中职数学一轮复习：空间点、线、面间的位置关系（含答案）

9.1空间点、线、面间的位置关系

【考点梳理】

i.平面的基本性质

（1）公理1：如果一条直线上的瓯直在一个平面内，那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平

面内或直线在平面内.

（2）公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理2的推论如下：

①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面.

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.它的作用是

可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题.

2.空间两条直线的位置关系

f[相交直线：同一个平面内，有且只有

±h面直线《------

（1）位置关系的分类八〜〔平行直线：同一个平面内，.（一个公共点、没有公共点、没

、异面直线：不同在任何一个平面内，.

有公共点）

（2）异面直线

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要

以辅助平面作为衬托，以加强直观性.

③异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。作直线，〃a,b'//b,把d与"所成的

锐角（或直角）叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.异面直线所成角的范围是（0,j]•若两条异面直线

所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直.

3.平行公理

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线的传递性）.它给出了判断空间两条直线平行的

依据.

4.等角定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

考点一平面的基本性质

【例题】（1）下列结论正确的个数是（

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面;②经过两条相交直线，可以确定一个平面;

③经过两条平行直线，可以确定一个平面;④经过空间任意三点可以确定一个平面.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由“过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面”可知④错误；由三个推论可知①②③正确,

故选：C.

（2）若点。在直线6上，b在平面。内，则。，b,a之间的关系可记作（）

A.QebeaB.QebuaC.QubuaD.Qubea

【答案】B

【解析】因为点。（元素）在直线b（集合）上，所以Qe"又因为直线b（集合）在平面尸（集合）内，所以

所以故选：B.

（3）下列图形中，不一定是平面图形的是.（填序号）

①三角形；②四边形；③圆；④梯形.

【答案】②

【解析】①三角形：由平面上三个不同点首尾相连所成的图形，是平面图形；②四边形：可能为平面四边

形，也有空间四边形，不一定在一个平面上；③圆：同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合所成图

形，是平面图形；④梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是平面图形；故答案为：②.

（4）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角（)

A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定

【答案】C

【解析】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等；如果一个角的

两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，则这两个角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边

分别平行，并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补，故选：C.

（5）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为.

【答案】相交

【解析】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交，故答案为：相交.

（6）空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】如图所示，。，尸，/三个平面最多将空间分成8个区域，故选：D

【变式】（1）设。为平面，点〃任打，则下列结论正确的是（

A.过点河有且只有一条直线与a平行B.过点M没有直线与a垂直

C.过点M有且只有一个平面与a平行D.过点M有无数个平面与a平行

【答案】C

【解析】对于A,过平面外一点可作无数条直线与该平面平行，A错误；对于B,过平面外一点有且仅有一

条直线与该平面垂直，B错误；对于CD,过平面外一点有且仅有一个平面与该平面平行，C正确；D错误，

故选：C.

（2）下列说法错误的是（）

A.如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

B.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

C.两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面

D.底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥

【答案】D

【解析】由公理一得：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故A正确；由等

角定理得：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故5正确；由公理二

的推论可得：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线可以确定一个平面，故C正确；底面是正三

角形但侧棱不相等的三棱锥不是正三棱锥，故。错误，故选：D.

(3)已知直线。，b,c中，若al/b,bile,则。与c的位置关系为.

【答案】平行

【解析】因为a//b,b//c,由平行直线的传递性可得。〃c,故答案为：平行.

(4)若点。在直线b上，6在平面夕内，则。b,夕之间的关系可记作.

【答案】Qsbu/3

【解析】因为点。在直线b上，b在平面夕内，所以可记为。故答案为：Qwbu/3.

(5)下列说法中正确的是()

A.空间三点可以确定一个平面

B.梯形一定是平面图形

C.若A,B,C,。既在平面。内，又在平面夕内，则平面a和平面月重合

D.两组对边都相等的四边形是平面图形

【答案】B

【解析】对于A,当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B,梯形是一组对边

平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；对于C,当A3,C,O在一条直线上时，平面a和平面万

也可能相交，故C不正确；对于D,当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D

不正确，故选：B.

(6)不重合的两个平面可以把空间分成()部分

A.2B.3或4C.4D.2或3或4

【答案】B

【解析】当两个平面相互平行时，把空间分成3部分，当两个平面相交时，把空间分成4部分，所以不重

合的两个平面可以把空间分成3或4部分，故选：B.

考点二空间两条直线的位置关系

【例题】(1)异面直线指的是(

A.两条不相交的直线B.两条不平行的直线

C.不同在某个平面内的两条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线

【答案】D

【解析】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，故选：D.

(2)已知异面直线a,b所成的角为50,a//c,则6与c所成的锐角是度.

【答案】50

【解析】在直线6上取一点作c'〃c,如图:

所成的锐角就是异面直线a,匕所成的角，所以相交直线所成的锐角为50,所以b与c所成的锐角是50.

故答案为：50.

(3)在正方体ABCD-&BCR中，直线AtB与AD,所成角的大小为()

【答案】B

【解析】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知4皮/。。，所以乙42c是直线A8与AQ所成角，由

于三角形ACR是等边三角形，所以=即直线AB与AR所成角的大小为三，故选：B.

(4)在正四面体ABCD中，直线3C与AD所成角的大小为

71

【答案】万

D

【解析】如图所示，取3c中点E,连接AE,DE,由已知ABCD为正四面体，则.ABC,

△D3C均为正三角形，所以AELBC,DELBC,所以3C_L平面ADE,i^BCLAD,即直线BC与直线AD

77JT

的夹角为故答案为：

(5)如图，A8CZXA向GD是正方体，E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是

()

A.GH和是平行直线；G”和是相交直线

B.G8和MN是平行直线；MN和跖是相交直线

C.G”和MN是相交直线；GH和EF是异面直线

D.GH和EF是异面直线；和也是异面直线

【答案】B

【解析】'：GH//AiB,而A1BHD1C,JGHHDiC.又MNHDiC,：.GHHMN,由异面直线的定义可知，GH与

EF异面，延长EF,MN,二者可以相交，故E尸与MN为相交直线，故选：B.

(6)棱长为1的正方体中，异面直线AQ与耳G之间的距离为

【答案】1

【解析】如图所示，在正方体ABC。-A⑸G，中，可得A瓦，平面A。，，，44,平面BCC4,因为AOu

平面与Gu平面BCC4,所以4月，4。且所以4g为异面直线4。与的公垂

线，又由正方体的棱长为1,可得44=1,所以异面直线4。与B£的距离为1,故答案为：1.

【变式】(1)若直线。和匕没有公共点，则"与匕的位置关系是()

A.相交B.平行C.异面D.平行或异面

【答案】D

【解析】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.

(2)直线。、6确定一个平面，则。、6的位置关系为.

【答案】平行或相交

【解析】因为直线。、匕确定一个平面，所以。、b的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交.

(3)如图，在正方体ABCO—EEWN中，现有下列四个命题：

①与即平行；②CN与2M是异面直线；

③CN与8E是异面直线;④DN与8M是异面直线.其中，真命题的序号是

【答案】②④

【解析】由图可知：①直线8M与即既不平行也不相交，故为异面直线，故不平行，错误;②直线CN与

即不平行也不相交，故为异面直线，正确；③平面CBEN为平行四边形，且CN与BE是一组对边，故

平行，错误；④直线0V与既不平行也不相交，故为异面直线，正确，故答案为：②④.

(4)在空间中，直线AB平行于直线E凡直线为异面直线，若NABC=120,则异面直线

所成角的大小为()

A.30B.60C.120D.150

【答案】B

【解析】由于AB〃EF,所以异面直线BC,所所成角为180。-120。=60。，故选：B.

(5)若正方体ABC。-ABCQI的棱长为1，则异面直线与。声之间的距离为.

【答案】1

【解析】如图:片与AB、片。均垂直，.即为两异面直线的距离，故答案为：1.

(6)已知正方体中ABC。-A4G2,E,G分别为40,GR的中点，则直线AG,CE所成角的余弦值

A.叵B叵「4A/5y/145

10,151515

【答案】C

【解析】如图所示：\'、、取的中点R连接ERCE易知AG〃Cb,则NECP(或其补角)

FB

为直线AG与CE所成角.不妨设AB=2,则=EF=屈,EC=3,由余弦定理得

cosNECF=9+5一晨迪,即直线AG与CE所成角的余弦值为述，故选：C.

2x3x751515

【方法总结】

1.判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题.解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要

熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观.如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几

何时充分借助这一模型.

2.要重视三种数学语言一文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力.在

空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，

防止出现符号“G”“U”混用的错误.

3.求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算.作图，往往过其中一条直线上一点作另外

一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成

角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所

成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的

角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是（0,I

4.证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或

者其余的点也在这个平面内.

5.证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公

共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线.

9.1空间点、线、面间的位置关系

一、选择题

1.点A在直线/上，直线/在平面a内，用符号表示，正确的是（）

A.AeZ,leaB.Ael,I生aC.Au/,luaD.Ael,lua

【答案】D

【解析】点A在直线/上，则Ae/,/在平面a内，贝ij/ua,故选：D.

2.下列说法正确的是（）

A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形一定是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面

【答案】D

【解析】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，一条直线和直线外一个点可以

确定一个平面；

C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；D正确，两条相交直线可以确定一个

平面，故选：D.

3.已知NABC两边所在直线与4413G两边所在直线分别平行，若/ABC=70。，则=

（）

A.70°B.70°或110。C.110°D.70°或20°

【答案】B

【解析】当NABC的两边与乙44G的两边的方向都相同或都向相反时，4414G=ZABC=70。；

当NABC的两边与NAAG的两边的方向是一个相同，一个相反时，

幺46=180。-ZABC=110。，故选：B.

4.空间中两个平面将空间分成的部分数为（）

A.2B.3C.4D.3或4

【答案】D

【解析】当两个平面平行时，将空间分成3部分；当两个平面相交时，将空间分成4部分，

故选：D.

5.在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要

【答案】A

【解析】“两条直线平行”能推出“这两条直线没有公共点”，满足充分性；“两条直线没有公

共点”不能推出“两条直线平行“，两条直线可能异面，不满足必要性，故"两条直线平行”是“这

两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选：A.

6.在空间四边形ABC。中，E,F,G,H分别是A8,BC,CD,的中点.则四边形

EFGH是（）

A.平行四边形B.正方形C.长方形D.菱形

【答案】A

【解析】如图，根据中位线性质可知：EH"FGAEH=FG=\BD,所以四边形EFGH是

平行四边形.

故选：A.

7.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线4，与同一平面所成的角相等，贝必，互相平行

④若直线/1,4是异面直线，则与/］，,2都相交的两条直线是异面直线•其中假命题的个数是

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行，不成立；（2）垂直于同一平面的

两条平面互相平行，不一定可能相交；（3）若直线与同一平面所成的角相等，则

互相平行，可能相交；（4）若直线1是异面直线，则与九/：都相交的两条直线是异面直

线，不一定，故选D.

8.已知直线6与平面a,满足。〃a,6〃a,则。与匕的位置关系是（）

A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交

【答案】D

【解析】如图，在长方体中，a//a,b//a,。与b相交，b'■a,则。与"异面，b"a,则a

与平行，故。与。的位置关系有：平行、异面或相交,故选：D

9.在正方体ABC。-A4G，中，直线4B与AR所成角的大小为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知AB//。。，所以/ARC是直线A8与

7T

A2所成角，由于三角形AC，是等边三角形，所以=即直线4B与AA所成角

的大小为三，故选：B.

\---------------------71G

10.空间四边形ABC。的对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CZ）的中点，MN=7,

则异面直线AC和3。所成的角等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】取BC的中点P,连接MP,NP,则MP〃AC且MP=^AC=5,

NPHBD旦NP=：BD=3,故NMPN或其补角即为异面直线AC和8。所成的角，由余弦定

MP+Np2MN2

理可知，cosZMPN='-=_1,而NMPN为三角形内角，故NMPN=120。,

2MPNP2

故异面直线AC和8。所成的角为60。，故选：B.

二、填空题

11.两个平面的位置关系有.

【答案】相交和平行

【解析】两个平面的位置关系有相交和平行两种，故答案为：相交和平行.

12.在空间内，如果两条直线“和6没有公共点，那么。与6的位置关系是.

【答案】异面或平行

【解析】如果两条直线。和6没有公共点，那么。与6的位置关系是异面或平行，故答案为:

异面或平行.

13.一条直线与一个平面的位置关系有.

【答案】直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行

【解析】一条直线与一个平面的位置关系有：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面

平行，故答案为：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行.

14.如图，在长方体ABCD-EFG”中，M,N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD,

CD,中，与直线是异面直线的共有条.

【答案】2

【解析】因为MN//CD,与CQ共面，由异面直线的判定定理可得：直线A。，BE均与

异面，故答案为：2.

15.如图，在棱长为1的正方体"CD-ABCi"中，异面直线A片与8G所成角的大小

为.

【答案】60°

【解析】连接DC”由正方体的结构特征知：DCJ/AB,,：.DC,与Bq

所成角即为异面直线A片与2a所成角，又△8OG为等边三角形，DG与BG所成角60。,

即异面直线A耳与2C所成角为60。，故答案为：60°.

16.在长方体ABC。一A,。。/中，若A8=3,BC=4,AAi=2,则异面直线8/8与。C之间

的距离为.

【答案】4

【解析】由长方体的性质可得8C是异面直线81与。C的公垂线，所以异面直线BiB与DC

之间的距离为BC=4,故答案为：4.

17.在空间四边形48CD中，点、E,F,G,X分别为A3,BC,CD,ZM的中点，^AC=BD,

AC±BD,则四边形EFGH的形状是.

【答案】正方形

【解析】因为E、P、G、H分别是48、2。、8、。4的中点，所以EH//BD,FGUBD豆

EH=FG=",所以四边形EFG”为平行四边形，同理所=HG=4£且AC=BD,所以

22

四边形EFG8为菱形，又因为ACLBD,HG//AC,EH//BD,所以所以四边

形EFGH为正方形,故答案为：正方形.

18.如图，空间四边形ABC。的对角线AC=8,BD=6,M、N分别为A3、CD的中点，并

且异面直线AC与8。所成的角为90。，则MN=.

54^----Ac-yO

【答案】5

【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,则BD//PM,AC//PN,：.ZMPN

---------vc\

即为异面直线AC与2。所成的角，.,•NMPN=90。，PN=；AC=4,PM=』BD=3,：.MN

=5,故答案为：5.

19.如图，已知正方体ABCD-AZ'C力'

(1)哪些棱所在直线与直线24是异面直线？

(2)直线R4'和CC’和的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线44,垂直？

【答案】⑴棱A。、DC、CC、DD\DC、夕C所在直线分别与直线是异面直线；(2)45°；

⑶直线A3、BC、CD、DA,A'B\B'C\CD',分别与直线AA唾直.

【解析】解：(1)由异面直线的定义可知，棱A。、DC、CC、DD\DC、夕C所在直线分别

与直线34是异面直线；

⑵由88〃CC可知，方4为异面直线24与CC的夹角，ZB'BA'=45°,所以直线区今和

CC的夹角为45。；

(3)直线AB、BC、CD、DA.A'B\B'C\CD'、分别与直线AV垂直.

20.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AB>CD,S是梯形ABC。所在平面外一点，画出平

面SBC和平面SAD的交线.

【答案】作图见解析

【解析】解：分别延长AD和3C,记ADBC=P,连接SP,则S尸即为所求的交线.

21.如图，已知A是平面BCD外一点，满足AC=3D,M,N,P,。分别是BC,CD,D4,A3

的中点.求证：QN1.PM.

【答案】证明见解析

【解析】证明：在「ABC中，因为。是A3