必修二数学证明题专项练习题

必修二数学证明题专项练习题一、引言必修二数学的核心内容包括立体几何（空间点线面位置关系、线面平行/垂直、面面平行/垂直）和直线与圆（直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、相交性质）。证明题是考查这些内容的关键题型，既能检验对定理的理解，又能培养逻辑推理和空间想象能力。本文针对必修二的重点考点，设计专项练习题，并附思路分析与规范证明，帮助学生掌握证明题的解题技巧。二、立体几何证明题专项练习立体几何证明的核心是转化思想：通过“线线关系”推导“线面关系”，再通过“线面关系”推导“面面关系”。关键是找到“中间桥梁”（如中位线、平行四边形、垂线等）。（一）直线与平面平行证明核心定理：直线与平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：定理条件：①直线在平面外；②直线与平面内一条直线平行。常见辅助线：中位线、平行四边形。练习题1：三棱柱中的线面平行题目：在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)为\(AB\)中点，求证：\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)。思路分析：要证明\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)，需找到平面\(B_1CD\)内与\(AC_1\)平行的直线。连接\(BC_1\)交\(B_1C\)于点\(O\)（三棱柱侧棱平行且相等，故\(BCC_1B_1\)为平行四边形，\(O\)为\(BC_1\)中点），则\(OD\)为\(\triangleABC_1\)的中位线，可证\(OD\parallelAC_1\)。证明过程：连接\(BC_1\)，交\(B_1C\)于点\(O\)。因三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(B_1C_1\parallelBC\)且\(B_1C_1=BC\)，故四边形\(BCC_1B_1\)为平行四边形，\(O\)为\(BC_1\)中点。又\(D\)为\(AB\)中点，故\(OD\)是\(\triangleABC_1\)的中位线，因此\(OD\parallelAC_1\)。因\(OD\subset\)平面\(B_1CD\)，\(AC_1\not\subset\)平面\(B_1CD\)，故\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)（直线与平面平行判定定理）。（二）直线与平面垂直证明核心定理：直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：定理条件：①直线与平面内两条相交直线垂直；②两条直线在平面内且相交。常见方法：利用已知垂直（如正方体的棱与面垂直）、勾股定理（证明线段垂直）、线面垂直性质（若\(a\perp\alpha\)，则\(a\)垂直于\(\alpha\)内所有直线）。练习题2：四棱锥中的线面垂直题目：在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)为\(PC\)中点，求证：\(BD\perp\)平面\(PAC\)。思路分析：要证明\(BD\perp\)平面\(PAC\)，需证明\(BD\)垂直于平面\(PAC\)内的两条相交直线（如\(PA\)和\(AC\)）。因\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，故\(PA\perpBD\)；又底面\(ABCD\)为矩形，故对角线\(BD\perpAC\)。证明过程：因\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(BD\subset\)底面\(ABCD\)，故\(PA\perpBD\)（线面垂直性质）。因底面\(ABCD\)为矩形，故对角线\(AC\perpBD\)（矩形性质）。因\(PA\capAC=A\)，且\(PA\)、\(AC\subset\)平面\(PAC\)，故\(BD\perp\)平面\(PAC\)（直线与平面垂直判定定理）。（三）平面与平面垂直证明核心定理：平面与平面垂直的判定定理（线面垂直→面面垂直）：定理条件：①一条直线垂直于另一个平面；②这条直线在当前平面内。练习题3：三棱锥中的面面垂直题目：在三棱锥\(S-ABC\)中，\(SA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，求证：平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)。思路分析：要证明平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)，需找到平面\(SBC\)内一条直线垂直于平面\(SAB\)（或反之）。因\(SA\perp\)底面\(ABC\)，故\(SA\perpBC\)；又\(AB\perpBC\)，故\(BC\perp\)平面\(SAB\)，而\(BC\subset\)平面\(SBC\)，故面面垂直。证明过程：因\(SA\perp\)底面\(ABC\)，\(BC\subset\)底面\(ABC\)，故\(SA\perpBC\)（线面垂直性质）。又\(AB\perpBC\)，且\(SA\capAB=A\)，\(SA\)、\(AB\subset\)平面\(SAB\)，故\(BC\perp\)平面\(SAB\)（直线与平面垂直判定定理）。因\(BC\subset\)平面\(SBC\)，故平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)（平面与平面垂直判定定理）。三、直线与圆证明题专项练习直线与圆的证明题需结合代数法（联立方程、判别式、点差法）和几何法（距离、半径、圆心距），关键是将“位置关系”转化为“数量关系”（如相切→圆心到直线距离=半径）。（一）直线与圆相切证明核心条件：直线与圆相切⇨圆心到直线的距离等于半径（几何法）；或联立方程后判别式\(\Delta=0\)（代数法）。练习题1：直线与圆相切的几何证明题目：已知直线\(l:x+y-2=0\)，圆\(C:x^2+y^2=2\)，求证：直线\(l\)与圆\(C\)相切。思路分析：计算圆心\(O(0,0)\)到直线\(l\)的距离，若等于半径\(\sqrt{2}\)，则相切。证明过程：圆\(C\)的标准方程为\(x^2+y^2=2\)，故圆心\(O(0,0)\)，半径\(r=\sqrt{2}\)。直线\(l\)的一般式为\(x+y-2=0\)，圆心到直线的距离\(d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)。因\(d=r\)，故直线\(l\)与圆\(C\)相切（直线与圆相切的几何判定条件）。（二）圆与圆外切证明核心条件：两圆外切⇨圆心距等于两圆半径之和。练习题2：圆与圆外切的判定题目：已知圆\(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=1\)，圆\(C_2:(x-4)^2+(y-6)^2=16\)，求证：圆\(C_1\)与圆\(C_2\)外切。思路分析：计算两圆的圆心距，若等于半径之和，则外切。证明过程：圆\(C_1\)的圆心\(O_1(1,2)\)，半径\(r_1=1\)；圆\(C_2\)的圆心\(O_2(4,6)\)，半径\(r_2=4\)（因\(16=4^2\)）。圆心距\(O_1O_2=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。两圆半径之和\(r_1+r_2=1+4=5\)。因\(O_1O_2=r_1+r_2\)，故圆\(C_1\)与圆\(C_2\)外切（两圆外切的判定条件）。（三）直线与圆相交的性质证明核心性质：弦的中点与圆心的连线垂直于弦（垂径定理）。练习题3：垂径定理的证明题目：已知圆\(C:x^2+y^2=r^2\)，直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，\(M\)为\(AB\)的中点，求证：\(OM\perpl\)（\(O\)为圆心）。思路分析：用点差法推导斜率关系，或用向量数量积证明垂直。证明过程：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(M(x_0,y_0)\)，则\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\)，\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\)。因\(A\)、\(B\)在圆上，故\(x_1^2+y_1^2=r^2\)，\(x_2^2+y_2^2=r^2\)。两式相减得：\((x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)=0\)，即\((x_1-x_2)(x_1+x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0\)。代入中点坐标得：\((x_1-x_2)\cdot2x_0+(y_1-y_2)\cdot2y_0=0\)，化简得：\((x_1-x_2)x_0+(y_1-y_2)y_0=0\)。情况1：直线\(l\)斜率存在直线\(l\)的斜率\(k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，直线\(OM\)的斜率\(k_2=\frac{y_0}{x_0}\)（\(x_0\neq0\)）。由上述等式得：\(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_0}{y_0}\)，即\(k_1\cdotk_2=-1\)，故\(OM\perpl\)。情况2：直线\(l\)斜率不存在直线\(l\)为垂直于\(x\)轴的直线（如\(x=a\)），此时\(x_1=x_2=a\)，\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\)，\(OM\)为水平直线（\(y=y_0\)），故\(OM\perpl\)。综上，\(OM\perpl\)（垂径定理得证）。四、证明题解题技巧总结1.明确目标：先确定要证明的结论（如“线面平行”“面面垂直”“直线与圆相切”），再回忆对应的定理条件。2.转化条件：将已知条件转化为定理所需的条件（如“线面平行”需找“线线平行”，“面面垂直”需找“线面垂直”）。3.构造辅助线：立体几何中常用中