2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第八节　概率、统计中的创新性问题

第八节概率、统计中的创新性问题高中总复习·数学重点解读

概率统计中的创新性问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类

问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各

数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问

题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.目录CONTENTS考点·分类突破01.课时·跟踪检测02.PART01考点·分类突破精选考点|课堂演练

概率、统计与函数的交汇问题（师生共研过关）

（2025·怀化一模）现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规

定两名运动员谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元.假设

每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互

独立.在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止，

奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下

去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金.

解题技法

概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，

利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二

次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以

下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量

的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所

以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，

二是实际问题中变量自身范围的限制.

某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的

120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表：入住房间的类型单人间双人间三人间人数366024（1）若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随

机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入

住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

ξ0123P​

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（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2

人和入住多人间的m（m＞2且m∈N*）人组成一组，负责人从某组中任

选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组被标为Ⅰ，否则该

组被标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.①试用含m的代数式表示p；②若一共询问了5组，用g（p）表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g

（p）的最大值及此时m的值.

概率、统计与数列的交汇问题（师生共研过关）

为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明

每次试验成功的概率为p（0＜p＜1），且每次试验相互独立.

X012345P​

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解题技法

概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递

推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的

“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；

（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问

题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为

等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用

相关公式.

概率中的证明问题（师生共研过关）

最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验成功

的概率为p（0＜p＜1）.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则

试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为试验结束

时所进行的试验次数，X的数学期望为E（X）.

解：

证明：由题意，X＝1，2，3，…，8，故P（X＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，…，7，P（X＝8）＝（1－

p）7.分布列如下表所示：X1234Ppp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3X5678Pp（1－p）4p（1－p）5p（1－p）6（1－p）7

（2）某公司意向投资该产品，若p＝0.2，每次试验的成本为a（a＞0）

元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由.

解题技法

解决概率中的证明问题的关键是理解随机事件中互斥、对立、独立事

件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的意义及性质，掌握随

机变量的分布列、均值、方差的计算公式，掌握二项分布、超几何分布、

正态分布概率模型的特点及求解规律.会灵活运用上述定义、性质及公式

进行逻辑推理、数学运算，进而推出要证结论成立.

（2024·潍坊一模）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称

（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切

可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1

号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二

维随机变量.①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表

示）；

PART02课时·跟踪检测关键能力|课后练习

（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；

12345678910111213141516171819202022232425

（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n（n∈N*，n≤33）个

球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100－3n个.试问n为

何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

2.

（2024·金丽衢十二校第二次联考）某工厂生产某种元件，其质量按测

试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种

元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数

（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件

也为合格品的概率；

（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；

（2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an.①求an；②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.

4.

（2025·菏泽模拟）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运

会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛

与决赛，初赛