中职数学一轮复习：空间几何体的表面积和体积（含答案）

9.4空间几何体的表面积和体积

【考点梳理】

1.棱柱、棱锥的概念

(1)棱柱：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相壬任，由这些

面所围成的多面体叫做棱柱.(注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧

棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱).

(2)棱锥：有•个面是多边形，其余各面都是有•个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

(注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正

棱锥).

2.棱柱、棱锥的性质

(1)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相

邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形.

(2)正棱锥的性质：侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形;棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个

直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三兔叠；斜高、侧棱及底面边长的一

半也构成一个直角三角形;侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直免

三角形.

3.圆柱、圆锥

(1)圆柱、圆锥的概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一

周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥.

(2)圆柱、圆锥的性质：圆柱、圆锥的轴截面分别是矩形、等腰三角形;平行于底面的截面都是圆.

4.球

(1)球面与球的概念：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半

圆的圆心叫做球的球心.

(2)球的截面性质：球心和截面圆心的连线垂直王截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径

r的关系为d—\]R2—p.

5.表面积、体积

（1）柱体、锥体的表面积

①直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧=。瓦S正棱锥侧=（其中C为底面周长/为高，h'为斜高）.

②圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧=生红，S圆锥侧=以（其中r为底面半径，/为母线长）.

③柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和,锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和.

（2）柱体、锥体的体积

①棱柱、棱锥的体积：V棱柱=5历，V棱锥（其中S为底面积，/7为高）.

②圆柱、圆锥的体积：V圆柱V圆锥=5/12〃（其中r为底面圆的半径，/?为高）.

（3）球的表面积与体积：①半径为R的球的表面积S球=4RR2.②半径为R的球的体积丫球=争TR.

考点一空间几何体的面积

【例题】（1）已知某圆柱体的底面半径为2,高为3,则该圆柱体的侧面的面积为（）

3兀B.6C.6兀D.1271

【答案】D

【解析】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为2万x2x3=12万，故选：D.

（2）若一个正方体的体对角线长为。，则这个正方体的全面积为（）

A.2aB.20aC.2扃:D.3亿:

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为X,则=BPX2=^a2,所以正方体的全面积为6元?==2/,故选:

（3）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a,则球的表面积是（)

A.必兀〃25B.43兀。3C.Tia2D.37ta2

2

【答案】D

【解析】正方体的对角线是球的直径，所以2R=耳，则尺=立〃，所以球的表面积S=4兀笈=37Kz2,故

2

选：D.

(4)若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为&,则该圆锥的侧面积为()

A.兀B.宿C.2兀D.2亚71

【答案】B

【解析】因为圆锥的轴截面是直角边长为力的等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为下，底面直径长为2,

半径为1,则此圆锥的侧面积为乃xlx应=昼，故选：B.

(5)半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球

的表面积为()

A.100B.400C.100万D.400万

【答案】D

A-jrA

【解析】设大金属球的半径为,，则三x23xl25=^x/nr=io,所以其表面积为4"=400%,故选:

D.

(6)三棱锥尸-ABC中，已知PAP8,PC两两垂直，S.PA=l,PB=PC=2,则三棱锥P—ABC的外接球

的表面积为-

【答案】9兀

［解析】以线段PAPB,PC为相邻的三条棱为长方体，连接AB,BC,AC,即为三棱锥P-ABC,V如图所示,

长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，，则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R,则

(27?)2=|PA|2+\PBf+\PCf=l2+22+22=9,解得R=t，则S=471改=4TIX；=9n,故答案为:9兀.

BD

【变式】(1)已知长方体的长、宽、高分别为5,4,3,那么该长方体的表面积为()

A.20B.47C.60D.94

【答案】D

【解析】长方体的长、宽、高分别为5,4,3,所以该长方体的表面积为(5x4+5x3+4x3)x2=94,故选：

D.

(2)用长为4,宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为()

A.8万B.16万C.247rD.327r

【答案】B

【解析】若以边长4为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积6=2乃x2x4=16万，若以边长2为轴，旋转成一个圆

柱，贝I］侧面积S=2%x4x2=16;r,故选：B.

(3)正方体的外接球与内切球的表面积之比是()

A.1B.3C.3A/3D.'

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为。，则其外接球的半径为34,内切球的半径为所以正方体的外接球与内

22

4芦T

切球的表面积之比是—(2/=3,故选：B.

(4)已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为()

A.3兀B.兀C.-D.—

24

【答案】D

【解析】由圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形可知：圆锥的底面圆半径/=),母线长/=1,所以圆锥

3

的表面积为5=兀产+兀〃二:兀，故选：D.

4

(5)长、宽、高分别为1,2,3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

【答案】14%

【解析】设球的半径为R,由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则2R=J12+22+32=JS，故该球

的表面积为$=4万氏2=%（2尺）2=14万，故答案为：141.

（6）已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比

为.

【答案】3:2

【解析】设球的半径为R,由题意得圆柱的底面半径为尺高为2R,...圆柱的表面积为：S]=2"Rx2R+27rR2

=6兀吟球的表面积为：S2=4兀R2,所以圆柱的表面积与球的表面积之比为：=故答案为：3：2.

4次2

考点二空间几何体的体积

【例题】（1）已知某圆柱的高为5,底面半径为百，则该圆柱的体积为（）

A.6万B.9%

C.127rD.157r

【答案】D

【解析】由题意得该圆柱的体积为万•（君了J=15"，故选：D.

（2）若一个圆锥的底面半径为1,母线长为2甘，则圆锥的体积是（）

A.?B.C.色兀D.3拒兀

【答案】C

【解析】因为圆锥的底面半径为1,母线长为2币,所以圆锥的高为/z=J（2/7）2-F=3角,所以圆锥的体

积为：Sh=；x兀xfx3.=6兀，故选：C.

（3）如图所示，正方体A3CZ）-ABIGA的棱长为1，则三棱锥。-ACQ的体积是（）

£

C.D.1

2

【答案】A

【解析】三棱锥D-ACD]的体积等于三棱锥Di-ACD的体积，三棱锥Di-ACD的底面ACO是直角边长为1

的等腰直角三角形，高。力=1,三棱锥。-AC/力的体积为丫=：xgxlxlxl=J,故选：A.

326

(4)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为。，b,c,则这个三棱锥的体积是.

abc

【答案】6

【解析】PB=b,PC=c且尸A尸氏PC两两互相垂直,

''-s^AB=^PA-pB=^ab>XPC1PA,PC工PB,PAPBu平面R4B，24np8=尸，.•.尸C_L平面

1cc_117abc辽生一,、rabc

-VTZP-ABC=TVZC-PAB=~S^PAB，PC=~X~abXC=~^故答案为：•

j32oo

(5)已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则该圆柱的外接球的体积为()

百兀

158岳r20小7T64垃兀

633-3~

【答案】B

【解析】如图，。为外接球球心，母线8囱长度为2,底面半径厂。23=1,易得外接球半径

二外接球体积丫=缶，故选：B.

3

(6)已知一个圆柱的表面积等于侧面积的万，且其轴截面(过其轴的一个平面与该圆柱形成的截面)的周

长为16,则该圆柱的体积为.

【答案】16万

2/z+4r=16心

I/z=4

【解析】令圆柱高为力，底面半径为小则。。23。。，，可得c，所以圆柱的体积为

271rn+17ir=—x2兀rh=371rh\r=2

[2i

V=^-X22X4=16^,故答案为：16万.

【变式】（1）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4兀，那么圆柱的体积等于（）

7171

A.—B.—C.兀D.27t

23

【答案】D

【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面半径为r,则高为2r,S恻=2ux2r=4口2=4n,则r=1,

故圆柱的体积为兀r2><2厂=2兀，故选：D.

（2）若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（）

A.8倍B.4倍C.2四倍D.2倍

【答案】C

【解析】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的0倍，则球体积扩大为原来

的2忘倍，故选：C.

（3）已知一个圆锥的母线长为6,侧面积为18兀，则此圆锥的体积为（）

A.9兀B.12兀C.9后D.12扃

【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径为,，高为h,则兀x6xr=187i,得r=3,所以圆锥的高为川=,6?-3?=3。，

因此该圆锥的体积丫=："2〃=；兀x32x3』=9岳，故选：C.

（4）一平面截一球得到直径为2J豆机的圆面，球心到这个平面的距离是2s/,则该球的体积是（）

A.12/rcm3B.36兀cm3C.64痛乃cm3D.lOS/rcm3

【答案】B

【解析】设球心为。，截面圆心为。一连接。Q,则。Q垂直于截面圆如图所示,

在R〃\OO]A中，OlA=y[5cm,。。1=2cm,.•.球的半径R=04=+（占J=3。”，.•.球的体积

4。°

V=-7Tx33=36^cm3,故选：B.

3

（5）在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2万，则该圆锥的体积为.

乖＞兀

【答案】丁

【解析】设圆锥每线长为/,底面半径为厂=1,则圆锥侧面展开图的面积为2利心1=2万，得/=2,所以圆

2

锥的体积为V=—7ir2J/2一/=,故答案为："兀.

3333

（6）“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积

与球的体积之比为（）

3厂兀

A.2B.—C.D.—

23

【答案】B

【解析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设球的半径为R,则圆柱的体积为：TIR2.2R=2R3n,

42R3n_3

球的体积为§兀炉，所以圆柱的体积与球的体积之比为4晟=5,故选：B.

【方法总结】

1.几何体的展开与折叠

（1）几何体的表面积，除球以外，一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图

形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法.（2）多面体的展开图①直棱柱的侧

面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台

的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形.（3）旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图

是矩形，矩形的长（或宽）是底面圆周长，宽（或长）是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半

径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆

台的上、下底面周长.

2.空间几何体的表面积的计算方法

有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用

的基本方法.（1）计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积，可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、

正棱锥、正棱台也可直接利用公式；（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平

面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；（3）组合体的表面积应注意重合部分的处理.

3.空间几何体的体积的计算方法（1）计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高,

应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.（2）注意求体积的一些特

殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法（如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面）等，它们是

计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.（3）利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平

面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不

变性解决问题.

9.4空间几何体的表面积和体积

一、选择题

i.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥C.球体D.多面体

【答案】C

【解析】对于A：圆柱的轴截面是矩形，与上下底面不平行的平面截得的截面是椭圆，故A

不符合题意；对于B；由于圆锥的轴截面是等腰三角形，故B不符合题意；对于C：用任意

的平面去截球，得到的截面均为圆面，可得C符合题意；对于D：多面体无论如何截得的

平面都不是圆，D不符合题意，故选：C.

2.已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（）

A.6兀B.4兀C.2兀D.兀

【答案】C

【解析】圆柱体积为兀xl?x2=2兀，故选：C.

3.正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的（）

A.2倍B.12倍C.18倍D.36倍

【答案】D

【解析】设正方体棱长为。，则其表面积为6〃，故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其

表面积为6x36/,扩大到原来的36倍，故选：D.

4.一个棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积和体积之比值为

（）

3广广

A.2B.—C.\/3D.2v3

【答案】D

【解析】由题意知正方体外接球的直径为JF+Y+F=宜,所以

S球=4/13_3£

%4%R3R是，故选：D.

32

5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为百，则这个圆锥的表面积是（)

A.3兀B.3后C.6兀D.9兀

【答案】A

【解析】设圆锥的底面半径为X,则高为瓜，母线长为2x,；x2xx6x=6nx=l,所

以圆锥的底面半径为1,高为母线长为2,所以圆锥的表面积为71x12+71x1x2=371,故

6.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2,圆柱的底

面半径为1,高为3,则该几何体的表面积为（）

A.267rD.18%

【答案】D

【解析】由题意得，球的半径尺=2,圆柱的底面半径r=1,高力=3,则该几何体的表面积

为S=2%A?+乃7?2+2%〃2=8万+4万+2;rxlx3=18;r,故选：D.

7.若圆锥的表面积为3兀，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论簿误的为（）

A.圆锥的底面半径为1B.圆锥的母线长为2

C.圆锥的体积为乎兀D.圆锥的高为近

【答案】C

=lur

【解析】设圆锥底面圆半径为r，母线长为/,则有,2。，解得厂=1,/=2,圆锥的

\jirl+Ttr=3兀

高h=J/2一户二6,

圆锥的体积^=』〃％=立"，即选项A,B,D都正确，C不正确，故选：C.

33

8.某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比

值为（）

4

A.2B.一cD

3-1-i

【答案】C

【解析】设圆柱得底面半径为R，则高为2R,球的半径为R,所以圆柱体表面积

S[=2万7?2+2TTR-27?=,

球得表面积邑=4万玄，所以圆柱体表面积与球体表面积的比值为鬻■=1，故选：C.

9.圆柱内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16兀,

则球。的体积为（）

32K647iyc

A.-----B.-----C.16兀D.12兀

33

【答案】A

【解析】设球。的半径为R,则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,所以兀氏2.2尺=16兀,

解得：R=2,

43?

则球。的体积为一欣3=—兀，故选：A.

33

10.已知尸-ABC为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（）

A.6兀B.12兀C.24兀D.36兀

【答案】C

【解析】将正四面体p-ABC补形成正方体如下图所示，正四面体的棱长为4,所以正方体

的边长为4x1=20,所以正方体的对角线长为20x6=2"，所以正方体的外接球,

2

也即正四面体的外接球的半径为迷，所以外接球的表面积为47tx（而『=24兀，故选：c.

二、填空题

11.若一个长方体的长、宽，高分别为4,2,3,则这个长方体外接球的表面积为.

【答案】29%

【解析】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以(2^)2=42+22+32=29,所

以T

所以外接球的表面积S=4%R2=29万，故答案为：29%.

12.已知一个圆锥的底面半径为6,其侧面积39万，则该圆锥的体积为

【答案】30下

【解析】由圆锥侧面积S恻="〃=6M=39%，解得母线/=三，所以圆锥的高

圆锥体积V=gs底%=；万/.〃=^万x62x|=30万，故答案为：30万.

13.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4万的正方形，则这个圆柱的表面积和体积分别

为.

【答案】8兀+16兀2,16K2

【解析】因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4兀的正方形，所以该圆柱的底面周长和高力均

47r

为4兀，,该圆柱的底面半径厂=二=2,.•.表面积5=2兀泌+2兀/=16兀2+8兀，体积

2兀

V=nr2h=16TT2,故答案为：8TT+16K2,16兀2.

14.已知球内接正方体的表面积为6,那么球体积等于.

【答案】巫

2

【解析】设正方体的边长为。，则正方体的表面积S=6/=6,解得：〃=1,设正方体的外

接球的半径为厂，则2r=有，所以r=¥，所以球体积丫=3b3=3"|等)=与,故答

案为：—.

2

15.已知一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为。的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥

的体积之比为.

【答案】2君:1

【解析】由题意得：•圆柱的轴截面是边长为。的正方形，，圆柱的底面半径为厂=1,母

线长/=a,故圆柱的体积为丫=万产/=乃］£|。=；万。3,又•.•圆锥的轴截面是边长为。的正

三角形，，圆锥的底面半径为『=二，母线长/=a,高线为川二立.，故圆锥的体积为

22

2

Vo=-7rrh=-,——Q=~~7l/，故圆柱和圆锥的体积比为V:%=2A/§:1,故答案为:

。33⑴2240

2A/3:1.

16.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的一

倍.

【答案】2

【解析】设圆柱的高为〃，底面半径为『，则体积为“%,体积扩大为原来的4倍，则扩大

后的体积为4兀产工因为高不变，故体积4口2力=兀（2r）2/7,即底面半径扩大为原来的2倍,

原来侧面积为2兀力，扩大后的圆柱侧面积为2r2泌=4兀4，故侧面积扩大为原来的2倍，

故答案为：2.

17.己知点P,A,B,C在同一个球的球表面上，PAmABC,AB1AC,抬=6，

BC=6,则该球的表面积为.

【答案】8万

【解析】由于PAJ_平面ABC,所以PAJ_AB,PA_LAC,而AB_LAC,所以ARAB,AC是

长方体一个顶点引出的三条棱，设球的半径为尺，贝IJ（2R）2=AP2+A32+AC2=5+3=8,所

以尺=血，所以球的表面积为4万我=8不，故答案为：8万.

18.已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两

互相垂直的面都相切，若墙角顶点到球面的点的最远距离6+1,则球的体积是.

【答案】k

【解析】由已知可得，球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，则球心到墙角顶点的距

离为正方体的对角线，即用，又墙角顶点到球面的点的最远距离g+1,则辰+R=g+1,

4〜47r4TT

解得R=l,所以球的体积是:•加丁=芋，故答案为：子.

三、解答题

19.（1）已知球的表面积为64%，求它的体积;

（2）已知球的体积为不-乃，求它的表面积.

【答案】（1）—/r；（2）100%.

4

【解析】解：（1）设球的半径为小则由已知得4犷2=64兀，r=4,所以球的体积：V=-x^xr?

256

（2）设球的半径为H,由已知得；旅3=岑加，所以R=5,所以球的表面积为：S=4TTR2

=4兀乂52=100%.

20.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是也、粗、瓜,

（1）求这个长方体的对角线长.

（2）求这个长方体的的体积

【答案】（1）胡；（2）76

【解析】解：（1）设此长方体的棱长分别为a,