矩形的性质课件北师大版数学九年级上册

1.2.1矩形的性质第一章

特殊的平行四边形九年级上BS

1.

理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形之间的关系.2.

探索并证明矩形的性质.3.运用矩形的性质定理解决相关计算或证明问题.学习目标新课引入观察以下图形，它们有什么共同特征？都是矩形矩形

利用平行四边形教具进行实验，使该平行四边形的一个内角变化，观察变化后构成的图形有什么特征.平行四边形的四个角在变化，四条边没有变化探究1新知学习定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.平行四边形矩形有一个角是直角注意：矩形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是矩形.矩形有哪些性质呢？观察与猜想ABCDO图形ABCD是一个矩形，通过观察可以发现：(1)矩形四个角都是直角(2)矩形对角线相等接下来我们一起证明这些结论！已知：如图，四边形

ABCD

是矩形,∠ABC=

90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；证明：∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠ABC

=∠CDA，∠BCD

=∠DAB（矩形的对角相等），

AB∥DC（矩形的对边平行），∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.ABCDO证明矩形四个角都是直角求证：（2）AC=

DB.证明：∵四边形

ABCD是矩形，

∴AB=

DC（矩形的对边相等），

在

△ABC和

△DCB中，

∵AB=

DC，∠ABC=

∠DCB，BC=CB，

∴△ABC≌

△DCB.

∴AC=

DB.ABCDO证明矩形对角线相等（1）矩形是轴对称图形吗？对称轴是什么？（2）矩形还有哪些特殊的性质呢？探究2是轴对称图形，对称轴有2条，两条对称轴是互相垂直的两条直线拿出一张矩形纸片，折一折，观察并思考.归纳总结矩形性质：(1)对边平行且相等(2)对角相等邻角互补，且四个角都是直角(3)对角线互相平分且相等(4)既是轴对称图形也是中心对称图形例1矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，∠DOC=

60°，AC=15，求ABCD较短边的长.解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD=15，∴OD=OC=7.5，又∵∠COD=60，∴△COD是等边三角形，∴

CD=7.5.例2如图，在矩形ABCD

中，两条对角线

AC

与BD相交于点O，AB=6，OA=4.求BD

与AD

的长.解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等），∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴BD=2AO=8，△ABD为直角三角形在Rt△ABD

中，AD2+AB2=BD2，AD2+62=82，∴AD=.例3已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.你还有其他解法吗？又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）.∴AF=BE.∴EF=EC.

一题多解：连接DE，证明△DEF≌△DEC即可.如图，矩形

ABCD

的对角线

AC与

BD交于点

O，在△ABC中，你能发现什么结论.ABCDO矩形

ABCD

O为

AC，BD中点，AC=BD，∠ABC

=

90°

定理

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.BO=AC探究3已知：在

△ABC

中，OB为其中线，OB=AC，求证：△ABC为直角三角形.证明:OB是△ABC中线，∴AO=OC=OB，∴∠A=∠ABO，∠C=∠OBC，在

△ABC中∠A+∠ABO+∠C+∠OBC=180°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴

△ABC为Rt

△ABC.OCBA“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”反过来结论是否成立？例1如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边

AC上的中线.(1)若

BD=3cm，则

AC=_____cm；(2)若∠C=30°，AB=5cm，则

AC=_____cm，BD=_____cm.(3)若两条直角边分别5和12，则BD为_____.ABCD61056.5例2如图，矩形

ABCD的对角线

AC、BD相交于点

O，E、F、G、H分别是

AO、BO、CO、DO上的一点，且

AE=BF=CG=DH.求证：四边形

EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）.∵四边形

ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等)，∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH.∴四边形

EFGH是平行四边形，且

EG=FH.∴四边形

EFGH是矩形.1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等

D.对角线互相平分随堂练习A2.如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E是CD的中点，若OE=3，OC=4，则△OBC的周长为()A.14B.11C.10D.7DECABOA3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕BF的长为________.分析：理解题意：明确折叠方式、次数、折叠前后的矩阵或图案关系.想象折叠：脑海中构建或使用纸张模拟折叠逻辑推理：根据折叠特点，推理出元素在折叠后的位置关系.标记关键信息：标记出对称轴、折叠线等关键信息逐步推导：将折叠过程分解为多个步骤，逐步分析每个步骤验证答案：尝试从折叠后的形状还原到原始矩阵，验证答案的正确性.解：∵E、F分别是

AB、AC的中点，AB=10，AC=8

∵AD是

△ABC的高，∴四边形

AEDF的周长=AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.∴

AE=AB=5，AF=

AC=4，∴DE=AB=5，DF=AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，4.如图，在

△ABC

中，AD是高，E、F分别是

AB、AC的中点.若

AB=10，AC=8，求四边形

AEDF

的周长.5.如图，在矩形ABCD中，两对角线交于点O.(l)若∠BAC=2∠DAC，求△ABC三内角的度数;解:(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°,AD//BC,∴∠DAC=∠ACB,∵∠BAC=2∠DAC,∠BAC+∠DAC=90°，∴∠BAC=60°,∠DAC=30°,∴∠DAC=∠ACB=30°，∴△ABC三内角的度数为:∠BAC=60°，∠ABC=90°,∠ACB=30°;(2)若∠AOB=60°，AO=10cm，求矩形ABCD的对角线长及边AB的长.(2)∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OC=OD=OB=

AC=

BD，（对角互相平分）∵AO=10cm,∴AC=BD=20