1.3勾股定理的应用课件北师大版数学八年级上册5

1.3勾股定理的应用第一章

勾股定理【2025新教材】北师大版数学

八年级上册

授课教师：********班级：********时间：********互逆命题、互逆定理教案一、教学目标知识与技能目标理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。过程与方法目标通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。二、教学重难点重点互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。能正确写出一个命题的逆命题。难点判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。用逻辑推理的方法证明命题的真假。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些简单的命题，如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，“如果a=b，那么a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题——互逆命题、互逆定理。（二）讲授新课（25分钟）互逆命题给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。举例说明：如原命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”。让学生进一步理解互逆命题的概念。组织学生进行小组讨论，每个小组写出3-5个命题，并交换写出它们的逆命题。命题真假的判断引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如“如果两个角是直角，那么这两个角相等”是真命题，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。互逆定理给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。举例说明：如“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。（三）例题讲解（15分钟）例1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的对应角相等。（3）等腰三角形的两个底角相等。分析：（1）逆命题为“如果ab=0，那么a=0”，这是假命题，因为当b=0时，ab=0，a不一定为0。（2）逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。例2：证明命题“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”是真命题。分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）课堂练习（10分钟）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）如果x=2，那么x²=4。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）对顶角相等。判断下列说法是否正确：（1）每个命题都有逆命题。（2）每个定理都有逆定理。（3）真命题的逆命题一定是真命题。（4）假命题的逆命题一定是假命题。（五）课堂小结（5分钟）与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。（六）布置作业（5分钟）课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解知识回顾1.勾股定理的内容是什么？ABC直角三角形a2+b2=c22.勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2直角三角形新知探索装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD

和边BC

是否分别垂直于底边AB。（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ABCD用卷尺分别测量

AD，DB，AB的长，若

AD2+AB2＝DB2，则∠A＝90°，即AD⊥AB。（2）李叔叔测得边

AD

长30cm，边

AB

长40cm，点

B，D

之间的距离是50cm。边

AD

垂直于边

AB

吗？ABCD∵

AD2+AB2＝302+402＝2500，DB2

＝502

＝2500，∴∠A＝90°，即AD⊥AB。所以边

AD

垂直于边

AB

。ABCD（3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边

AD

是否垂直于边

AB

吗？能检验。在

AD上从

A

点量取12cm得点

E，在

AB

上从

A

点量取16cm得点

F。EF因为12²+16²=20²，用刻度尺测

EF

长度，若

EF=20cm，根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；若

EF≠20cm，则

AD不垂直

AB。尝试·思考

如图，正方形纸片

ABCD

的边长为8cm，点

E

是边

AD

的中点，将这个正方形纸片翻折，使点

C

落到点E

处，折痕交边

AB

于点

G，交边CD于点

F。你能求出

DF

的长吗？ADBCGEFx48－x8－x解：∵点

E

是边

AD

的中点，

设

DF=xcm，则

CF=EF=(8－x)cm，在Rt△DEF

中，DE2+DF2=EF2，则42+x2=(8－x)2，解得

x=3。∴DF的长为3cm。今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)例题BOCA题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：设水池的水深

OA为

x尺，则芦苇的长度

OB为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央，所以

AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得

AC2+OA2=OC2，即52

+x2

=(x+1)2。解得

x=12。12

+

1=13。因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。BOCA随堂练习【课本P14随堂练习】1.五根小木棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个

图形中哪个是正确的？151520252420777242520242515（1）（2）（3）72+242=252152+202=252（2）正确能力提升1.如图，港口P

位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12

nmile和16

n

mile，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20

nmile，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿___________方向航行。北偏东50°2.如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图。在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，CB2＝AE2－CE2，根据安全标准，该零件需满足AC⊥BC。（1）判断该零件是否符合标准，并说明理由；（2）若量出AC＝4

cm，BC＝3cm，求CE的长。解:（1）该零件符合安全标准，理由如下:如图，连接BE。因为DE是线段AB

的垂直平分线，所以AE＝BE。因为CB2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2，所以CB2＋CE2＝BE2，所以△BCE是直角三角形，且∠C＝90°，所以AC

⊥