五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题20 概率与随机变量及分布列7种常见考法归类（全国）（解析版）

专题20概率与随机变量及分布列

7种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01古典概型

2024·全国甲卷2023·全国甲卷2023·全国乙卷

2023·北京2022·全国甲卷2022·全国乙卷

2022·新高考全国Ⅰ卷2022·上海

2021·全国甲卷2021·全国甲卷

知识概率考点相互独立事件

1021.概率部分对古典概型、相互

（5年5考）2025·上海2024·新课标Ⅱ卷2023·天津独立事件、条件概率与全概率

2023·新课标Ⅱ卷2022·全国乙卷

公式均有考查，且频率较为均

2021·新高考全国Ⅰ卷

匀，说明这些基础概率模型是

考点03条件概率与全概率公式

2025·北京2025·天津2024·天津2024·上海考查重点。

2023·全国甲卷2022·天津2022·新高考全国Ⅱ卷2.随机变量及分布列部分，求

考点04求离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值是高频

2025·全国一卷2025·上海2024·北京考点，二项分布、正态分布也

2024·新课标Ⅰ卷2023·上海2022·浙江时有涉及，体现了对离散型随

北京全国甲卷浙江

2022·2022·2021·机变量相关知识的重视，尤其

2021·新高考全国Ⅰ卷2021·北京

是均值作为反映随机变量取值

知识随机变

2考点05二项分布

量及分布列平均水平的重要指标，是考查

2025·全国二卷

（5年5考）核心。

考点06正态分布

2025·天津2024·新课标Ⅰ卷

2022·新高考全国Ⅱ卷2021·新高考全国Ⅱ卷

考点07概率与其他知识的综合

2023·新课标Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷

考点01古典概型

1．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随

机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

2

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C46件，

11

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C2C24，

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为.

63

故选：D.

2．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题

准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

5211

A．B．C．D．

6323

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

乙甲123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，

305

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P.

366

故选：A

3．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出

场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（）

1111

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图，

由树状图可得，出场次序共有24种，

其中符合题意的出场次序共有8种，

81

故所求概率P=；

243

解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意；

4

基本事件总数显然是A424，

81

根据古典概型的计算公式，所求概率为.

243

故选：C

4．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A．B．C．D．

5353

【答案】C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】[方法一]：【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字

62

之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为.

155

[方法二]：有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率

122

为.

305

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率

为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

2

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C721种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，

2172

故所求概率P.

213

故选：D.

6．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010，

共6种方法，

6

故2个0不相邻的概率为=0.6，

10

故选：C.

7．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A．B．C．D．

3535

【答案】C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

12

若2个0相邻，则有C55种排法，若2个0不相邻，则有C510种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为.

5103

故选：C.

8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取

3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n

之差的绝对值不大于1的概率为．

2

7

【答案】

15

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则

ab32cab3，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

3

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A6120种，

abcab1

设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则，

322

故2c(ab)3，故32c(ab)3，

故ab32cab3，

若c1，则ab5，则a,b为：2,3,3,2，故有2种，

若c2，则1ab7，则a,b为：1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，

3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，

当c3，则3ab9，则a,b为：

1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，

2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，

故有16种，

当c4，则5ab11，同理有16种，

当c5，则7ab13，同理有10种，

当c6，则9ab15，同理有2种，

1

共m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为22101656，

2

567

故所求概率为.

12015

7

故答案为：

15

9．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为；

3

【答案】

7

【分析】

由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．

【详解】

解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方

112121

法共有C1C3C4C1C3C4种，

4

而所有的抽取方法共有C8种，

112121

C1C3C4C1C3C4303

故每一类都被抽到的概率为4＝＝，

C8707

3

故答案为：．

7

10．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率

为．

6

【答案】.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．

4

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有nC870个结果，这4个点在同一个平面的有m6612个，

m126

故所求概率P．

n7035

6

故答案为：．

35

11．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为．

3

【答案】/0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，

3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P.

10

3

故答案为：.

10

3

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C510

3

甲、乙都入选的方法数为C13，所以甲、乙都入选的概率P

310

3

故答案为：

10

12．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变

化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下

跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段价格变化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用频率估计概率．

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天

中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不

变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

【答案】(1)0.4

(2)0.168

(3)不变

【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算；

（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；

（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.

【详解】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个，也就是有16天是上涨的，

16

根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：0.4

40

（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，

0.25，

221

于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C40.4C20.350.250.168

（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的

有9次，下跌的有2次，

因此估计第41次不变的概率最大.

考点02相互独立事件

13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的

随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

11561

【详解】P(甲)，P(乙)，P(丙)，P(丁)，，

6636366

1

P(甲丙)0P(甲)P(丙)，P(甲丁)P(甲)P(丁)，

36

1

P(乙丙)P(乙)P(丙)，P(丙丁)0P(丁)P(丙)，

36

故选：B

【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)P(AB)是否成立

1

14．（2025·上海·高考真题）己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率

2

1

为P(B)，则事件AB发生的概率P(AB)为（）

2

111

A．B．C．D．0

842

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求PAB.

111

【详解】因为A,B相互独立，故PABPAPB，

224

故选：B.

15．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个

箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，

则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率

为．

3

【答案】0.05/0.6

5

【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；

根据古典概型的概率公式可求出第二个空．

【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，

所以甲盒中黑球个数为40%5n2n，白球个数为3n；

乙盒中黑球个数为25%4nn，白球个数为3n；

丙盒中黑球个数为50%6n3n，白球个数为3n；

记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，

PA0.40.250.50.05；

记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，

黑球总共有2nn3n6n个，白球共有9n个，

9n3

所以，PB．

15n5

3

故答案为：0.05；．

5

16．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收

到1的概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率

为1.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每

个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传

输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1)(1)2

B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为(1)2

C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1)2(1)3

D．当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

【答案】ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求

出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1

接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1)(1)(1)(1)(1)2，A正确；

对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1)(1)(1)2，B正确；

对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件

和，

2232

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C3(1)(1)(1)(12)，C错误；

对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P(1)2(12)，

单次传输发送0，则译码为0的概率P1，而00.5，

因此PP(1)2(12)(1)(1)(12)0，即PP，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，

相互独立事件的积是解题的关键.

17．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知

该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3p2p10．记该棋手连胜两盘的概率为p，

则（）

A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【答案】D

【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比

赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，

所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确.

解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为1，

2

则此时连胜两盘的概率为p甲

11

则p甲(1p)pppp(1p)(1p)pppp(1p)

22132132312312

p1(p2p3)2p1p2p3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，

则p乙(1p1)p2p3p1p2(1p3)p2(p1p3)2p1p2p3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙

则p丙(1p1)p3p2p1p3(1p2)p3(p1p2)2p1p2p3

则p甲p乙p1(p2p3)2p1p2p3p2(p1p3)2p1p2p3p1p2p30

p乙p丙p2(p1p3)2p1p2p3p3(p1p2)2p1p2p3p2p3p10

即p甲p乙，p乙p丙，

则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

18．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则

如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至

少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中

得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为

p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．

(1)若p0.4，q0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)假设0pq，

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【答案】(1)0.686

(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；

【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

3333

（2）（i）首先各自计算出P甲1(1p)q，P乙1(1q)p，再作差因式分解即可判断；(ii)首先

得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.

【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中

1次，

比赛成绩不少于5分的概率P10.6310.530.686.

33

（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲1(1p)q，

33

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙1(1q)p，

0pq，

3333

P甲P乙q(qpq)p(ppq)

2222

(qp)qpqp(pq)(ppq)(qpq)(ppq)(qpq)

(pq)3p2q23p2q3pq2

3pq(pq)(pqpq)3pq(pq)[(1p)(1q)1]0，

P甲P乙，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，

333

P(X0)(1p)1(1p)(1q)，

32

PX511pC1q1q，

3

322

P(X10)1(1p)C3q(1q)，

33

P(X15)1(1p)q，

332

E(X)151(1p)q15p3p3pq

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，

同理E(Y)15q33q23qp

E(X)E(Y)15[pq(pq)(pq)3pq(pq)]

15(pq)pq(pq3)，

因为0pq，则pq0，pq31130，

则(pq)pq(pq3)0，

应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大

小关系，最后得到结论.

考点03条件概率与全概率公式

19．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的

同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰

的概率为（）

A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4

【答案】A

【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.

【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4，

记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B，

则P(A)0.5,P(AB)0.4，

P(AB)0.4

所以P(B∣A)0.8.

P(A)0.5

故选:A.

20．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，

分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加

每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整

地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．

3

【答案】1

52

【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.

【详解】解法一：列举法

给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,F,从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

63

则甲参加“整地做畦”的概率为：P；

105

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

其中再选择D有3种可能性：ABD,ACD,ADE，

31

故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为=.

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件M，乙选到D为事件N，

2

C43

则甲选到A的概率为PM3；

C55

1

C3

PMNC31

乙选了活动，他再选择活动的概率为5

ADPNM2

PMC42

3

C5

31

故答案为：；

52

21．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率

为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为

11

【答案】

22117

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽

到A的条件下，第二次抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,

1

43141PBC1

则PBC,P(B),PC|B221.

52512215213PB117

13

11

故答案为：；.

22117

22．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库

有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92，B题库的

正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．

【答案】0.85

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【详解】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3，

543

各占比分别为,,，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率p0.920.860.720.85．

121212

故答案为：0.85．

23．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生

该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相

互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X1的

概率及X的数学期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知

识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌

握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.

4

【答案】(1)

5

(2)0.35，EX1.55

(3)p1p2

【分析】（1）用频率估计概率即可求解；

（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其

期望；

（3）根据题设可得关于p1,p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系.

804

【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p.

1005

（2）设A为“从甲校抽取1人做对”，则PA0.8，PA0.2，

设B为“从乙校抽取1人做对”，则PB0.75，PA0.25，

设C为“恰有1人做对”，故PCPABPABPAPBPAPB0.35

依题可知，X可取0,1,2，

PX0PAB0.05，PX10.35，PX20.80.750.6，

故X的分布列如下表：

X012

P0.050.350.6

故EX10.3520.61.55.

（3）设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，

因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

1111

故PD1P(D)0.8，即p1p0.8，故p，

4141115

15

同理有，0.85p1p0.75，故p，

24226

故p1p2.

24．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈

的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标，

则连续跑4周，记合格周数为X，则期望EX

【答案】0.63.2

【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.

【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，

则PAPBPC|BPBPC|B0.50.60.50.60.6；

若至少跑11圈为运动量达标为事件D，PDPAPBPC|B0.60.50.40.8，

所以XB4,0.8，EX40.83.2；

故答案为：0.6；3.2

25．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年

龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄

位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014．

【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设A{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)1P(A)即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出．

【详解】（1）平均年龄x(50.001150.002250.012350.017450.023

550.020650.017750.006850.002)1047.9（岁）．

（2）设A“一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)”，所以

P(A)1P(A)1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89．

（3）设B“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

PB16%0.16,PC0.1%0.001,P(B|C)0.023100.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为

P(BC)P(C)P(B|C)0.0010.23

P(C|B)0.00143750.0014．

P(B)P(B)0.16

考点04求离散型随机变量的均值

567

26．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望E[X]．

0.20.30.5

【答案】6.3

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有Ex50.260.370.511.83.56.3.

故答案为：6.3.

27．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别

标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各

自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0

分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不

小于2的概率为.

1

【答案】/0.5

2

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,X3,X4，四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在

633

该轮得分的概率PX1，所以EXk1,2,3,4.

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