人教版八年级数学下册专项提优：与中点有关的计算与证明（解析版）

专题13与中点有关的计算与证明(解析版)

类型一构造直角三角形斜边的中线

典例1如图，ACDE中，ZCDE=135°,CB1,DEB,。于A,求证：CE=V2AB.

B

思路引领：取CE的中点R连接ARBR根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EP=2F=

CF,根据三角形的内角和等于180。求出/4。£+/2£。=45。，然后求出NAEC+/BCE=135。，再根据等腰三角

形两底角相等求出N2FC+NAFE=90。，然后求出NAFB=90。，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据

等腰直角三角形的直角边等于斜边的日可得4尸=号AB,然后证明即可.

证明：如图，取CE的中点尸，连接AGBF,

:CBLDE,EA1.CD,

1

：.AF=EF=BF=CF=今CE,

在△COE中，VZCZ)E=135°,

ZACE+ZBEC=180°-135°=45°,

；・NAEC+NBCE=(90°-ZACE)+(90°-ZBEC)=180。-45。=135。，

AZBFC+ZAFE=(180°-2ZBCE)+(180°-2ZAEC)=360。-2(/AEC+/BCE)=360。-2xl350=90。，

ZAFB=180°-(NBCF+/AFE)=180°-90°=90°,

・・・AABF是等腰直角三角形，

；.AF=与AB,

：.CE=2AF=2x^AB=曲B,

即CE=42AB.

B

总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形

的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

典例2(2020秋•浦东新区校级期末)如图，在四边形A8CD中，ZABC=90°,ZADC=90°,AC=26,BD=24,

联结AC、BD,取AC和BO的中点M、N,联结MN,则MN的长度为

思路引领：连接M2、MD,利用直角三角形斜边上中线的性质得出△M2。为等腰三角形，再利等腰三角形“三线

1

合一”得出BN=ND=*BD=12,最后利用勾股定理即可求出MN的长度.

VZABC=90°,ZADC=90°,M是AC的中点，

：.MB^|AC,MD^|AC,

VAC=26,

1

：.MB=MD^^x26=13,

:N是BQ的中点,即=24,

1I

:.MNLBD,BN=DN=^BD=1x24=12,

:.MN='MB?-BN2=V132-122=5,

故答案为：5.

总结提升：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角

形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

针对训练

1.（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABC。中，ZBAD=90°,/DCB=9Q°,E、尸分别是3。、AC的中点，

（1）请你猜测跖与AC的位置关系，并给予证明；

（2）当AC=8,80=10时，求的长.

思路引领：（1）结论：EFLAC.利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.

（2）在R3ECP中，利用勾股定理即可解决问题.

解：（1）EFLAC.理由如下：

连接AE、CE,

VZBAD=90°,E为8。中点,

1

：.AE=*B,

'：NDCB=90。,

1

：.CE=^BD,

：.AE=CE,

二尸是AC中点,

：.EF±AC；

（2）VAC=8,BD=IQ,E、F分别是边AC、8。的中点，

：.AE=CE=5,CF=4,

"JEFLAC.

:.EF=y/CE2-CF2=7s2-42=3

总结提升：本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

类型二捕捉三角形的中位线

典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在RtA48C中，ZACB=90°,为中线，E为的中点，DF〃CE交BE

于点?若AC=8,BC=12,则。尸的长为（）

A.2B.4C.3D.2.5

思路引领：根据勾股定理求出A。，根据直角三角形的性质求出CE,再根据三角形中位线定理解答即可.

解：为中线，BC=12,

11

：.CD=^BC=^xn=6,

在RtAACD中，AZ)=V4C2+CD2=V82+62=10,

VZACB^90°,E为AD的中点,

1

CE=*A£>=5,

"：DF//CE,。为8C的中点，

1

:.DF=*E=25,

故选：D.

总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜

边的一半是解题的关键.

针对训练

1.（2021春•介休市期末）如图，和BE分别是AABC的中线和角平分线，ADLBE,垂足为点F,且G、E为

AC的三等分点，若BE=8,则BP的长为.

1

思路引领：根据三角形中位线定理得到DG=*BE=4,DG//BE,证明△。8/且△ABF,根据全等三角形的性质

得到4/=如，根据三角形中位线定理解答即可.

解：,:CD=DB,CG=GE,

:.DG是ACEB的中位线，

1

・・・DG=”E=4,DG//BE,

在△OB尸和尸中，

2DBF=乙ABF

BF=BF,

ZBFD=Z.BFA

：.ADBF^AABF（SAS）

：.AF=FD,

\UDG//BE,AF=FD,

1

：.FE=^DG=2,

：.BF=BE-EF=6,

故答案是：6.

总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半是解题的关键.

类型三构造三角形的中位线

典例4（2022春•吴中区校级期中）如图，在AABC中，BC=3,将AABC平移5个单位长度得到△ALBICI,点P、

。分别是A3、4G的中点，PQ的取值范围.

且1

思路引领：取AC的中点M,ALBI的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,根据平移的性质和三角形的三边关系即

可得到结论.

解：取AC的中点431的中点N,连接尸M,MQ,NQ,PN,

・・,将△ABC平移5个单位长度得到△451Q,

・・・SCi=8C=3,PN=5,

•・,点尸、。分别是A3、Ai点的中点,

13

：.NQ=^BiCi=|,

33

.,.5-|<P2<5+|,

712

BP-<PQ<竽,

N乙

712

.'.PQ的取值范围为w<PQ<殍,

24

7IQ

故答案为：-<PQ<

2乙

总结提升：本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

典例5(2021秋•北海月考)如图，矩形纸片A8CD,AB=6cm,BC=8cm,E为边CD上一点，将ABCE沿BE所

在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点E处，过点尸作户’MLBE,垂足为点取AF的中点N,连接MN,

则MN=()cm.

24「

A.5B.6C.—D.2V7

5

思路引领：连结AC,MC,可得MN是A4CF的中位线，则MN=%C,求出AC即可求解.

解：连结AC,MC,

由折叠可知，M是CB的中点，

是AD的中点，

...MN是AACF的中位线，

：.MN=^AC,

AB=6cm,BC=Scm,

在Rt"BC中，AC=>JAB2+BC2=10,

：.MN=5,

总结提升：本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形的折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的

关键.

针对训练

1.（2021春•荔湾区期中）如图，在A48C中，延长8C至。，使得CZ）=18C,过AC中点E作EF〃CZ）（点尸位

于点E右侧），且EP=2C。，连接。凡若48=6,则。/的长为.

思路引领：延长EE交A8于H,求出”为A8的中点，求出长，求出8。=尸”，根据平行四边形的判定得

出四边形BHFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF=BH即可.

延长FE交AB于H,

为AC的中点，EF//CD,

为AB的中点，

1

即EH=»BC,

VAB=6,

：.BH=3,

11

CD=^BC,EF=2CD,EH=^BC,

:.FH=BD,

•:FH〃BD,

・・・四边形BHFD是平行四边形，

：・DF=BH=3,

故答案为：3.

总结提升：本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是

解此题的关键.

2.（2021•安徽二模）如图.在△ABC中，ZACB=60°,AC=1,。是边A3的中点，石是边上一点.若。E平

分△ABC的周长，则的长为（)

5

c,更D.-

23

思路引领：延长5C至使CM=CA,连接AM,作CNLAM于N,根据题意得到旌=砂，根据三角形中位

线定理得到。£=%/,根据等腰三角形的性质求出NACN,根据正弦的概念求出AN,计算即可.

解：延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CALLAM于N,

TOE平分△ABC的周长，

；・ME=EB,又AD=DB,

：.DE=DE//AM,

ZACB=60°,

・•・ZACM=120°,

VCM=CA,

・・・NACN=60。，AN=MN,

：.AN=AC•smZACN=孚，

：.AM=V3,

9

\BD=DAfBE=EM,

故选：B.

总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形的知识，掌握三角形中位线定理、

正确作出辅助线是解题的关键.

3.如图，点2为AC上一点，分别以AB,为边在AC同侧作等边和等边ABCE,点P、M、N分别为AC,

AD,CE的中点.

(1)求证：PM=PN；

(2)求NMPN的度数.

思路引领：(1)连接。C和AE,AE交。于点。，证明△ABEgZXDBC,得到AE=Z)C,利用中位线的性质证

明PM=PN；

(2)根据中位线的性质把朋+NNPC转化成NMCA+NM4C,根据/MCA+NAMC可知求出/DMA

度数即可.

(1)证明：连接DC和AE,AE交CD于点。，

AABD和ABCE都是等边三角形，

：.AB=DB,BE=BC,/ABD=/EBC=6Q0,

：.ZABE=NDBC=60。+NDBE,

在"BE和△DBC中，

AB=BD

Z-ABE=Z-DBC，

BE=BC

:•△ABE^XDBC(SAS),

：.AE=DC,

;点、P、M、N分别为AC,AD.CE的中点，

:.PN=%E,PM=^DC,

所以PM=PN.

(2)解：：尸为AC中点，N为EC中点，

C.PN//AE,

：.NNPC=NEAC,

同理可得ZDCA,

：.ZMPA+ZNPC=ZEAC+ZDCA,

又NQQ4=NE4C+/OCA,

ZMPA+ZNPC=ZDQA,

'：AABE沿ADBC,

：.ZQDB=ZBAQ,

：.ZDQA^NDBA=60°,

：.ZMR\+ZNPC=6Q°,

：.ZMPN=180°-60°=120°.

总结提升：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等

三角形是解题的关键.

类型四中点四边形问题

1.（2020•荷泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件

是（）

A.互相平分B.相等

C.互相垂直D.互相垂直平分

思路引领：由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可

知，应为对角线互相垂直的四边形.

解：由于E、F、G、〃分别是AB、BC、CD、AO的中点，

根据三角形中位线定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG,

...四边形EFG”是平行四边形，

四边形EFGH是矩形，即EFLFG,

：.AC±BD,

故选：C.

总结提升：此题主要考查了矩形的性质（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大.

2.（2021春•青川县期末）如图，在菱形ABC。中，点E,F,G,X分别是边AB,BC,CD和D4的中点，连接

EF,FG,GH和HE.若EH=3EF,则下列结论正确的是（）

A.AB=V3£FB.AB=2近EFC.AB=3EFD.AB=yJlOEF

思路引领：连接AC、BD交于O,根据菱形的性质得到ACLBD,OA=OC,OB=OD,根据三角形中位线定理、

矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可.

解：连接AC、BD交于0,

•.•四边形是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,OB=OD,

;点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和D4的中点，

：.EF=^AC,EF//AC,EH=^BD,EH//BD,

,:EH=3EF,

.•.02=304

：.AB=yJOA2+OB2=VlOOA,

：.AB=VWEF,

总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键.

3.（2017春•新泰市期中）如图，E、F、G、反分别是8。、BC、AC,的中点，且A8=C。，下列结论：

1

®EG±FH；②四边形EFG/Z是矩形；③HF平分/EHG；@EG=-AD）；⑤四边形EFG8是菱形.

其中正确的是.

思路引领：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然

后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断.

解：,:E、F、G、”分别是跳入BC、AC、A。的中点，

：.EF=^CD,FG=GH=1CZ>,HE=

•：AB=CD,

:.EF=FG=GH=HE,

...四边形是菱形,

：.®EG±FH,正确；

②四边形EFGX是矩形，错误；

③HF平分NEHG,正确；

④当AD〃BC,如图所示：E,G分别为8。，AC中点，

连接CD,延长EG到CD上一点N,

：.EN=^BC,GN=^AD,

1

AEG-2（BC-AO）,只有A£）〃BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误;

⑤四边形EFGH是菱形，正确.

综上所述，①③⑤共3个正确.

故答案为：①③⑤

总结提升：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判

定四边形E/GH是菱形是解答本题的关键.

4.（2021春•召陵区期末）如图，5个全等的阴影小正方形镶嵌于一个单位正方形内部，且互不相交，中间小正方

形各边的中点恰为另外4个小正方形的一个顶点，若小正方形边长为三九方是正整数），则E勺值为

思路引领：连接MN,FH,由勾股定理可求四的长，由三角形中位线定理可求的长，由题意列出等式可求

a,b的值，即可求解.

：正方形£江汨的边长为手

.T7TT姓a—2

VM,N是EF,EH的中点,

..,r_2

••MNA=-57；—9

2b

・.,AO=1,

/.4a-2-2b+0a-4A/2=0,且。为正整数，

.・・。=4,。=7,

〃+o=n,

故答案为：u.

总结提升：本题考查了中点四边形，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出MN的长是本题的关键.

5.(2019•安徽一模)如图，在四边形中，4。=2。=8,E-F、G、8分别是边A3、BC、CD、D4的中点,

则ECfi+FH2的值为_____.

HD

一

万斤C

思路引领：连接HE、EF、FG、GH,根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG是菱形,

根据菱形的性质、勾股定理计算即可.

解：连接HE、EF、FG、GH,

:E、尸分别是边AB、BC的中点，

1

：.EF=^AC=4,EF//AC,

11

同理可得，HG=^4C=4,HG//AC,EH=加=4,

：.HG=EF,HG//EF,

...四边形HEFG为平行四边形，

'：AC=BD,

；.EH=EF,

.••平行四边形HEFG是菱形，

：.HF_LEG,HF=2OH,EG=2OE,

：.OE2+OH2=EH2=16

：.EG1+FH1=(2OE)2+C2OH)2=4COE2+OH2)=64,

故答案为:64.

HD

B

总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定和性质定理是解题的关键.

6.(2021秋•雁塔区校级月考)在四边形A3CZ)中，AC=BD=8,E、F、G、"分别是AB、BC、CD、的中点,

则叱+灯产的值为()

思路引领：作辅助线，构建四边形EFGH,证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位

线性质等量代换可得结论.

解：连接项?、FG、GH、EH,

YE、尸、G、〃分别是A3、BC、CD、ZM的中点，

J.EF//AC,HG//AC,EF=|AC,FG=gBD,

C.EF//HG,

同理EH〃/G,

四边形EFGH为平行四边形，

'：AC=BD,

：.EF=FG,

•••平行四边形EFGH为菱形，

J.EGrFH,EG=2OG,FH=2OH,

1

：.EG2+FH2=(2OE)2+(20/7)2=4(OE^+OH2)=4£7产=4、(-BD)2=82=64；

2

总结提升：本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三

角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明.

7.(2021•江川区模拟)如图，在菱形ABC。中，边长为1,/A=60。，顺次连接菱形A3。各边中点，可得四边形

AiBiCiDi；顺次连接四边形AiBiCiOi各边中点，可得四边形A282c2。2；顺次连接四边形A282c2。2各边中点,

可得四边形A383c3。3；按此规律继续下去，…，则四边形A2O1932O19C2O19£>2O19的面积是.

D

1

思路引领：利用已知数据求出菱形ABCD的面积，得到四边形A282c202的面积等于矩形A1B1C1D1的面积的,

11

同理可得四边形A323c39的面积等于四边形4222c29的面积5,那么等于矩形42心D的面积的（5）2,同

理可得四边形A2019B2019C2019D2019的面积.

解：连接AC、BD.则ACJ_8D,

,菱形ABCZ）中，边长为1,ZA=60°,

；.S菱形ABCD=^AC*BD=lxlxsin60°=苧，

•••顺次连接菱形ABC。各边中点，可得四边形A1B1CO1,

...四边形481C1O1是矩形，

矩形A1B1C1D1的面积=^AC'-BD-^AC*BD—Js菱形ABCZ)=卓=乌，

Z24乙424

菱形A2B2C2D2的面积=1X矩形AlBlClDl的面积=h菱形ABCD,=暇=与,

Z4,o2°

F5

则四边形A2019B2019C2019D2019的面积=22020,

故答案为:

总结提升：本题考查的是菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解

决本题的关.

8.（2022春•开封期末）如图，在AABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线，2。与CE相交于点。，点M,

N分别为B。，C。的中点，连接E£）,EM,MN,ND.

（1）求证：四边形EMND是平行四边形.

（2）当AABC的边满足时，四边形EOVM为矩形.

A

思路引领：(1)由中位线定理，可得EZ)〃3C,MN//BC,且都等于边长BC的一半.分析到此，此题证明即可；

(2)当AB=AC时，由SAS证明AAB。丝/XACE,得出8r>=CE,证出DW=EN,即可得出四边形是矩

形.

(1)证明：AABC的边AC、A8上的中线8D、CE相交于点O,M、N分别是8。、C0的中点，

1

：.ED//BCSLED=^BC,

1

MN〃BC且MN=^BC,

:.ED〃MN且ED=MN,

四边形MNDE是平行四边形；

(2)解：当AB=AC时，四边形EDVM为矩形.理由如下：

,/四边形MNDE是平行四边形，

：.OE=ON,OD=OM,

,：AB=AC,

：.AE^AD,

在AABD和"CE中，

AB=AC

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

:・BD=CE,

XVOE=ON,OD=OM,OM=BM,ON=CN,

:・DM=EN,

四边形EDMW是矩形.

故答案为：AB=AC.

总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行