人教版八年级数学下册专项提优：勾股定理的综合探究题型（解析版）

专题10勾股定理的综合探究题型(解析版)

题型一探究直角三角形的边和高之间的关系

典例1(湖州模拟)如图，在R3A8C中，ZACB=90°,CO_LAB于。，设AC=6,BC=a,AB=c,CD=h,有下

111

列四种说法：①a・b=c・h；②a+b<c+h；③以〃+/?、h、c+/z为边的三角形，是直角三角形；④丁+77=R其

azbzhz

思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；

②证明(Q+Z?)2<(c+h)2;

③直角三角形，证明(a+h)2+诔=(c+力)2；

11

④只需证明好(―+—)=1,从左边推导到右边.

a2b2

11

解：①・・・RtA48C的面积为：于。或

/.ab=ch,故①正确；

@Vc2<c2+/i2,a2+b2=c2,

tz2+&2<c2+/z2,

・ab~~ch,

c^+^+lab<c1+h1+2ch,

(〃+/?)2<(c+h)2,

/.a+b<c+h,故②正确；

@V(c+/z)2=C2+2C/Z+7Z2,

庐+(〃+。)2="2+〃2+2〃。+。2,

・・・〃2+廿=02,(勾股定理)

ab=ch(面积公式推导)

c^+2c/z+/z^—7z2+〃2+2〃b+》2,

(c+/i)2=序+Q+b)2,

・・・根据勾股定理的逆定理知道

以Zz,c+k为边构成的三角形是直角三角形，③正确;

④;ab=ch,

Cab)2=(ch)2,即。2。2=02%2,

a2+b2=c1,

a2b2=（次+庐）02,

a2b2

;=层9,

a2+b2

.4+后_

,,a2b2h2,

a2b21

\--------i_--------———

*a2b2a2b2h2,

111

•'•-7+77=77，故④正确.

azbzhz

故选：D.

总结提升:此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握,此题有一定的拔高难度,属于难题，

在证明过程中，注意面积关系式仍=M的应用.

题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型

典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,D,E为8C边上的两点，

且ND4E=45。，连接ERBF,下列结论：①AAED名△AEF；②BF=CD；③BE+DODE；@B£2+£）C2=DE2.其

中正确的有（）

思路引领：根据/D4尸=90。，ZDAE=45°,得出/刚E=45。，利用SAS证明AAED附△AEF,判定①正确；

可证之△AC。，于是BF=CD,判定②正确；

先由/B4C=/D4尸=90。，得出/CA£）=NA4R再利用SAS证明AAC。丝△ABP,得出CD=BR又①知。E

=EF,那么在ABEF中根据三角形两边之和大于第三边可得等量代换后判定③正确；

先由AACr）之得出NC=/AB尸=45。，进而得出NEBP=90。，然后在RtABEF中，运用勾股定理得出

BE2+BF2=EF2,等量代换后判定④正确.

解：①：/&4歹=90°,ZDA£=45°,

.,.ZFAE^ZDAF-/ZME=45°.

在A4匹与垃4所中，

AD=AF

ADAE=AFAE=45°,

AE=AE

：.AAED^AAEF（SAS）,①正确；

②,:ZBAC=ZDAF=90°,

：.ZFAB=ZCAD,

在AABF与△ACZ)中，

AF=AD

/.FAB=/.CAD,

AB=AC

：.AABF^/\ACD(SAS),

：.BF=CD,②正确；

③；ZBAC^ZDAF^90°,

：.ABAC-ZBAD=NDAF-/BAD,即NCAO=/BAF.

在AAC£）与尸中，

AC=AB

ACAD=ABAF,

.AD=AF

.•.△AOg△ABF（SAS）,

：.CD=BF,

由①知△AED0

：.DE=EF.

在△BEP中，'：BE+BF>EF,

：.BE+DODE,③正确；

由③知△ACO0A4BR

：.ZC=ZABF=45°,

'：ZABE=45°,

ZEBF=ZABE+ZABF=9Q°.

在RtABEF中，由勾股定理，得2炉+2尸=£产，

,:BF=DC,EF=DE,

：.BE1+DC2=DE1,④正确.

所以正确的结论有①②③④.

故选：D.

总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，

相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键.

典例3（2020旗州模拟）如图，点尸是等边三角形ABC内一点，且B4=3,PB=4,PC=5,若将AAPB绕着点2

逆时针旋转后得到ACQB,则NAPB的度数.

思路引领：首先证明ABP。为等边三角形，得/8。尸=60。，由△ABPgCBQ可得。C=B4,在APOC中，已知三

边，用勾股定理逆定理证出得出/PQC=90。，可求/8QC的度数，由此即可解决问题.

解：连接P。，由题意可知及48尸0△CB。

则QB=PB=4,B4=QC=3,ZABP=ZCBQ,

\-AABC是等边三角形，

ZABC=ZABP+ZPBC^6Q0,

：.ZPBQ=ZCBQ+ZPBC=60°,

:ABPQ为等边三角形，

.•.尸。=尸2=2。=4,

又；PQ=4,PC=5,QC=3,

：.P(^+QC1=PC2,

：.ZPQC=9Q°,

,:丛BPQ为等边三角形，

：.ZBQP=60°,

：.ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理

逆定理的应用，属于中考常考题型.

针对练习

1.(洪山区期中)如图，/4。8=30。，尸点在/AO8内部，/点在射线。4上，将线段绕P点逆时针旋转90。，

M点恰好落在02上的N点(OM>ON),若ON=8,则OM=—.

思路引领：连接MN,作M/_LOA于X,如图，根据旋转的性质得NMPN=90。，PN^PM=VlO,可判断APMN

为等腰直角三角形，则MN=&PM=2代，在RtAOHN中，根据含30度的直角三角形三边的关系得NH=±ON

=4,0H=WNH=4同然后在RtAMN”中根据勾股定理计算出Affi=2,由此得到OM=O〃+HM=4g+2.

解：连接MN,作N”_LOA于H,如图，

\•线段PM绕P点逆时针旋转90°,M点恰好落在OB上的N点、,

：.ZMPN=90°,PN=PM=V10,

4PMN为等腰直角三角形，

：.MN=V2PM=2V5,

在RtAOHN中，VZNOH=30°,ON=8,

1

：.NH=为N=4,

OH=V3AW=4V3,

在RSWW中，"：NH=4,MN=2小,

：.MH=y/MN2-NH2=2,

，OM=OH+HM=4V3+2.

故答案为4W+2.

总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系.

2.(2020秋•永嘉县校级期末)如图，在AAOB与AC。。中，NAOB=/COD=90。，AO=BO,CO=DO,连接CA,

BD.

(1)求证：4AoemABOD；

(2)连接BC,若OC=1,AC=V7,BC=3

①判断ACDB的形状.

②求/ACO的度数.

思路引领：(1)由题意可得NAOC=/B。。，且AO=8O,CO=DO,即可证

(2)①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得NBDC=90。，即可得△CD3是直角三角形;

②由全等三角形的性质可求NACO的度数.

证明：(1)VZAOB=ZCOD^90°,

：.ZAOC=ZBOD,S.AO=BO,CO=DO,

二.△AOC/ABOD(SAS)

(2)①如图，

AZACO^ZBDO,AC=BD=yJl

VCO=DO=1,ZCOD=90°

：.CD=7c()2+DO2=V2,ZODC=NOCD=45。

'：CDZ+BD2=9=BC2,

：.ZCDB=90°

...△2。是直角三角形

②ZBDO=ZODC+ZCDB

：.ZBDO=\35°

：.ZACO=ZBDO=135°

总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练运用全等三

角形的性质是本题的关键.

题型三倍长中线构造全等三角形

典例4(2022•苏州模拟)如图1,在AABC中，ZACB=90°,点D为A8中点，DE,。尸分别交AC于点E,交BC

于点RS.DE±DF.

(1)如果CA=C8,连接CD

①求证：DE=DF；

②求证：AE2+BF2^EF2；

(2)如图2,如果C4VC8,探索AE,B尸和EF之间的数量关系，并加以证明.

思路引领：(1)①根据等腰直角三角形的性质可知，NDCE=/DBF=45。,ZCDB^90°,CD=BD.由DEI.

DF,可证明即可利用“ASA”证明ADCE四△DBF,即得出②由全等三角形的性质可

知BB=CE,结合题意可求出AE=CP.在RtAECF中，再由勾股定理，CF2+CE2^EF2,即得出A5+g尸2=

EF2-,

(2)延长即至点使£>M=Z)R连接AM,EM.易证AAOW0△3。尸(&4S),得出ZMA£)=Z

B,从而判断AM〃BC,即证明/K4E=NACB=90。.再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EE=EM.最后

在R3AEM中，由勾股定理，得4炉+加层=近02,即得出4£2+8尸=972.

(1)①证明：'：CA=CB,ZACB=90°,

AABC是等腰直角三角形.

:点。是的中点，

；.NDCE=NDBF=45。,ZCOB=90°,CD=BD.

5L'：DELDF,

NEDF=NCDB=96。,

ZCDE=ZEDF-/CDF,NBDF=NCDB-ACDF,

.\ZCDE=ZBDF.

在ADCE与ADBF中,

ZDCE=乙DBF

CD=BD,

/CDE=乙BDF

:.ADCE咨LDBF(ASA),

:.DE=DF；

②证明：由①可知AOCE丝/XOB凡

：.BF=CE,

：CA=CB,

CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

在RSEC尸中，由勾股定理，CF2+CE2=£F2,

:.AE2+BF2=EF2；

(2)解：结论：AE1+BF2^EF1.理由如下：

如图，延长至点使DM=QF,连接AM,EM.

:点。为AB中点，

：.AD^BD,

；NADM=NBDF,DM=DF,

:AADM冬ABDF(SAS),

：.AM=BF,ZMAD=ZB,

J.AM//BC,

：.ZMAE=ZACB^90°.

XVDE1DF,DM=DF,

.•.DE是EM的垂直平分线，

：.EF=EM,

在RtAAEM中，由勾股定理，得人在+4/二石店,

.•.A£2+BF2=EF2.

M

总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及

平行线的性质等知识.掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股

典例5［阅读理解］

如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=1,过点A作直线8c的垂线，垂足为。，求线段AD的长.

解：设BD=x,则。=7-尤.

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°.

在中，AD2=AB2-BD2,

在RtAAC£>中，AD1=AC1-CD2,

：.AB2-BD2=AC2-CD2.

又：AB=4,AC=6,

2

.\42-X2=62-(7-x).

解得尤=空，

14

•••^=VAB2-BD2=^^-

［知识迁移］

(1)在AABC中，AB=13,AC=15,过点A作直线BC的垂线，垂足为D

i)如图1,若8c=14,求线段AO的长；

ii)若AO=12,求线段的长.

(2)如图2,在AWC中，48=空、而，AC=—V29,过点A作直线8c的垂线，交线段8C于点。，将AAB。

42

沿直线A8翻折后得到对应的△ABD,连接C。，若4。=空，求线段C。的长.

思路引领：(1)i)利用勾股定理得出4炉-8炉=472-CIA进而建立方程求8。，即可得出结论；

为)先利用勾股定理求出BC=5,。=9,再分两种情况.即可得出结论；

(2)先利用勾股定理求出BZ),CD,再利用面积求出OV,进而求出。。，再用勾股定理得出。及2=。。2-

=D'B2-HB2,进而建立方程求出HB,即可得出结论.

解：(1)z)BD=x,则C£)=14-x,

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC^90°,

在RS4BD中，AD2=AB2-BD1,

2

在RSAC。中，A£>2=AC2-CD,

/.AB2-BD2=AC2-CD2,

•：AB=13,AC=15,

.,.132-^=152-(14-x)2,

・・x=5,

：.BD=5,

•••AO=VAB2-BD2=V132-52=12；

iD在RsABO中，^=VAB2-AD2=V132-122=5,

2

在RSACD中，co=VAC-AD2=V152-122=%

当/ABC为锐角时，如图1-1,8。=2£>+。£)=5+9=14,

当/ABC为钝角时，如图1-2,BC=BD-CD=9-5=4；

(2)如图2,连接。。交AB于点N,则。U_LAB,

过点。作DHXBD于H,

在RtAABD中，BD=7AB2-AD2=J(^V^)2得)2=当

在RSACO中，CD=7AC2-AD2=-J(fV29)2-(-y)2=5.

TAB垂直平分。

9R

：.D'B=DB=—,D'D=2DN,

4

S"BD=^AD'BD=・DN，

...生X&_=延依.£W,

244

；.£)%=豆区，

2

:.D'D=2DN=5疾,

设HB=m,则H£)=/ffi+BD=M7+至，

4

"：D'H2=D'b1-HD1=D'B1-HB2,

：.(575)2-(5+至)2=(—)2-m1,

44

：.HB=^~,

4

：.HC^HB+BD+CD^^-+^-+4^15,。月=正B2右」号)々*2=5,

•'•D'C=H2+HC2=VS2+152=5V15.

总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题

的关键.

针对训练

1.如图，在RSABC中，ZACB=90°,A。平分NCAB,交C2于点。.若AC=3,48=5,则CD的长为（）

思路引领：如图，作。H_LAB于首先证明AC=AH,DC=DH,AC=A8=3,设DC=DH=x,在RtABDH

中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

平分/CAB,DC1AC,DHLAB,

：.ZCAD^ZHAD,NC=NAHD=9。。,

'：AD=AD,

：.AADC^AADH(AA5),

：.AC=AH=3,CD=DH,设CD=DH=x,

；AB=5,

：.BH=AB=AH=5-3=2,

在RtAACB中,VZC=90°,AC=3,AB=5,

.,.BC=^52-32=4,

在RtAHBD中，则有（4-x）2=?+22,

•尤

••A=3--,

2

.•.CD=3,

2

故选：A.

总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，在AABC中，AO_L8C于点。，8尸平分/A8C交于点£,交AC于点RAC=17,AD=15,8C=28,

则AE的长等于—.

思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG=£D,证明RtABDE0RsBGE（地）,

可得3G=B。，设AE=x,则匹=15-x,根据勾股定理列方程可得结论.

解：'：ADLBC,

：.ZADC^ZADB^9Q0,

\'AD=15,AC=n,

)=22

AZCVAC-AD=7172-152=8'

VBC=28,

・・・8D=28-8=20,

由勾股定理得：AB=J2O2+152=251

过点E作EGLAB于G,

平分/ABC,ADLBC,

：.EG=ED,

在Rt^BDE和RtABGE中，

“EG=ED,

“BE=BE'

:.RtABDE咨RtABGE(HL),

:.BG=BD=20,

：.AG=25-20=5,

设AE=x,则_EZ)=15-x,

：.EG=15-xf

RtZkAGE中，/=52+(15-x)2

丫一25

3

：.AE=^-.

3

故答案为：25

3

总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的

关键.

题型五勾股定理解决折叠问题

典例6(2022•东莞市校级二模)将正方形ABC。折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交于E,交BC

于F,边A8折叠后与8C边交于点G.若DC=5,CM=2,则EF=()

思路引领：作结合折叠性质：EF1AM,^.ZPOF=ZAOH^ZAMD^ZFEH,再证

得E尸=4W,根据勾股定理即可求出结果.

解：由折叠的性质得斯，AM,

过点/作于X,交AM于。，

则ZADM^NFHE=90°,

：.ZHAO+ZAOH=90°.ZHAO+ZAMD=90°,

：.ZPOF=ZAOH=/AMD,

又：EELAM,

：.ZPOF+ZOFP=90\ZHFE+ZFEH=90°,

：.ZPOF=ZFEH,

：.ZFEH=ZAMD,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD=FH=5,

在△ADM和AfWE中，

V.ADM=Z.FHE

乙4MD=Z.FEH,

.AD=FH

:.△ADM"/\FHE(AAS),

：.EF^AM=y/AD2+DM2=V52+32=V34.

故选：D.

总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的

关键.

针对训练

1.如图，将一张长方形纸片沿着AE折叠后，点。恰好与8c边上的点尸重合，已知AB=6cm,BC=10cm,求

EC的长度.

解：由题意可知△AZJE之△ABE,

所以Ab=AO=10cm,EF=DE.

在RtAAFB中，根据勾股定理得BF=yjAF2~AB2=8(cm),

所以FC=BC-BF=2(cm).

EC=xcm,DE=DC—EC=(6—x)cm,即跖=(6—x)cm,

在RtAEFC中，根据勾股定理有EF2^FC2+EC2,

QQ

即(G—xpuZZ+x2,解得x=q,所以EC=Qcm.

题型六勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用

典例7(2017春•武昌区校级月考)如图，4(0,m),B(小0),满足-5尸+武-10/25=0

(1)求点A,点8的坐标；

(2)点P是第二象限内一点，过点A作AC_L射线8P,连接CO,试探究8C,AC,C。之间的数量关系并证明.

(3)在(2)的条件下，ZPOC=ZAPC,B4=4V2,求尸8的长.

思路引领：(1)利用非负数的性质求得加、〃的值，易得点A、B的坐标；

(2)如图1,作。OLOC交于。，证ACMC丝△02。(A5A)(提示A。，2C八字形)，得证等腰RtAOCD,

故BC-AC=CD=V2CO；

(3)作OM_L。尸交AC延长线于作AALL。尸于N,连接易证AOPB名△OMA(ASA),故PB=MA,

且得证等腰R30PM,又NAPO=NAPC+NOPC=/POC+NOPC=/OCB=45°,所以

NAPM=450+45°=90°,易求出OP=PN+ON=4+3=7,(RtAANO,等腰RtAAPN),Rt^APM中，MA=

7Ap2+MP?=J(4V2)2+(7V2)2=V130.

解：(1)