五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题12 数列（解答题）9种常见考法归类（全国）（原卷版）

专题12数列（解答题）9种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01等差等比数列基本量的计算

2024·上海2023·新课标Ⅰ卷

知识1等差等

2022·新高考全国Ⅱ卷

比数列基本量

2021·新高考全国Ⅱ卷2021·浙江

的计算及证明

考点02等差等比数列的证明

（5年5考）

2022·全国甲卷2022·上海2022·浙江1.等差等比数列基本量的计算是必

2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·上海考内容，要求学生熟练掌握数列的

考点03含绝对值的数列求和通项公式、前n项和公式等基础知

2023·全国乙卷识，能够运用方程思想，通过已知

条件建立关于首项、公差、公比等

考点04分组求和法

基本量的方程或方程组并求解。

2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷

2.数列求和是解答题的重点，分组

知识2数列求2021·新高考全国Ⅰ卷

求和法、裂项相消法、错位相减法

和

考点05裂项相消法求和等求和方法频繁考查，要求学生能

（5年5考）

2022·新高考全国Ⅰ卷够根据数列的通项公式特征，选择

考点06错位相减法求和合适的求和方法。

2025·全国一卷2025·天津2024·天津3.数列与其他知识的综合考查愈发

2024·全国甲卷2023·全国甲卷2021·全国乙卷常见，这不仅要求学生掌握数列本

2021·天津身的知识，还需具备良好的知识迁

移能力和综合运用能力，能够从整

考点07等差、等比数列的综合

体上把握数学知识体系。

2023·天津2022·天津

知识3数列综

合考点08数列与其他知识的综合

新课标卷上海新课标卷

（5年5考）2024·Ⅱ2023·2023·Ⅰ

考点09数列新定义

2024·新课标Ⅰ卷2024·北京2023·北京

2022·北京2021·北京

考点01等差等比数列基本量的计算

n2n

1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列an的公差为d，且d1．令bn，记Sn,Tn分别为数

an

列an,bn的前n项和．

(1)若3a23a1a3,S3T321，求an的通项公式；

(2)若bn为等差数列，且S99T9999，求d．

2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5,a2a4S4．

（1）求数列an的通项公式an；

（2）求使Snan成立的n的最小值．

3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且

a2b2a3b3b4a4．

(1)证明：a1b1；

(2)求集合kbkama1,1m500中元素个数．

9

4．（2021·浙江·高考真题）已知数列a的前n项和为S，a，且4S3S9.

nn14n1n

（1）求数列an的通项；

*

（2）设数列bn满足3bn(n4)an0(nN)，记bn的前n项和为Tn，若Tnbn对任意nN恒成立，

求实数的取值范围.

5．（2024·上海·高考真题）若fxlogax(a0,a1)．

(1)yfx过4,2，求f2x2fx的解集；

(2)存在x使得fx1、fax、fx2成等差数列，求a的取值范围．

考点02等差等比数列的证明

21

6．（2021·全国乙卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2．

Snbn

（1）证明：数列bn是等差数列;

（2）求an的通项公式．

7．（2021·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知an0,a23a1，且数列Sn是等差数

列，证明：an是等差数列.

2S

8．（2022·全国甲卷·高考真题）记S为数列a的前n项和．已知nn2a1．

nnnn

(1)证明：an是等差数列；

(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列an是等差数列：②数列Sn是等差数列；③a23a1．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

10．（2021·上海·高考真题）已知数列{an}满足an0，对任意n2，an和an1中存在一项使其为另一项与

an1的等差中项

（1）已知a15，a23，a42，求a3的所有可能取值；

（2）已知a1a4a70，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；

（3）已知数列中恰有3项为0，即arasat0，2rst，且a11，a22，求ar1as1at1的最大

值.

11．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列an的首项a11，公差d1．记an的前n项和为SnnN．

(1)若S42a2a360，求Sn；

(2)若对于每个nN，存在实数cn，使ancn,an14cn,an215cn成等比数列，求d的取值范围．

*

12．（2022·上海·高考真题）数列an对任意nN，且n2，均存在正整数i1,n1，满足

an12anai,a11,a23.

(1)求a4可能值；

(2)命题p：若a1,a2,...a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是

假，说明理由：

m*

(3)若a2m3,mN成立，求数列an的通项公式.

考点03含绝对值的数列求和

13．（2023·全国乙卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a211,S1040．

(1)求an的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Tn．

考点04分组求和法

14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an13.

(1)求an的通项公式；

(2)求数列Sn的前n项和.

为奇数

an6,n

．（新课标卷高考真题）已知a为等差数列，b，记S，Tn分别为数列a，

152023·Ⅱ·nn为偶数nn

2an,n

bn的前n项和，S432，T316．

(1)求an的通项公式；

(2)证明：当n5时，TnSn．

为奇数

an1,n,

．（新高考全国卷高考真题）已知数列a满足a1，a

162021·Ⅰ·n1n1为偶数

an2,n.

（1）记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；

（2）求an的前20项和.

考点05裂项相消法求和

Sn1

17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知a11,是公差为的等差数

an3

列．

(1)求an的通项公式；

111

(2)证明：2．

a1a2an

考点06错位相减法求和

18．（2023·全国甲卷·高考真题）设Sn为数列an的前n项和，已知a21,2Snnan．

(1)求an的通项公式；

an1

(2)求数列的前n项和Tn．

2n

aa1

19．（2025·全国一卷·高考真题）设数列a满足a3，n1n

n1nn1n(n1)

(1)证明：nan为等差数列；

2Lm

(2)设f(x)a1xa2xamx，求f(2)．

20．（2025·天津·高考真题）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a1b12,a2b21,a3b3．

(1)求an，bn的通项公式；

*

(2)nN，I0,1，有Tnp1a1b1p2a2b2...pn1an1bn1pnanbn|p1,p2,...,pn1,pnI，

（i）求证：对任意实数tTn，均有tan1bn1;

（ii）求Tn所有元素之和．

21．（2024·全国甲卷·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知4Sn3an4．

(1)求an的通项公式；

n1

(2)设bn(1)nan，求数列bn的前n项和Tn．

22．（2024·天津·高考真题）已知an为公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，且a11,S2a31．

(1)求an的通项公式及Sn；

k,nak

(2)设数列bn满足bn，其中kN*．

bn12k,aknak1

*且

（ⅰ）求证：当nak1kN,k1时，求证：bn1akbn；

Sn

（）求．

ⅱbi

i1

nan

23．（2021·全国乙卷·高考真题）设a是首项为1的等比数列，数列b满足b．已知a1，3a，9a

nnn323

成等差数列．

（1）求an和bn的通项公式；

Sn

（2）记S和Tn分别为a和b的前n项和．证明：T．

nnnn2

24．（2021·天津·高考真题）已知an是公差为2的等差数列，其前8项和为64．bn是公比大于0的等比

数列，b14,b3b248．

（I）求an和bn的通项公式；

1

*

（II）记cnb2n,nN，

bn

2

（i）证明cnc2n是等比数列；

naa

kk1*

（ii）证明222nN

k1ckc2k

考点07等差、等比数列的综合

25．（2023·天津·高考真题）已知an是等差数列，a2a516,a5a34．

2n1

求的通项公式和．

(1)anainN

i2n1

*k1k

(2)设bn是等比数列，且对任意的kN，当2n21时，则bkanbk1，

kk

（Ⅰ）当k2时，求证：21bk21；

（Ⅱ）求bn的通项公式及前n项和．

26．（2022·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1b1a2b2a3b31．

(1)求an与bn的通项公式；

(2)设an的前n项和为Sn，求证：Sn1an1bnSn1bn1Snbn；

2n

求k．

(3)ak1(1)akbk

k1

考点08数列与其他知识的综合

22

27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C:xymm0，点P15,4在C上，k为常数，0k1．按

照如下方式依次构造点Pnn2,3,...：过Pn1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn1，令Pn为Qn1关于y轴

的对称点，记Pn的坐标为xn,yn.

1

(1)若k，求x,y；

222

1k

(2)证明：数列xy是公比为的等比数列；

nn1k

(3)设Sn为PnPn1Pn2的面积，证明：对任意正整数n，SnSn1.

28．（2023·上海·高考真题）令fxlnx，取点a1,fa1过其曲线yfx作切线交y轴于0,a2，取

点a2,fa2过其作切线交y轴于0,a3，若a30则停止，以此类推，得到数列an．

(1)若正整数m≥2，证明amlnam11；

(2)若正整数m≥2，试比较am与am12大小；

(3)若正整数k3，是否存在k使得a1,a2ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试

说明理由．

29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续

投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命

中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

nn

(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi11PXi0qi,i1,2,,n，则EXiqi．记

i1i1

前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．

考点09数列新定义

30．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列，若从中删

去两项ai和ajij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列．

(1)写出所有的i,j，1ij6，使数列a1,a2,...,a6是i,j可分数列；

(2)当m3时，证明：数列a1,a2,...,a4m2是2,13可分数列；

(3)从1,2,...,4m2中任取两个数i和jij，记数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分数列的概率为Pm，证明：

1

P．

m8

31．（2024·北京·高考真题）已知集合

且为偶数

Mi,j,k,wi1,2,j3,4,k5,6,w7,8,ijkw．给定数列A:a1,a2,,a8，和序

列:T1,T2,Ts，其中Ttit,jt,kt,wtMt1,2,,s，对数列A进行如下变换：将A的第i1,j1,k1,w1项均

加1，其余项不变，得到的数列记作T1A；将T1A的第i2,j2,k2,w2项均加1，其余项不变，得到数列记作

T2T1A；……；以此类推，得到TsT2T1A，简记为A．

(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，写出A；

(2)是否存在序列，使得A为a12,a26,a34,a42,a58,a62,