上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

黄浦区2023学年第二学期高一年级期终调研测试数学试卷2024.06考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为___________．【答案】【解析】【分析】代入弧长公式，即可求解.【详解】扇形弧长.故答案为：2.已知向量，设，向量，若，则___________．【答案】1【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列方程即可求得.【详解】由，且可得，解得.故答案：13.若，则___________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用诱导公式即可得到答案.【详解】，则，故答案为：.4.在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________．【答案】【解析】【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案.【详解】，则，则，故答案为：.5.若，则___________．【答案】##【解析】【分析】将条件等式两边平方，再根据二倍角的正弦公式，即可求解.【详解】由，两边平方后得，即，则.故答案为：6.若向量，则___________．【答案】【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示即可计算得出结果.详解】由可得，且；所以，又，可得.故答案为：7.设，若函数的.定义域为，则的值为___________．【答案】##【解析】【分析】根据正切函数的定义域，列式求解.【详解】由题意可知，，，所以.故答案为：8.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到）【答案】14.6【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，，，则，在中，由正弦定理可得，即，所以，故答案为：14.6.9.若，则___________．【答案】3【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案.【详解】.故答案为：3.10.已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______【答案】【解析】【分析】利用三角函数知识即可得到结果.【详解】设，则，，将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为，则，∴点的纵坐标为，故答案为【点睛】本题考查三角函数的定义，考查两角和的正弦公式，属于基础题.11.i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为___________．【答案】##【解析】【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值.【详解】设，则，整理为，所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面，，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图，的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以.故答案为：12.已知平面非零向量的模均为，若，则___________．【答案】2【解析】【分析】设，，，，根据向量数量积的坐标表示得到方程则有，再分和讨论即可.【详解】设，，，，其中，因为，则；因为，则，则，又因为，当时，，即，即，因为，则或0，则，显然当时，，无实数解；当时，，则或（舍去），当时，，即，即，因为，则或，则，显然当时，，无实数解；当时，，则或（舍去），综上所述：.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将向量坐标化，再利用向量数量积的坐标表示得到相关方程，最后分和两种讨论即可.二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入方程，即可求解.【详解】由题意可知，，则，即，得，.故选：A14.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设，根据偶函数性质，即可求解函数的解析式.【详解】设，，，因为函数是定义在上的偶函数，所以.故选：B15.若对任意实数x都有，则角的终边在（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可.【详解】，，因为，所以角的终边在第四象限.故选：D16.设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可.【详解】设的值域为，的值域为，则由题意得，因为，则，则，则，因为，所以，对A，当时，，则，则，不满足，故A错误；对B，当时，，，则，则，满足，故B正确；对C，当时，，，则，则，不满足，故C错误；对D，当时，，则，则，不满足，故D错误；故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可.三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．【答案】【解析】【详解】解：（4分）设，则，（12分）∵，∴（12分）18.已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果；（2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出.【小问1详解】由，且，可得；由二倍角公式可得；；所以；【小问2详解】由（1）可得，所以19.（1）已知P是直线上一点，（为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标．（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标；（2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，求出与的方程，联立求出答案.详解】（1）由题意得，故，解得；故点P的坐标为；（2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，直线，即，设直线，将点代入中，得，解得，故直线，联立，解得，故当机器狗在时，离小明最近.20.在中，已知边上的中线长为．（1）求证：；（2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角．【答案】（1）证明见解析（2），为钝角【解析】【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明；（2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角.【小问1详解】因为，则，则在和利用余弦定理得，化简得.【小问2详解】由（1）知①，同理可得②，③，①②③得④，则m、n、t满足④式，④①得，同理可得，，因为，则则，则，，则，则，则，根据大边对大角，则为钝角.21.设．（1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．（2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）①见解析；②的最小值为3，此时.【解析】【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明；（2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断；②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值.【小问1详解】设，，，，因为，所以，且，所以，所以，则，所以，即，所以，所以函数在区间上是严格增函数.【小问2详解】①，则，当时，即，，，所以不管为何值，和是函数的零点，当，即或时，，如图画出函数的图象，若或时，与无交点，没有零点，若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点，当