椭圆及其性质（九大题型）（练习）解析版-2025年高考数学一轮复习

第05讲椭圆及其性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：椭圆的定义与标准方程...................................................2

题型二：椭圆方程的充要条件.....................................................4

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题.................................5

题型四：椭圆上两点距离的最值问题...............................................7

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题.............................................9

题型六：离心率的值及取值范围..................................................11

题型七：椭圆的简单几何性质问题................................................15

题型八：利用第一定义求解轨迹..................................................19

题型九：椭圆的实际应用........................................................22

02重难创新练.................................................................24

03真题实战练.................................................................36

梢阳建础飨

//

题型一：椭圆的定义与标准方程

1.已知片(0,-1),鸟(0,1)是椭圆C的两个焦点，过F?且垂直于y轴的直线交c于A,B两点，且|4?|=3,

则椭圆C的标准方程为.

2

V丫2

【答案】^+―=1

43

【解析】根据题意，如图：

13

AB=3,由椭圆的对称性可得：|A工|=RA例=万，

22

又14gl=2,由勾股定理可得：\AFt\==1+(|)=|,

所以2a=|4用+|伍|=4,a=2,

又c=1,则/?=《a2—c?—^3,

22

椭圆标准方程为匕+土=1.

43

22

2.已知椭圆E：5+2r=1(。>6>0)的左、右焦点分别为尸-F2,过坐标原点的直线交E于P,。两点,

ab

且尸入，工。，且5帆°=；/,户阊+优Q|=8,则E的标准方程为.

22

【答案】—+^=1

168

【解析】连接尸6,。耳，因为OP=OQ,。耳=。耳，

所以四边形尸式卫工是平行四边形，

所以即=&Q,PF°=QF\,

又•.尸名，鸟。，所以四边形鸟为矩形,

设PFt=7”,PF,=n

m+n=2a=S

。=4

则由题意得,病+/=4c2,解得＜

c=2&'

112

—mn=­a

122

22

则〃=/一°2=8,则标准方程为土+21=1,

168

尤2v2

故答案为：—+^=1.

168

3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）,（2,0）,并且经过点-1],则它的标准方程为

【答案】今白1

22

【解析】因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为1T+%=1（。>6>0）,

由椭圆的定义知2a=/(-+2)2+(--)2+/(--2)2+(--)2=2回,

Y22Y22

所以Q=\/10.

又因为c=2,

所以/=/_。2=6,

22

所以椭圆的标准方程为1+3=1.

106

故答案为：^+4=1-

106

题型二：椭圆方程的充要条件

22

4.若方程上+上-=1表示椭圆，则实数加的取值范围为（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<m<4£.m^2

【答案】D

22

【解析】•.方程上+3^=1表示椭圆，

m4-m

m>0fm>0

<4-m>0,得,根<4,得0<机<4且

m4-m1加。2

故选：D.

2

5.若曲线C:（%-4）x2+q」=i表示椭圆，则实数上的取值范围是（）

A.（4,6）B.（4,5）C.（5,6）D.（4,5）一（5,6）

【答案】D

22

2C-^+E-l

【解析】因为曲线C:（"4）/+E=I表示椭圆,BP16-4表示椭圆

6—k

k—4

jt-4

则应满足6—左〉0,即北（4,5）u（5,6）.

w6k,

〔左-4

故选：D.

22

6.若方程式+工=1表示焦点在x轴的椭圆，则/的取值范围是（）

4-Zt-1

A.停）B.m，4）c.臼D.

【答案】c

【解析】命题等价于4T>，T>O,解得

故选：C.

7.（2024河南・模拟预测）若方程（机+1）/+。_闻）；2=]_病表示焦点在工轴上的椭圆，则（）

A.-l<m<lB.0<m<l

C.—l<m<0D.—l<m<O^cO<m<l

【答案】c

22

【解析】方程（租+1）/+（1—回/=1_/可化为：工+工=1,

1-mm+1

22

因为方程上+工=1表示焦点在X轴上的椭圆,

1-mm+1

1-m>m+1

所以解得—1<m<0.

m+1>0

故选：C

22

8.设机为实数，若方程^+工=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数机的取值范围是（

2-mm-\

3根

A.—<m<2B,>3

22

3

C.l<m<2D.1<m<—

2

【答案】D

r223

【解析】+上v一=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得2-根>根-1>0,解得1<相<不

2-mm-12

故选：D

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

9.已知月，居是椭圆。:，+与=1（°>。>0）的两个焦点，尸为椭圆C上的一点，且尸耳，P居，若尸耳工的

ab

面积为9,则6的值为.

【答案】3

【解析】

7。句左

\PFt\+\PF2\=2a,

.•』尸球+|尸酸+2|尸耳，巡|=心,①

又尸£_1_尸号

：•①-②得：2|明.|尸段=4(a?_02)=g，

.■.^\PF\-\PF^=b\

「△尸片工的面积为9,

，5冏&=:忸胤小闾=62=9,6>0,

;.b=3.

故答案为：3.

22

10.设椭圆口会=1的左右焦点为£,耳，椭圆上点尸满足冏|：|*=2:3,则尸和的面积为.

【答案】12

【解析】由椭圆定义可得|尸耳|+户阊=2a=10,

则有黑诃=)即户制=4,归引=6,

JLV/11._/-*]D

又闺闾=2c=2725-12=2713,

由42+62=52=(2万丁，故/耳尸5=90。，

故Spg=-^x4x6=12.

故答案为：12.

22

11.已知K，尸2分别是椭圆c：1r+==1(八6>0)的左、右焦点，椭圆C的离心率为6-1,尸是C在

第一象限上的一点.若尸打,尸鸟，贝Ijcos/PF^=.

【答案】1/0.5

2

【解析】如图，记NP8G=夕，|耳耳|=2c,

因为尸则附|=2ccos（9,|尸耳|=2csin。,

由椭圆的定义可得|M|+|P&|=2(sine+cos6»)c=2a,

所以£=.八]----=若一1,则sin6+cos夕="+]

asin〃+cosU2

・八1

sin6>=—sinc/=—

TV2

又0<6<7且sin20+cos20=1,有；或,

20&

cos0=—cos6=——

22

解得。=5或。q,又点p在第一象限，所以l%>附I,

TT1

得。=§,贝ijcos/wy;、.

故答案为：—.

22

12.已知椭圆匕+二=1的焦点为片、F2,P为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），贝|「KF?的周长为

2516

（）

A.10B.13C.14D.16

【答案】D

【解析】由题意可知：a=5,b=4,c=yja2-b2=3>

则|尸耳|+|尸闾=2=10,国闾=2。=6,

所以,尸可居的周长为|尸制+|尸局+国与|=16.

故选：D.

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

22

13.（2024.宁夏银川.二模）已知椭圆C：3+3=1的左焦点为乙，M为椭圆C上任意一点，贝1|熠|的

最小值为.

【答案】1

【解析】由椭圆C：工+上=1知：。=2*=6，故c=l,

43

所以耳（-1,0）,

所以，惘国的最小值为a-c=L

故答案为：1

14.已知AB=4,点尸在点A,3所在的一个平面内运动且PA+P3=6,则E4的最大值是,最小值

是.

【答案】51

【解析】依题意知，点尸的轨迹是以A,8为焦点的椭圆，

2a=6,2c=4,

a=3,c—2.

•••PAnax=a+c=3+2=5,尸4"=a-c=3-2=1.

故答案为：5；1.

22_

15.过椭圆C:，+4=l（a>6>0）的右焦点尸且与长轴垂直的弦的长为3忘，过点42,1）且斜率为-1的直

ab

线与C相交于A8两点，若尸恰好是A3的中点，则椭圆C上一点河到尸的距离的最大值为.

【答案】3忘+3/3+30

【解析】法一：将x=c代入椭圆C的方程得y=±2，所以竺=3收①，

aa

2222

设A（%，M）,3（%2，%）,贝U-^+普=1,号'+普=1,

abab

两式相减得（占-可+超）+（Mf）9+%）=o,

a2b2

=

又玉+马=4,Ji+y22,—~,所以—7-1=0②，

石一%ab

解①②得。=3®,b=3,所以°=y/a2-b2=3，

所以C上的点M到焦点尸的距离的最大值为a+c=3a+3.

法二：将x=c代入椭圆C的方程得y=±£,所以竺1=3五①，

aa

直线AB的方程是>一1=一。一2）,即y=3-尤，

代入椭圆的方程并消去>整理得（〃+廿）尤2-6/*+9/_02/=0,

贝IJ△=（一64）2-4（4+Z>2）（9a2-a2b2^=4a2b2（a2+b2-9）>0,

设4国,“)，/为,%),则%+%=^^=4，即/=2/②，

a+b

解①②得。=3夜,6=3,满足△>(),所以0=，/一62=3,

所以C上的点闻到焦点下的距离的最大值为a+c=3及+3.

故答案为：3&+3.

16.已知椭圆C:(+尤2=1(。>1)的离心率为变，P为椭圆C上的一个动点，定点4-2,0),贝力以|的最

a"2

大值为•

【答案】3

【解析】由椭圆C：A+/=1(〃>1)的离心率为变，

a2

可得e2=《="=1,解得"=2,所以椭圆的方程为汇+/=1,

a'a'22

222222

设尸(无,y),贝=(^+2)+y=(x+2)+2(l-x)=-x+4x+6=-(%-2)+10,

因为TVxWl,当x=l时，可得|PA「取得最大值，最大值为9,

所以1PAi的最大值为3.

故答案为：3.

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

22____________________________________________

17.设实数x,y满足日+宁=1,后丁石7T+产仔三力的最小值为()

A.275-72B.1+75C.&D.前三个答案都不对

【答案】A

22

【解析】设尸(％y),贝UP在椭圆土+匕=1上，

54

又yjx2+y1-ly+i+yjx2+y2-2x+l=^x2+(y-l)2+^(x-1)2+y2，

设s(o,i),鸟(1,0),则尸2为椭圆的右焦点，

如图，设椭圆的左焦点为K(-1,0),贝U：

22

7%+y-2j+l+4+y2-2x+l=IPSI+1P月|=26+1PSI-1尸周226一|SK|,

当且仅当P,S,《三点共线且S在P，耳之间时等号成立，

而|S耳|=0,故"尤2+/—2y+l+y]x2+y2-2x+l的在最小值为2卡-应,

故选：A.

22

18.（2024・甘肃定西•统考模拟预测）已知椭圆C：'■+'=1的左、右焦点分别为％A，A是C上一点,

5（2,1）,则|阴+|刈|的最大值为（）

A.7B.8C.9D.11

【答案】A

如图，连接|>^|+|^|=\A^\+2a-\AF2\=6+\AB\-\AF^\,

而|AB|-|MlV忸阊=1，当且仅当A8，B共线且歹2在A,8中间时等号成立，

故+|砍|的最大值为7.

故选：A.

22

19.已知点尸为椭圆亍+三=1上任意一点，点M、N分别为（无一1）2+/=1和（尤+1『+:/=1上的点，则

的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】设圆（x-l）2+V=i和圆（x+i）2+,2=i的圆心分别为4应半径分别为小勺

22

则椭圆?+5=1的焦点为A（T0）,3（l,0）.

又|B4|+q±|尸必』尸冏+々习?N|,|PA|+|P同=2。=4,

^\PM\+\PN\<\P^+\PB\+n+r2,

当且仅当分别在尸A尸8的延长线上时取等号.

此时|PM|+|PN|最大值为|川+|产用+{+4=4+1+1=6.

故选：C.

20.已知小工分别为椭圆C:?+y2=i的两个焦点，尸为椭圆上一点，则|「耳|一忸局的最大值为（）

A.2B.2#C.4D.4石

【答案】B

【解析】椭圆上的点P满足|羽|-|「鸟归国鸟

当点尸为入耳的延长线与C的交点时，

|尸耳一|尸阊达到最大值，最大值为国司=2后.

故选：B

题型六：离心率的值及取值范围

22

21.已知椭圆，+3=1（。>6>0）的左右焦点为％F2,以出国为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离

ab

心率的范围为（).

A.B.C.I-1D.i1

7

【答案】A

【解析】因为以山闾为直径的圆与椭圆有四个交点，所以bvc,

2222

即^<。2,a-c<c,(r<2c,所以e?>],即e>正,

22

又因为0<e<l,所以椭圆离心率的取值范围为

故选：A.

22

22.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C:1+斗=1（。>8>0）的右焦点为F,过坐标原点。的直线/与椭圆

ab

C交于A,3两点.在△AEB中，ZAFB=120°,且满足4的=宿。，则椭圆C的离心率为.

【答案】*

【解析】设椭圆C的左焦点为尸，连接AF,B广，根据对称性可知四边形AFBF为平行四边形,

又/AFB=120。，所以/E4­=60。,

又SABF

X\AF\+\AF'\=2a,|AF|2+1AF'f-2\AF\-\AF'\COSZFAF'^\FF'f,

即\AFf+|AF,|2+2|AF|-|AF,|=4",

|AF|2+\AF'f-\AF\-\AF'\=4c2,

4（672-C2）_4Z>2,

所以|A斗|AF[=

33

所以b"AFIsinZFAFr=—b\

3

即\f3ac=^-b2,

3

222-岳-3

所以b二=a-c——e=3解得e=_^或

acace22

V13-3

又因为0<e<l,所以e

2

故答案为：巫匚

2,：2

23.(2024.高三.河北保定.开学考试)如图，设椭圆c：,+方=l(a>6>0)的左焦点为F,上顶点为A,

右顶点为8,^.FAAB=Q,则C的离心率为.

51

【答案】

2

【解析】因为E4.AB=0，则E4_LAB,

所以△AFB为直角三角形，y.\FA\^a,\AB\=yJa2+b2,\FB\^a+c,

22222222

得。2+/=（a+c）,a+a+b=a+2ac+cn2c+2ac-2a=0,^+―-l=O=>e=-=.

a2aa2

故答案为：叵口

2

22

24.（2024・高三・福建・开学考试）已知椭圆上+与=1的右焦点厂与抛物线丁=2/（。>。）焦点重合，M是

4m

椭圆与抛物线的一个公共点，|阪|=6-3&,则椭圆的离心率为.

【答案】交

2

22

【解析】设椭圆J+多=1,其右焦点为Wc,。），椭圆上一点

ab

22

则=:（尤0_c）2+%2=J/2_2cx0+c?+（1一茨）b。=x0-2cx0+a=：x「a,

此公式为椭圆的焦半径公式.

22

因为椭圆的右焦点/与抛物线V=2PMp>。）焦点重合，

所以与=C,

2

设M（x°,%）是椭圆与抛物线的一个公共点，因为|MF|=6-30,

根据抛物线的定义，\MF\=x0+^=6-3y[2,

即|MF|=Xo+c=6_30①

又由椭圆的焦半径公式有四司=：尤。-a=|x0-2=6-372@

由①②解得c=®,

所以离心率e=£=1.

a2

故答案为：也

2

22

25.（2024・高三・河北沧州•期中）已知片,£为椭圆C:与+==l（a>b>0）的两个焦点，尸为椭圆C上一点,

ab

且,「耳厂2的周长为6,面积的最大值为则椭圆c的离心率为.

【答案】1/0.5

【解析】依题意，，,P耳工的周长为2a+2c=6,

所以a+c=3,%8面积的最大值为gx2cx6=秘=百，

3

又4=6?+0z,整理得(3-C)2==+o2,即(c一I-(2C+1)=0,

C

解得c=La=2,b=6,故椭圆C的禺心率为彳，

2

故答案为：—

2

26.已知用且为椭圆C的两个焦点，尸为C上一点,若巴笆的三边「耳|,闺阊,|尸囚成等差数列，则C的

离心率为.

【答案】1/0.5

【解析】因为|尸耳|,闺耳|,|尸马|成等差数列，

所以2国月=|呐+附I,

所以e=闺月二区」

所”|尸胤+户用2忸用2-

故答案为：—■

22

27.如图所示，已知椭圆C:3+==1(。＞0切＞0)的左右焦点分别为月,工，点A在C上，点8在V轴上,

ab

F.A1F.B,忸图=4|A闾，则C的离心率为.

【答案】呵/1回

55

【解析】设1人&1=依题意，［Af；\=2a-m,因点8在V轴上，则|即|=|%|=4m,\AB\=5m,

又因月A_L片氏则(2。-机)2+(4〃z)2=(5〃z)2,化简得a=2〃z,在RtZ\QBF,中，cosZOF,B=—,故

4m

cosZAKF=---,

214m

gic

在,4居£中由余弦定理，(2a-m)2=(2c)2+/n2-2-2c-mcosZAF^,^-a2=4c2+-O2-2ac-(——),

442a

解得：24=5C2,即/=2,则离心率为®.

55

故答案为：叵.

5

题型七：椭圆的简单几何性质问题

22

28.（多选题）连接椭圆C:=+匕=l（a>百）的三个顶点所围成的三角形面积为2vL记椭圆C的右焦点

a3

为尸，贝I」（）

A.。=4B.椭圆C的离心率为二

2

2023

C.椭圆C的焦距为2近D.椭圆C上存在点P,使|PF|=2加

【答案】BD

22

【解析】椭圆C:£+，=1（。>我的左顶点为0）,右顶点为（4,0）,上顶点为（0,⑹，下顶点为（0,-73）,

因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为2百，

若为左、右顶点与上（下）顶点时，则gx2ax退=2若，解得。=2,符合题意；

若为上、下顶点与左（右）顶点时，则;x2有义°=2石，解得。=2,符合题意；

综上可得a=2,故A错误；

则椭圆方程为土+匕=1,所以,="^=1，则椭圆c的离心率e=£=故B正确；

43a2

椭圆C的焦距为2c=2,故C错误，

因为椭圆C的右焦点为尸（1。），所以a—c<|尸耳Va+c,§pi<|PF|<3,

2023

所以在椭圆C上存在点P,使IPFUZ'j,故D正确.

2024

故选：BD

/V2

29.（多选题）（2024・福建厦门•一模）设椭圆C：=+多=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，F?，过耳的

ab

直线与c交于A,8两点，若优司=2,且珥的周长为8,贝|（）

A.a=2B.C的离心率为:

C.IA3|可以为兀D.28A区可以为直角

【答案】AC

【解析】由出阊=2c=2nc=l,如下图4AB居周长为4a=8na=2,故/=/一°2=3,

所以，椭圆离心率为e=3,A对，B错；

2

2h2

当轴，即A3为通径时|42焉„=竺=3,S.\AB\<2a=4,

a

所以3W|AB|<4,故|AB|可以为兀，C对；

/72+〃2-4021

由椭圆性质知：当A为椭圆上下顶点时/胡工最大，此时cos㈤g=〃+〃2二1

2a2

7T

且㈤耳£（0,兀），故（如8）max=三，即4A乙不可能为直角，D错.

故选：AC

22

30.（多选题）若矩形ABC。的所有顶点都在椭圆E:j+匕=1（。>0）上，且|AB|=2夜，|AC|=2石，点尸

a2

是E上与A,民C,Z）不重合的动点，则（）

A.E的长轴长为4B,存在点P,使得=

C.直线尸AP5的斜率之积恒为D.直线尸4尸。的斜率之积恒为

22

【答案】ABD

【解析】因为矩形A58的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得AC关于原点对称，氏。关于原点对

称，

22

由二+匕=1,|阴=2血，可得/>2,即椭圆焦点在x轴上，

a2

如图所示，又“|=2叔.•.怛q=2,易得A（61）,B（-V2,l）,C（-V2,-l）,Z）（V2,-1）.

对于A,将点A（后」）代入椭圆方程可得:+；=1,解得a=2,椭圆的方程为：；=1,所以椭圆的长

轴长为4,故A正确；

对于B,设点P（x,y）,且/+2/=4,x#土枝,则以=（应一X/-y）,PC=（-^-x,-1-y],所以

PC=(V5-%)卜x)+(l-y)(-1-y)=x?+V—3=1—y?,又_^^<y<V2,

即当y=±Y5时，PAPC=--,故B正确；

’22

对于C,当点尸是左顶点时，P(-2,0),贝m丛=云5，%=_，+2

所以原屋发网=7为*故C错误；

对于D,设点尸(%,y),且炉+2/=4,大羊土近，

厂,,y-17y+1

贝1JkpA=T=，kpc=~f=,

X-A/2x+V2

22

所以七r⑥c=v±-1=为y-17=-15,故D正确.

故选：ABD.

22

31.(多选题)(2024・湖北.模拟预测)已知耳，工是椭圆E:匕+土=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则

43

()

A.点片,且在无轴上B.椭圆E的长轴长为4

C.椭圆E的离心率为:D.使得a耳尸工为直角三角形的点尸恰有6个

【答案】BC

22_

【解析】由题意E:匕+土=1的长半轴长。=2,短半轴长6=6,焦半距c=l,

43

椭圆E:：+]=l的焦点在y轴上，A错误；

椭圆E的长轴长为2a=4,B正确；

c1

椭圆£的离心率为一=彳，C正确；

a2

椭圆的右顶点M(百,0),焦点耳(0,-1),鸟(0,1),

所以阿=（一石,一1）,MF,=（-A/3,1）,cos〈町产「华］=!>。，

m八M耳卜机用2

则〈叫,姐〉€（04），即N甲鸣为锐角，

故根据椭圆的对称性可知，使得.、耳尸耳为直角三角形的点P恰有4个（以^或F?为直角），D错误.

故选：BC.

22

32.（多选题）（2024・高三•河南•期中）已知B,尸2分别是椭圆j+与=1（心&>0）的左、右焦点，且A不，月居,

ab

直线AB与椭圆的另一个交点为8,且则下列结论中正确的是（）

A.椭圆的长轴长是短轴长的八倍B.线段A玛的长度为:a

C.椭圆的离心率为电D.ZXB月入的周长为如诋°

33

【答案】BC

【解析】

由AF；_L£K，可设41,113（尤,〉），又B（c,0）,AB=

3F2B,

扇<b11’5b2}

可得2c=3（x—c）,=3y,解得x=-c,y=---，即5C，），

a33a3~3a

将3的坐标代入椭圆方程，可得.+三=25（/—〃）b2,

+7=1，

9/9a29a29a2

化为"=3巴即。=争，故A错误;

方2D

\AF\=-=-a,故B正确；

lQ3

椭圆的离心率e=£=5^=n=?,故c正确；

△3/笆的周长为忸6+忸&+可用=2a+2c="当。

故D错误.

故选：BC.

22

33.（多选题）（2024.全国.二模）已知圆O：/+>2=3经过椭圆c：2-+^=1的两个焦点

ab

居,F2,且尸为圆。与椭圆C在第一象限内的公共点，且.尸耳石的面积为1,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2B.椭圆C的短轴长为2

c.椭圆c的离心率为:

D.点尸的坐标为

【答案】BD

3-1

【解析】因为圆。:尤2+>2=3经过椭圆C：靛+炉一1（a>b>0）的两个焦点式-「2,

所以c=Vs，

又尸为圆O与椭圆。在第一象限内的公共点，

则5呻L;闺司-XP=；X2石./=1,故xp=@,代入圆方程可得篇+说=3,所以%=2四,故点p

2233

、

西2匹

的坐标为■,故D正确;

7

将点P的坐标［亭，孚代入椭圆方程可得—+J=1,又/=/+°2=62+3,解得。=2力=1,

故椭圆C的长轴长为4,短轴长为2,故A不正确，B正确；

则椭圆C的离心率为e=£=走，故C不正确.

a2

故选：BD.

题型八：利用第一定义求解轨迹

34.（2024.安徽.二模）已知定点4（0,2）,3（0,-2）,C（3,2）,以C为一个焦点作过A,3两点的椭圆，则

椭圆的另一个焦点月的轨迹方程是.

【答案】/-f=1（J<-1）

【解析】A8在以C尸为焦点的椭圆上，

：.\AC\+\AF\=\BC\+\BF\,

.-.|AF|-|BF|=|BC|-\AC\=A/32+42-A/32+02=2,

则可得尸的轨迹为以AB为焦点的双曲线的下支,

22

设双曲线方程为专一・=l(yV-a),

ab

则可得2。=2,即a=l,c=2,,\b2=c2-a2=3,

尤2

则焦点F的轨迹方程是y2-y=l(y<-1).

故答案为：/-y=l(y<-l).

35.已知”(-2,0),尸是圆N:x2-4x+y2-32=0上一动点，线段的垂直平分线交NP于点。，则动点

Q的轨迹方程为.

【答案】—+^=1

95

【解析】由题意，可知圆N的标准方程为2)2+寸=36,圆心为N(2,0),半径为6.

••・线段的垂直平分线交NP于点。，如图，

.•・31=31,

.-.\QM\+\QN\=\QP\+\QN\=\PN\^6>\MN\^4,

.・•点。的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，

a=3,c=2,b=yjcr—c~=\[5，

22

•••其轨迹方程为土+上=1.

95

36.(2024•高三.广东揭阳•期中)设A,8两点的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线40、相交于点M,

且它们的斜率之积是T，则点M的轨迹方程是.

22

【答案】志+fr】("±5)

【解析】设点M的坐标为(x,y),点A的坐标是(-5,0),

所以直线AM的斜率左.=亲(》二-5).

同理，直线8河的斜率心”=三(彳片5).

X-J

22

由已知，有三乂三=-1。2±5),化简，得点〃的轨迹方程为工+±=i(xw±5).

x+5尤-5710025v)

所以点河的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.

22

故答案为：-^―+—=1±5)

10025'7

37.若VABC的两个顶点3(0,-3),C(0,3),周长为16,则第三个顶点A的轨迹方程是.

【答案】乙+土=l(x*0)

2516'7

【解析】因为VABC的两个顶点3(。，-3),C(0,3),所以忸C|=6,

因为三角形周长为16,B[J|AS|+|AC|+|BC|=16,

所以|AB|+|AC|=10>|3C|=6,

由椭圆的定义：动点A到定点8(0,-3),C(0,3)两点的距离之和等于定值10,且距离之和大于两定点间的

距离，

所以点A的轨迹是以3(0,-3),C(0,3)为焦点，24=10的椭圆，

所以c=3，。=5，I)=yja2—c2=-\/52-32=4，

22

可得