长为受

2

2.已知△ABC中内角A,3,C的对边分别是a,b,c,A=60°,c=b+l,sinB片.

⑴求c的值；

(2)设AD是AABC的角平分线,求AD的长.

解⑴sin解手,

由A=60°,可得sinA=y,

c=b+l>b,可得3为锐角，

则cosB=V1—sin2B=^-,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

V32V73V21

=—X--F-X=----,

272714

匕日

_由i_二C二/可生屋C=逅c-l，

147

解得c=3.

(2)由⑴可得b=cl=2,

因为AD是乙BAC的平分线，

所以ZBAD=ZCAD=3Q°,

设AD=x,由S^ABC=S^ACD+S^ABD,可得

ix3X2X—=ix2xX-+ix3%xi

222222

化为5=3旧,解得产?,则AD=W.

3.(2025・杭州模拟)在△ABC中，内角A,5C的对边分别为a,b,c,已知tz(sinB+cosB)=c.

⑴求A；

⑵若c=V2,o=V5,。为3C的中点，求AD

解(1)在△ABC中，由题意及正弦定理得，

sinA(sinB+cosB)=sinC,

由A+B+C=7if得sinC=sin(A+B),

所以sinAsinB+sinAcosB

=sinAcosB+sinBcosA,

化简得sinAsinB=sinBcosA,

因为sin3WO,所以tanA=l,

因为A@(0,兀)，所以A=2.

(2)在△ABC中，由余弦定理得，

5=b2+22bX42X—,

2

所以b22