人教版七年级数学暑假培优练：平面直角坐标系（含解析）

作业平面直角坐标系

【积累运用】

一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系的定义：

平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成了平面直角坐标系.

2.平面直角坐标系各部分名称：

①两数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点.

②水平的数轴叫做平面直角坐标系的横轴或x轴.取向右为正方向.

③竖直的数轴叫做平面直角坐标系的纵轴或y轴.取向上为正方向.

3.点的坐标：

平面上的点都可以用坐标来表示.点的坐标由横坐标和纵坐标构成.过点作x轴的垂线，垂

足点所对应的数就是该点的横坐标.过点做y轴的垂线，垂足点在y轴上所对应的数就是

该点的纵坐标.

4.象限及其象限的坐标特点：

①平面直角坐标系把平面分成了四部分，从而得到了四个象限.分别叫做第一象限、第二象

限、第三象限、第四象限.

②第一象限的坐标特点为（+,+）.

③第二象限的坐标特点为（-,+）.

④第三象限的坐标特点为（-,-）.

⑤第四象限的坐标特点为（+,-）.

5.特殊位置点的坐标特点：

①x轴上的坐标特点为纵坐标等于0.即（无，0）.

②y轴上的坐标特点为横坐标等于0.即（0,y）.

③一三象限角平分线上的点的坐标横坐标与纵坐标相等.即（x,y）在一三象限角平分线

上，贝！x=y.

④二四象限角平分线上的点的坐标横坐标与纵坐标互为相反数.即（%,y）在二四象限角

平分线上，则x=-y.

⑤平行于x轴或垂直于y轴的直线上的两点的坐标特点是纵坐标相等.这两点之间的距

离等于横坐标之差的绝对值.

⑥平行于y轴或垂直于x轴的直线上的两点的坐标特点是横坐标相等.这两点之间的距

离等于纵坐标之差的绝对值.

6.点到坐标轴的距离：

①点尸（尤，y）到无轴的距离等于纵坐标的绝对值.即|y|.

②点P（x,y）到y轴的距离等于横坐标的绝对值.即W.

7.坐标方法的简单应用：

①用坐标表示地理位置.

②用坐标表表示平移：

（1）左右平移：坐标左右平移时纵坐标不变，在横坐标进行加减平移单位.右加左减.

若点尸（x,y）向右平移。个单位得到的点的坐标时（x+a,y）.若点尸（x,y）向左平移

。个单位得到的点的坐标时（%—fl,y）.

（2）上下平移：坐标上下平移时横坐标不变，在纵坐标进行加减平移单位.上加下减.

若点尸（x,y）向上平移。个单位得到的点的坐标时（x,y+a）.若点尸（羽y）向下平移

。个单位得到的点的坐标时（尤，y—a'）.

（3）平面直角坐标系中图形的平移：把图形中的关键点按照点的平移规律进行平移得到相

应的对应点，按照原图形连接对应点.

8.平面直角坐标系中求图形的面积：常采用割或补的方法求得.

【培优训练】

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

1.在平面直角坐标系内有一点P,若点尸位于第四象限，并且点尸到x轴和y轴的距离分别

为3,4,则点尸的坐标是（）

A.（-3,4）B.（4,-3）C.（T—3）D.（3,T）

2.在平面直角坐标系中，点（-U/+3）一定在（）

试卷第2页，共6页

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列说法正确的是（）

A.点（1,-/）一定在第四象限B.若必=0,则点P（a,6）表示原点

C.已知点A（3,-l）,AF||y轴，且皿=2,则B点的坐标为（3,1）D.已知点A（-3,-3）与

点3（-3,3）,则直线A8平行y轴

4.为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将

“科”“技”“创”“新,，写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐

标分别为（-2,0）,（0,0）,贝广科”所在的象限为（）

---------@------W-

-（S）--（S）—

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.点M（1-私1+m）在x轴上，点N（〃+2,〃-2）在）轴上,那么根+”的值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

6.已知直线轴，M点的坐标为（2,3）,并且线段MN=3,则点N的坐标为（）

A.（-1,3）B.（5,3）

C.（1,3）或（5,3）D.（-1,3）或（5,3）

7.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综

合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行.如图，将本次运动会的会徽放入正

方形网格中，若点A的坐标为（-1,2）,点C的坐标为（3,-1）,则点5的坐标为.

8.平面直角坐标系中，我们把点p（龙,y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x,y）的

勾股值，记为：［P］,即［尸］=11+3,则点A（T3）的勾股值网为.

9.如图，直角坐标系中，VABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2).

(1)填空：点A的坐标是，点8的坐标是；

⑵将VABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到AA乃C’.请写出

AABC1的三个顶点坐标；

(3)求VABC的面积.

10.已知点Af(3a-2M+6).

⑴若点M在％轴上，求点M的坐标；

⑵已知点N(2,5),且直线ACV〃龙轴，求点M的坐标；

⑶若点M到兀轴、y轴的距离相等，求点M的坐标.

2能力培优练

11.如图，平面直角坐标系xQy中，直线乙过点(3,0)且平行于y轴，直线乙过点(。,-4)且平

行于X轴，点P的坐标为(4,6),根据图中点尸的位置，下列结论正确的是()

A.a<-4,b>3B.0<a<3,b<3C.a>3,b<-4D.a>3,—4<b<0

12.如果将平面直角坐标系中的点尸(a-3,6+2)平移到点(“,b)的位置，那么下列平移方法

中正确的是()

A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

试卷第4页，共6页

D.向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度

13.在平面直角坐标系中，把点P（a-1,3）向右平移5个单位得到点。（2-2久3），则2a+4b+l

的值为.

14.在平面直角坐标系中，若点尸（x,y）的坐标满足x-2y+3=0,则我们称点尸为“健康点”；

若点。（尤,y）的坐标满足x+y-6=0，则我们称点。为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快

乐点”，则点A的坐标为;

15.在平面直角坐标系xOy中，对于点4（%,%），*苍,%），记4=旧-々|，?=|%-刃，

将|&-闻称为点A,3的横纵偏差，记为M（A,3）,即A（A,B）=|4-蜀.若点2在线段尸。

上，将〃（A8）的最大值称为线段P。关于点A的横纵偏差，记为〃（APQ）.

（l）A（0,-2）,5（1,4）,

①〃（A8）的值是；

②点K在x轴上，若〃（B,K）=0,则点K的坐标是_.

（2）点尸，。在y轴上，点尸在点。的上方，尸。=6,点M的坐标为（一5,0）.

①当点。的坐标为（。,1）时，求必”,P。）的值；

②当线段PQ在>轴上运动时，直接写出〃（“，尸。）的最小值及此时点P的坐标.

3创新题型练

16.在平面直角坐标系中，对于点若点N的坐标为（m-加,卬《+〃），则称点N是

点”的阶和谐点”（。为常数，且。/0）.例如：点加（1,3）的“2阶和谐点”为点

N（l—2x3,2x1+3）,即点N的坐标为（-5,5）,

（1）若点A（-2,-l）的“3阶和谐点”为点B,则点B的坐标为；

（2）若点C[+2,l-3/）的“一2阶和谐点”到x轴的距离为7,贝心的值为.

17.在平面直角坐标系中，对于任意两点与鸟（%，%）的“识别距离”，给出如下定

义:

若h-々I＞I%-%I则点4（不，x）与点£（々，%）的“识别距离"为国-wI；

若上一刃＜|%-刃，则点与点8（知为）的“识别距离”为.

例如：对于点6（2,-1）与点舄（4,3）,因为|2-4|＜卜1-3],所以点片与点鸟的“识别距离”为

4.

【初步理解】

（1）已知点A（TO）,3（1,3）,则点A与点8的“识别距离”为一.

【深入应用】

（2）已知点A（2,0）,点2为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“识别距离”为4,求出满足条件的点B的坐标；

②点A与点8的“识别距离”的最小值为

【知识迁移】

（3）已知点C（〃?,2机-1）,£＞（0,0）,直接写出点C与点。“识别距离”的最小值及对应的C

点坐标.

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参考答案：

1.B

【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到％轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴

的距离等于横坐标的绝对值,结合第四象限内点的横坐标是正数,纵坐标是负数，即可求解.

【详解】解：：点尸在第四象限，且点尸到x轴和y轴的距离分别为3,4,

.•.点尸的横坐标是4,纵坐标是-3,即点尸的坐标为（4,-3）.

故选：B.

2.B

【分析】先根据偶次方的非负性判断疗+3的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即

可.本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特

征.

【详解】解：：病20,

m2+3>0,

点（-1,nr+3）一定在第二象限，

故选：B.

3.D

【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键.本题直接利

用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析即可得出答案.

【详解】A.当。=0时，点（1,一/）在x轴上，故该选项错误，不符合题意；

B.若必=0,则点P（al）可能在头轴上，可能在y轴上，也可能表示原点，故该选项错误，

不符合题意；

C.已知点A（3,-l）,钻|及轴，且钻=2,则B点的坐标为（3,1）或（3,-3）,故该选项错误,

不符合题意；

D.已知点4（-3,-3）与点3（-3,3）,则直线43平行y轴，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

4.B

【分析】本题考查了坐标系的建立与象限，熟练掌握坐标系的建立与象限的特点是解题的关

键.根据“创”“新”对应的坐标分别为（-2,0）,（0,0）,判定“新”在原点，“创”在天轴的负半轴，

答案第1页，共10页

过点原点与X轴铅直的直线为y轴所在直线，这样就可以判定“科”在第二象限，解答即可.

【详解】解：根据“创”“新”对应的坐标分别为（-2,0）,（0,0）,

故“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线，

故“科”在第二象限，

故选：B.

5.A

【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键.

根据x轴上点的纵坐标为o,丁轴上点的横坐标为o列方程求出机、〃的值，然后代入代数

式进行计算即可解答.

【详解】解：•.,点一九1+m）在X轴上，点N（〃+2,〃—2）在y轴上，

/.l+m=0,〃+2=0,

=,n=—2f

机+n=—1+（—2）=—3,

故选：A.

6.D

【分析】本题考查了坐标与图形.根据题意得出N的纵坐标为3,根据MN=3,得出N点

的横坐标，即可求解.

【详解】解：：直线MN〃x轴，M点的坐标为（2,3）,

，N的纵坐标为3,

,:MN=3,

N点的横坐标为2+3=5或2-3=-1,

；.则点"的坐标为（-1,3）或（5,3）,

故选：D.

7.（2,2）

【分析】本题主要考查了用坐标确定位置.先根据A,B两点的坐标建立好坐标系，即可确

定点C的坐标.

【详解】解：：点A的坐标为（-1,2）,点C的坐标为（3,-1）,

答案第2页，共10页

・•・建立坐标系如下:

!：ASIANWINTERGAMES；；；

1-----,--U

...点B的坐标为(2,2).

故答案为:(2,2)

8.4

【分析】本题考查了新定义，化简绝对值，先理解上]的定义，再结合点4(-1,3),进行列

式计算，即可求出勾股值[知.

【详解】解：•.•点ALU),

[A]=T+|3|=4,

.•.点A(-l,3)的勾股值⑷为4.

故答案为：4.

9.(1)(2,-1),(4,3)

(2)A(0,0),3(2,4),C'(-l,3)

(3)5

【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、坐标与图形一平移变换、网格中求三角形

的面积，理解平移性质是解答的关键.

(1)直接根据点的位置写出坐标即可；

(2)利用平移性质得到平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形；

(3)利用割补法求解三角形的面积即可.

【详解】⑴解:4(2,—1),5(4,3)；

故答案为(2,—1),(4,3)；

(2)解:如图，AABC为所作;A'(。，。)，3'(2,4)，C(-l,3)；

答案第3页，共10页

(3)解：S=3x4--x2x4--x3xl-lx3xl=5.

4222

10.(l)(-20,0)

⑵(-5,5)

(3)(10,10)或(-5,5)

【分析】(1)根据在x轴上的点，纵坐标为0,可以求出。的值，进而求出点"的坐标；

(2)根据直线轴，得到纵坐标相等，可以求出。的值，进而求出点M的坐标；

(3)点到无轴、y轴的距离相等，得到点M的横坐标，纵坐标相等，或者互为相反数，可

以求出。的值，进而求出点M的坐标.

【详解】(1):点”在x轴上，

••。+6=0,

a=—6,3a—2=—18—2=—20,

・••点M的坐标是(-20,0)；

(2)•・•直线轴，a+6=5,

解得a=_l,3a_2=3x(-l)_2=_5,

所以，点M的坐标为(-5,5).

(3)•..点M到x轴、y轴的距离相等.

••3a—2=。+63a—2+a+6=0,

解得a=4或a=—1.

••3a—2=a+6=103a—2=—5,。+6=5.

二点M的坐标为(10,10)或(-5,5).

【点睛】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在

坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的

点的坐标特征.

答案第4页，共10页

11.D

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标.根据点尸在4的右侧，可知。>3,根据点

尸在右的上方，x轴的下方，可知-4<6<0.

,点尸在4的右侧,

:.a>3,

又・・・点尸在的上方，X轴的下方，

.,T<b<0.

故选：D.

12.C

【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减,

据此即可作答.

【详解】解：•••将平面直角坐标系中的点P（a-3,6+2）平移到点（0㈤的位置，

a—3+3=。,〃+2—2-Z?

•••平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

故选：C

13.3

【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加,

左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键.

根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案.

【详解】解：；把点尸（。-1,3）向右平移5个单位得到点Q（2-处,3）,

.*.a—l+5=2—26,即：a+2b=-2

2a+4Z?+7=2（a+2Z?）+7=—4+7=3.

答案第5页，共10页

故答案为：3.

14.（3,3）

【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A

fx-2y+3=0

坐标应该满足了—2y+3=0和x+y—6=0,解/八即可得答案

[兀+）一6=0

【详解】解:点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足％-2y+3=0和x+y-6=0,

A[x-2y+3=0

解■An

[x+y-6=0

的坐标为（3,3）；

故答案为:（3,3）

15.⑴①5；②（-3,0）或（5,0）

⑵①〃（M,PQ）=4；②的最小值是3,此时点P的坐标是（0,8）或（0,-2）

【分析】⑴①根据〃（48）=|4-4|的含义即可求得；

②设K（元,0）,则可得4与％=4,由M3，K）=0即得关于x的方程，解方程即可；

（2）①由己知易得点尸的坐标，设点7（0,7）为线段P。上任意一点，则14/47,从而可得d,

与打，进而求得M"，T），由t的取值范围即可求得MM，T）的最大值，最后可求得

的值；

②由已知易得〃（MP,Q）=〃（M,P）或〃（KQ）,设点。（0,。，则尸（0/+6）,求出幺（跖尸）及

〃（KQ）,当〃（跖尸）=〃（",。）时，〃（MPQ）有最小值，从而可得关于f的方程，解方

程即可求得t的值，从而可求得此时〃（M,PQ）的最小值及点P的坐标.

【详解】（1）解：①•.•40,-2）,3（1,4）,

=-

—x21|01|=1»%=|必—y2Hl2—4|=6,

则〃（A,B）=|dL6|=5,

答案第6页，共10页

故答案是5.

②•.•8(1,4),点K在x轴上，设K(x,O),

••a=忖一/印一1，4=］为72H4-。|=4,

•.•〃3K)=0,

:•MB，K)=\dx-dy|=||1-x|-4|=0,

1—x=4或1—x=T,解得，尤=—3或x=5,

；.K的坐标是(-3,0)或(5,0).

故答案是(TO)或(5,0).

(2)解：①•.•点尸、。在y轴上，点尸在点。的上方，PQ=6,点。的坐标为(0,1),

•・•点尸的坐标为(0,7),

设点7(0,/)为线段P。上任意一点,则K7；

:点M的坐标为(-5,0),

dx=5,dy=t,

;.^M,T)=\dx-d^=\5-t\.

由1W/W7,可得一2W5—tW4；

的最大值是4,

“(监尸Q)=4.

答案第7页，共10页

6-

5-

4-

3-

2-

M1"。

-8-7-6-5-4-3-2-\O12345678X

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

②•.•〃（MPQ）=〃（MP）,或〃（MQ）,

设点。（O,f），则尸（Oj+6）,

.•.〃（河,0）=|5-『|,//（M,p）=|5-|r+6||,

••・当M"，尸）=〃（"，Q）时，有最小值，

即|5制邛-卜+6||时,〃（MPQ）有最小值，

.1=2或-8,则PQ）有最小值为3,

•••点尸的坐标为（0,8）或（0,-2）,

的最小值是3,此时点P的坐标是（0,8）或（0,-2）.

【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，

有一定的难度，关键是理解题目中MA3）及〃（A,PQ）的意义.

16.（1,-7）-2或g

【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键

是理解“。阶和谐点”的定义，

（1）依据“。阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；

（2）点C（t+2,1-3。的“一2阶和谐点”到无轴的距离为7,即可得到关于/的方程，进而得到

答案第8页，共10页

r的值.

【详解】解：(1)点4(-2,-1)的“3阶和谐点”的坐标为B(-2-3x(-l),3x(-2)+(-l)),

即点8的坐标为。,-7),

故答案为：(1-7)；

(2),点C(f+2,1—3。,

(?+2)-(-2)x(l-3r)=-5r+4,-2«+2)+l-3r=-5r—3.

.•.点c的“-2阶和谐点”为(-5?+4,-5r-3),

•・•点c(r+2,l-3z)的“-2阶和谐点”到X轴的距离为7,

A|-5Z-3|=7,

-5t-3=7或—5/-3=-7.

4

解得t=