五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题05 导数及其应用（选填题）8种常见考法归类（全国）（解析版）

专题05导数及其应用（选填题）

8种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01求在曲线上一点处的切线方程

2024·全国甲卷2023·全国甲卷

2022·新高考全国Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷

全国甲卷

知识1导数的2021·

几何意义考点02已知切线（斜率）求参数

（5年5考）2025·全国一卷2024·新高考全国Ⅰ卷

考点03求过一点的切线方程

2022·新高考全国Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅰ卷

2021·新高考全国Ⅰ卷

考点04利用导数研究函数的单调性

2023·新课标Ⅱ卷2023·全国乙卷1.构造函数利用导数求函数单调

2022·新高考全国Ⅰ卷2022·全国甲卷性从而进行比较大小，利用导数求

2021·新高考全国Ⅱ卷2021·浙江函数的极值点以及最值问题收高

知识2导数在2021·全国乙卷考必考题型

研究函数中的考点05利用导数研究函数的极值2.零点含参问题的讨论是导数综

作用2025·全国二卷2024·新高考全国Ⅰ卷2024·上海合题型的重难点

（5年5考）2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷

2022·全国乙卷2021·全国乙卷

考点06利用导数研究函数的最值

2023·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷

2022·新高考全国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅰ卷

考点07利用导数研究函数的零点

知识3导数在2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2023·全国乙卷

函数中的其他2021·北京

应用

考点利用导数研究方程的根

（5年4考）08

2025·上海

考点01求在曲线上一点处的切线方程

2x1

1．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线y在点1,3处的切线方程为．

x2

【答案】5xy20

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当x1时，y=3，故点在曲线上．

2x22x15

求导得：y22，所以y|5．

x2x2x1

故切线方程为5xy20．

故答案为：5xy20．

exe

2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y在点1,处的切线方程为（）

x12

eeeee3e

A．yxB．yxC．yxD．yx

424424

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

exee

【详解】设曲线y在点1,处的切线方程为ykx1，

x122

ex

因为y，

x1

exx1exx

xe

所以y22，

x1x1

e

所以ky|

x14

ee

所以yx1

24

exeee

所以曲线y在点1,处的切线方程为yx.

x1244

故选：C

ex2sinx

3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数fx，则曲线yfx在点0,1处的切线与两坐标轴所

1x2

围成的三角形的面积为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得

其面积.

ex2cosx1x2ex2sinx2x

【详解】fx2，

1x2

e02cos010e02sin00

则，

f023

10

即该切线方程为y13x，即y=3x+1，

1

令x0，则y1，令y0，则x=-，

3

111

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S1.

236

故选：A.

4．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数f(x)x3x1，则（）

A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点

C．点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心D．直线y2x是曲线yf(x)的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的

几何意义判断D.

233

【详解】由题，fx3x1，令fx0得x或x，

33

33

令f(x)0得x，

33

33333

所以f(x)在(,)，(,)上单调递增，(,)上单调递减，所以x是极值点，故A正

33333

确；

323323

因f()10，f()10，f250，

3939

3

所以，函数fx在,上有一个零点，

3

333,+

当x时，fxf0，即函数fx在上无零点，

333

综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；

3

令h(x)x3x，该函数的定义域为R，hxxxx3xhx，

则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，

将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，

所以点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心，故C正确；

令fx3x212，可得x1，又f(1)f11，

当切点为(1,1)时，切线方程为y2x1，当切点为(1,1)时，切线方程为y2x3，故D错误.

故选：AC.

2π

5．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数f(x)sin(2x)(0π)的图像关于点,0中

3

心对称，则（）

5π

A．f(x)在区间0,单调递减

12

π11π

B．f(x)在区间,有两个极值点

1212

7π

C．直线x是曲线yf(x)的对称轴

6

3

D．直线yx是曲线yf(x)的切线

2

【答案】AD

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．

2π4π4π

【详解】由题意得：fsin0，所以kπ，kZ，

333

4π

即kπ,kZ，

3

2π2π

又0π，所以k2时，，故f(x)sin2x．

33

5π2π2π3π5π

对A，当x0,时，2x,，由正弦函数ysinu图象知yf(x)在0,上是单调递减；

1233212

π11π2ππ5π

对B，当x,时，2x,，由正弦函数ysinu图象知yf(x)只有1个极值点，由

1212322

2π3π5π5π

2x，解得x，即x为函数的唯一极值点；

321212

7π2π7π7π

对C，当x时，2x3π，f()0，直线x不是对称轴；

6366

2π2π1

对D，由y2cos2x1得：cos2x，

332

2π2π2π4π

解得2x2kπ或2x2kπ,kZ,

3333

π

从而得：xkπ或xkπ,kZ,

3

32π

所以函数yf(x)在点0,处的切线斜率为ky2cos1，

x0

23

33

切线方程为：y(x0)即yx．

22

故选：AD．

考点02已知切线（斜率）求参数

6．（2025·全国一卷·高考真题）若直线y2x5是曲线yexxa的切线，则a.

【答案】4

【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利

用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点x0,y0与a的方程组，解之即可得解.

【详解】法一：对于yexxa，其导数为yex1，

因为直线y2x5是曲线的切线，直线的斜率为2，

x

令ye12，即ex1，解得x0，

将x0代入切线方程y2x5，可得y2055，

所以切点坐标为(0,5)，

因为切点(0,5)在曲线yexxa上，

所以5e00a，即51a，解得a4.

故答案为：4.

法二：对于yexxa，其导数为yex1，

x

假设y2x5与yexa的切点为x0,y0，

ex012

则y02x05，解得a4.

x0

y0ex0a

故答案为：4.

7．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线yexx在点0,1处的切线也是曲线yln(x1)a的切线，则

a.

【答案】ln2

x

【分析】先求出曲线yex在0,1的切线方程，再设曲线ylnx1a的切点为x0,lnx01a，求

出y，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

xx0

【详解】由yex得ye1，y|x0e12，

故曲线yexx在0,1处的切线方程为y2x1；

1

由ylnx1a得y，

x1

设切线与曲线ylnx1a相切的切点为x0,lnx01a，

1

111

由两曲线有公切线得y2，解得x0，则切点为,aln，

x01222

11

切线方程为y2xaln2x1aln2，

22

根据两切线重合,所以aln20，解得aln2.

故答案为：ln2

考点03求过一点的切线方程

8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为，．

11

【答案】yxyx

ee

【分析】分x0和x0两种情况，当x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时同理可得；

【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求

分x0和x0两种情况，当x0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时同理可得；

解：因为ylnx，

111

当时，设切点为，由，所以y|，所以切线方程为ylnxxx，

x0ylnxx0,lnx0yxx000

xx0x0

1

11

又切线过坐标原点，所以lnx0x0，解得x0e，所以切线方程为y1xe，即yx；

x0ee

11

y|

当x0时ylnx，设切点为x1,lnx1，由y，所以xx1，所以切线方程为

xx1

1

ylnx1xx1，

x1

1

11

又切线过坐标原点，所以lnx1x1，解得x1e，所以切线方程为y1xe，即yx；

x1ee

11

故答案为：yx；yx

ee

[方法二]：根据函数的对称性，数形结合

111

当时，设切点为，由，所以y|，所以切线方程为ylnxxx，

x0ylnxx0,lnx0yxx000

xx0x0

1

11

又切线过坐标原点，所以lnx0x0，解得x0e，所以切线方程为y1xe，即yx；

x0ee

因为ylnx是偶函数，图象为：

11

所以当x0时的切线，只需找到yx关于y轴的对称直线yx即可.

ee

9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是．

【答案】,40,

【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.

【详解】∵y(xa)ex，∴y(x1a)ex，

x0x0

设切点为x0,y0,则y0x0ae,切线斜率kx01ae,

x0x0

切线方程为：yx0aex01aexx0,

x0x0

∵切线过原点，∴x0aex01aex0,

2

整理得：x0ax0a0,

∵切线有两条，∴a24a0,解得a4或a0,

∴a的取值范围是,40,,

故答案为：,40,

10．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点a,b可以作曲线yex的两条切线，则（）

A．ebaB．eab

C．0aebD．0bea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线yex的图象，根据直观即可判定点a,b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线yex上任取一点Pt,et，对函数yex求导得yex，

tttt

所以，曲线yex在点P处的切线方程为yeext，即yex1te，

由题意可知，点a,b在直线yetx1tet上，可得baet1teta1tet，

令fta1tet，则ftatet.

当ta时，ft0，此时函数ft单调递增，

当ta时，ft0，此时函数ft单调递减，

所以，a，

ftmaxfae

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则a，

ybyftbftmaxe

当ta1时，ft0，当ta1时，ft0，作出函数ft的图象如下图所示：

由图可知，当0bea时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线yex的图象如图所示，根据直观即可判定点a,b在曲线下方和x轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知0bea.

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

考点04利用导数研究函数的单调性

1

11．（2021·浙江·高考真题）已知函数f(x)x2,g(x)sinx，则图象为如图的函数可能是（）

4

11

A．yf(x)g(x)B．yf(x)g(x)

44

g(x)

C．yf(x)g(x)D．y

f(x)

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

1

【详解】对于A，yfxgxx2sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

4

1

对于B，yfxgxx2sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

4

2121

对于C，yfxgxxsinx，则y2xsinxxcosx，

44

2212

当x时，y0，与图象不符，排除C.

4221642

故选：D.

12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx:．

①fx1x2fx1fx2；②当x(0,)时，f(x)0；③f(x)是奇函数．

【答案】fxx4（答案不唯一，fxx2nnN*均满足）

【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.

4444

【详解】取fxx，则fx1x2x1x2x1x2fx1fx2，满足①，

fx4x3，x0时有fx0，满足②，

3

fx4x的定义域为R，

又fx4x3fx，故fx是奇函数，满足③.

故答案为：fxx4（答案不唯一，fxx2nnN*均满足）

x

13．（2023·全国乙卷·高考真题）设a0,1，若函数fxax1a在0,上单调递增，则a的取值

范围是.

51

【答案】,1

2

x

【分析】原问题等价于fxaxlna1aln1a0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

x

1alna

得，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a的

aln1a

取值范围.

x

【详解】由函数的解析式可得fxaxlna1aln1a0在区间0,上恒成立，

x

xx1alna

则1aln1aalna，即在区间0,上恒成立，

aln1a

0

1alna

故1，而a11,2，故ln1a0，

aln1a

lna1lnaaa1151

故即，故a1，

0a10a12

51

结合题意可得实数a的取值范围是,1.

2

51

故答案为：,1.

2

14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数fxaexlnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）．

A．e2B．eC．e1D．e2

【答案】C

1

【分析】根据fxaex0在1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

x

11

【详解】依题可知，fxaex0在1,2上恒成立，显然a0，所以xex，

xa

设gxxex,x1,2，所以gxx1ex0，所以gx在1,2上单调递增，

11

gxg1e，故e，即ae1，即a的最小值为e1．

ae

故选：C．

3111

15．（2022·全国甲卷·高考真题）已知a,bcos,c4sin，则（）

3244

A．cbaB．bacC．abcD．acb

【答案】A

c11

【分析】由4tan结合三角函数的性质可得cb;构造函数fxcosxx21,x0,,利用导数可

b42

得ba,即可得解.

【详解】[方法一]：构造函数

π

因为当x0,,xtanx

2

c1c

故4tan1，故1，所以cb；

b4b

1

设f(x)cosxx21,x(0,)，

2

f(x)sinxx0，所以f(x)在(0,)单调递增，

1131

故ff(0)=0，所以cos0，

4432

所以ba，所以cba，故选A

[方法二]：不等式放缩

π

因为当x0,,sinxx，

2

2

1121131

取x=得：cos12sin12，故ba

848832

11114

4sincos17sin，其中0,，且sin,cos

44421717

1111

当4sincos17时，，及

444224

1411

此时sincos，cossin

417417

11411

故cossin4sin，故bc

4171744

所以ba，所以cba，故选A

[方法三]：泰勒展开

310.25210.2520.254

设x0.25，则a1，bcos1，

322424!

1

sin24

10.250.25

c4sin41，计算得cba，故选A.

413!5!

4

[方法四]：构造函数

c1π11c

因为4tan，因为当x0,,sinxxtanx，所以tan,即1，所以cb；设

b4244b

121

f(x)cosxx1,x(0,)，f(x)sinxx0，所以f(x)在(0,)单调递增，则ff(0)=0,

24

131

所以cos0，所以ba,所以cba，

432

故选：A．

[方法五]：【最优解】不等式放缩

c1π11c

因为4tan，因为当x0,,sinxxtanx，所以tan,即1，所以cb；因为当

b4244b

2

π1121131

x0,,sinxx，取x=得cos12sin12，故ba，所以cba．

2848832

故选：A．

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

π

方法5：利用二倍角公式以及不等式x0,,sinxxtanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

2

1

16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设a0.1e0.1,b，cln0.9，则（）

9

A．abcB．cbaC．cabD．acb

【答案】C

【分析】构造函数f(x)ln(1x)x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

1x

设f(x)ln(1x)x(x1)，因为f(x)1，

1x1x

当x(1,0)时，f(x)0，当x(0,)时f(x)0，

所以函数f(x)ln(1x)x在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，

1101110

所以f()f(0)0，所以ln0，故lnln0.9，即bc，

99999

11

191911

所以f()f(0)0，所以ln+0，故e10，所以e10，

10101010109

故ab，

2x

x1x1e1

设g(x)xeln(1x)(0x1)，则g(x)x+1ex,

x1x1

令h(x)ex(x21)+1，h(x)ex(x22x1)，

当0x21时，h(x)0，函数h(x)ex(x21)+1单调递减，

当21x1时，h(x)0，函数h(x)ex(x21)+1单调递增，

又h(0)0，

所以当0x21时，h(x)0，

所以当0x21时，g(x)0，函数g(x)xexln(1x)单调递增，

所以g(0.1)g(0)0，即0.1e0.1ln0.9，所以ac

故选：C.

方法二：比较法

0.1

解：a0.1e0.1，b，cln(10.1)，

10.1

①lnalnb0.1ln(10.1)，

令f(x)xln(1x),x(0,0.1],

1x

则f(x)10，

1x1x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得f(0.1)f(0)0，即lnalnb0，所以ab；

②ac0.1e0.1ln(10.1)，

令g(x)xexln(1x),x(0,0.1],

11x1xex1

则g'xxexex，

1x1x

令k(x)(1x)(1x)ex1，所以k(x)(1x22x)ex0，

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)k(0)0，即g(x)0，

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)g(0)0，即ac0，所以ac.

故cab.

17．（2021·全国乙卷·高考真题）设a2ln1.01，bln1.02，c1.041．则（）

A．abcB．bcaC．bacD．cab

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，

将0.01换成x,分别构造函数fx2ln1x14x1,gxln12x14x1，利用导数分析其在

0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】[方法一]：

22

a2ln1.01ln1.012ln10.01ln120.010.01ln1.02b，

所以ba；

下面比较c与a,b的大小关系.

22214x1x

记fx2ln1x14x1，则f00，fx，

1x14x1x14x

2

由于14x1x2xx2x2x

2

所以当0<x<2时，14x1x0，即14x1x，fx0，

所以fx在0,2上单调递增，

所以f0.01f00，即2ln1.011.041，即ac；

22214x12x

令gxln12x14x1，则g00，gx，

12x14x12x14x

22

由于14x12x4x2，在x>0时，14x12x0，

所以gx0，即函数gx在[0，+∞)上单调递减，所以g0.01g00，即ln1.021.041，即b<c；

综上，bca，

故选：B.

[方法二]：

x21

令fxlnx1(x1)

2

2

x1

fx-0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减

x21

f10.04f10,bc

x23

令gx2lnx1(1x3)

4

x13x

gx0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增

x23

g10.04g10,ac

综上，bca，

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

考点05利用导数研究函数的极值

18．（2025·全国二卷·高考真题）若x2是函数f(x)(x1)(x2)(xa)的极值点，则f(0)

【答案】4

【分析】由题意得f20即可求解a，再代入即可求解.

【详解】由题意有fxx1x2xa，

所以fxxax1x1x2xax2，

因为2是函数fx极值点，所以f22a0，得a2，

2

当a2时，fx2x2x1x2x23x4，

44

当x,,fx0,fx单调递增，当x,2,fx0,fx单调递减，

33

当x2,,fx0,fx单调递增，

所以x2是函数fxx1x2xa的极小值点，符合题意；

所以f012a2a4.

故答案为：4.

2

19．（2021·全国乙卷·高考真题）设a0，若a为函数fxaxaxb的极大值点，则（）

A．abB．abC．aba2D．aba2

【答案】D

【分析】

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，

画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.

3

【详解】若ab，则fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.

fx有a和b两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，a为函数

的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.

当a0时，由xb，fx0，画出fx的图象如下图所示：

由图可知ba，a0，故aba2.

当a0时，由xb时，fx0，画出fx的图象如下图所示：

由图可知ba，a0，故aba2.

综上所述，aba2成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

x2

20．（2022·全国乙卷·高考真题）已知xx1和xx2分别是函数f(x)2aex（a0且a1）的极小值点

和极大值点．若x1x2，则a的取值范围是．

1

【答案】,1

e

xx

【分析】法一：依题可知，方程2lnaa2ex0的两个根为x1,x2，即函数ylnaa与函数yex的图

象有两个不同的交点，构造函数gxlnaax，利用指数函数的图象和图象变换得到gx的图象，利用导

数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

xx

因为fx2lnaa2ex，所以方程2lnaa2ex0的两个根为x1,x2，

x

即方程lnaaex的两个根为x1,x2，

即函数ylnaax与函数yex的图象有两个不同的交点，

x2

因为x1,x2分别是函数fx2aex的极小值点和极大值点，

所以函数fx在,x1和x2,上递减，在x1,x2上递增，

x

所以当时,x1x2,，fx0，即yex图象在ylnaa上方

x

当xx1,x2时，fx0，即yex图象在ylnaa下方

a1，图象显然不符合题意，所以0a1．

令gxlnaax，则gxln2aax,0a1，

x0

设过原点且与函数ygx的图象相切的直线的切点为x0,lnaa，

2x0x02x0

则切线的斜率为gx0lnaa，故切线方程为ylnaalnaaxx0，

1

x02x01

则有lnaaxlnaa，解得x，则切线的斜率为2lna2，

00lnalnaaelna

因为函数ylnaax与函数yex的图象有两个不同的交点，

11

所以eln2ae，解得ae，又0a1，所以a1，

ee

1

综上所述，a的取值范围为,1．

e

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

x