电动力学知识总结

第一章电磁现象的普遍规律

§1.1电荷与电场

I、库仑定律

(1)库仑定律

如图ITT所示，真空中静止电荷。’

一个静止电荷。的作用力广为

式中与是真空介电常数。

(2)电场强度后

静止的点电荷0在真空中所产生的电场强度E为

后二」一

()

4%

(3)电场的叠加原理

N个分立的点电荷在尸处产生的场强为

后二£一卢丁仔一、)。

/=,4叫叫耳

体积V内的体电荷分布夕卜')所产生的场强为

E=—__，|3\)

4您。r-r

式中/为源点的坐标，尸为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度

高斯定理：电场强度后穿出封闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和(Z0)除

r

以4。用公式表示为

(耳面=I：别离电荷情形)()

或

£E-d§=pdv（电荷连续分布情形）（）

其中V为S所包住的体积，用为S上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式

£E-J5=£VR/V（）

由（）式可得静电场的散度为

3.静电场的旋度

由库仑定律可推得静电场后的环量为

[Edi=00

应用积分变换的斯托克斯公式

从0式得出静电场的旋度为

VxE=0（）

§1.2电流和磁场

1、电荷守恒定律

不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为V,边界面为S

的有限区域内，有

Vpdv0

或

▽.7+迦=0（）

dt

这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥一萨伐尔定律

/处的电流元//在『处产生的磁感强度为

o

参见图l-l-2o由此得沿闭合

动的电流/所产生的磁感强度为

加喷£与咛。

如果电流是体分布，那么电流

这时

而⑺啜0

刖)啜［*)勺，儿()

3、磁场的环量和旋度

(1)安培环路定理

磁感强度与沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的死倍：即

(2)磁场的旋度

由安培环路定理和斯托克斯公式

可得磁场的旋度为

▽x月=//0J()

这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度

磁场的散度为V-5=00

§1.3麦克斯韦方程组

1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广

按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路L中产生的感应电动势为

d①d不

c--------=-----\B•dS()

dtdtJs

依定义，感应电动势£是电场强度E感沿导体回路L的线积分，因此0式可写做

fE^dl=-—[B-dS0

h1dt人

其中&是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。

麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场后感，并

且满足0式。

应用斯托克斯公式，可将()式化为微分形式

▽xE=-黑o

dt

在一般情况下，既有静电场瓦，又有感应电场瓦，那么总电场便为

E=ES+瓦0

又因为Vx瓦=0,故得

这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推广

稳恒电流的安培环路定理为Vx月=47，由此得出

V-J=—V.(VxB)=0()

Ao

这与电荷守恒定律

▽J--论才0()

dt

相矛盾。

麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为

VxB=//0(J+JD)()

其中

几=辿()

”dt

叫做位移电流密度。即

VxA=〃oj/+尊］()

［ot)

或

旧加=〃。"7+包］.40

兀"°见dt)

3、麦克斯韦方程组

我们把电磁学中最根本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的

方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不矛盾。

VxE=~—

dt

--dE

£。

▽•月二0

这组方程称为麦克斯韦方程组。

4、洛伦兹力公式

带电荷q的粒子以速度0在电磁场中运动时，它所受的力为

作用在单位体积的电荷上的力(力密度)为

§1.4介质的电磁性质

I、介质的极化

(1)极化强度声

在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列,

这叫做介质的极化。

极化强度户是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即

P三二一()

AV

式中AV为包含有大量分子的物理小体积，瓦为第i个分子的电偶极矩。

如果每个分子的平均电偶极矩为力，那么

P=np()

式中〃为分子数密度。

(2)极化电荷与极化强度的关系

极化电荷体密度以与极化强度户的关系为

[PdS=-[/PpdV()

或

Pp=-V.P0

极化电荷面密度/与P的关系为

。尸=心但-2)()

式中万为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。如果介质2为真空，那么

ar=n-P()

均匀介质内的极化电荷

"夕=一▽•户=—▽•(力一/区)=一卜一包)夕,()

即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度0/的-(1-晟)倍。

因此，假设该点处无自由电荷分布，那么夕尸=0。

(3)有介质时的电场

在一般情况下，介质中的电场后是自由电荷的电场号.，极化电荷的电场后「以及变化

磁场产生的感应电场后的和，即

E=Ef+Ep+Ei0

在介质中，电场的旋度和散度分别为

VxE=VxE.=-—()

'dt

和

VE=—p..+—=—pf-—VP()

4%%%

(4)电位移力及其与电场强度后的关系

电位移矢量力的定义为

D=£()E+P()

在各向同性的线性介质中，户与后成线性关系

月=然％后()

入叫做介质的电极化率。代入()式得

5=%("厉0

定义相对介电常数J和介电常数£分别为

£，三1+乙，£=£,£°()

这时

D=sE0

2、介质的磁化

(1)磁化强度用

在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质

的磁化。磁化强度而是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即

而三」一()

AV

式中AV为含有大量分子的物理小体积，电为第i个分子的磁矩。

如果每个分子的平均磁矩为玩，那么

M—nm()

式中n为分子数密度。

(2)磁化电流与磁化强度的关系

磁化电流体密度7M与磁化强度沥的关系为

£M.J/=pA/^5

上式可写作

九\IvM.cii=Ii«»r0

式中是积分环路人所套住的磁化电流的代数

和，如图l-l-3o

把斯托克斯公式用于0式，便得

7M=VxM

0

磁化电流面密度区W与碳化强度而的关系：面电流是指在曲面上流动的电流，面电流

密度山的大小等于通过与a垂直的单位长度横截线的电流。设介质1的磁化强度为后介

质2的磁化强度为京2,在两介质的交界面上，磁化面电流密度为处一交界面的单位法向

矢量为万，从介质1指向介质2,那么

=nx(A?2-A?))()

假设介质2为真空，那么

aM=HX(A?2-MJ()

(3)有介质时的磁场

自由电流乙、磁化电流7M和位移电流乙都产生磁场，这些磁场的叠加就是介质中的

磁场月。因此，在一般情况下，磁场的旋度和散度分别为

▽xA=〃o(j/.+7僧+7Q)=〃Ojf+VxM+g()

和

VB=O0

(4)磁场强度方及其与磁感强度月的关系

磁场后定义为

A

H=——M0

〃o

对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度而和月之间有简单的线性关系

后=而后()

7M叫做介质的磁化率。把0式代入(1.4.25)式可得

定义相对磁导率〃「加磁导率〃分别为

"「三1+XM，〃=4,〃。()

这时

B=pH0

对于所有物质来说，相对介电常数J都大于1,但相对磁导率〃,那么可以大于1(顺

磁质)，也可以小于1(抗磁质)。

3、介质中的麦克斯韦方程组

电磁场遵守的普遍规律为

VxE=---

dt

Vx/7=J+—0

dt

VD=p

▽・占=()

物质方程：在各向同性的线性介质中

力=屈，B=^H0

§1.5电磁场边值关系

由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为

式中而是交接面法线上的单位矢量，从介质1指向介质2；。和1分别是交界面上的自由电

荷和自由面电流密度。

在用交界面两侧的切向分量(下标/),和法向分量(下标〃)表示时，边值关系可写

做

§1.6电磁场的能量和能流

1.电磁系统的能量守恒定律

考虑图『1-4所示的空间区域V,其边界面为N。

设v内有电荷分布P和电流分布7。

(1)电磁场作用在单位体积电荷上的力为

f=p(E+vxB),这力的功率为

/-v=p{EIvxB)v=pEv=JE()

式中九左代表介质单位体积消耗的焦耳热。

(2)电磁场对体积V内的电荷系统做功的功率为

^f-vdV=^JEdV0

(3)体积V内电磁场能量的增加率为

—\coclV=—{-(ED+BH)dV()

出小dl*2

(4)单位时间内从边界面E流出体积V的电磁能量为

j\S-6ZZ=£v-5t/V0

因为能量守恒，对于体积V内的电磁场能量有

fj-EdV+\\7SdV=--fcvdV0

JvJvdtJ”

或

dco

()

JE+V-5=~d7

这便是电磁场的能量守恒定律。

2.电磁场的能量密度切

单位体积内的电磁场能量为

<y=i(ED+/7B)()

3.电磁场的能量密度S

单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为

S=ExH0

S通常叫做坡印廷矢量。

第二章静电场

§2.1静电场的标势及其微分方程

1、静电场的标势

(1)静电场的根本方程

VD=p()

或jsDdS=Q()

VxE=O()

或fE-6/Z=00

其中电荷。是封闭曲面S包住的自由电荷的代数和，「是自由电荷密度。

（2）静电场的电势

在静电场中，根据0式知道有势函数。存在，使得

E=-\^（p（）

如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选后=8为电势参考点，这时由上式得空间

一点P（尸）的电势为

（p（r）=^Edr0

①点电荷的电势

由库仑定律可得'处（源点）的点电荷。在开处（场点）产生的电势为

g，（）

4仍r-r

②电势叠加原理

分立的点电荷系所产生的电势为

^（r）=_Ly_^（）

4在亍卜一弓

连续分布的电荷所产生的电势为

市）="Lj皿（）

''4宏后r-r

2、静电势所满足的微分方程和边值关系

（1）电势的微分方程

电势0满足方程

V（iV^）=-/7（）

在均匀介质内，（）式可化为

力①=_2（）

E

这个方程叫泊松方程。式中。是自由电荷密度。如果夕=0那么（）式便化为拉普拉斯方程

vV=o

(2)电势的边值关系

在介电常数不同的两种介质交界面上，电势0满足以下边值关系

%=。2()

其中而是由介质1指向介质2的单位法向矢量，。是交界面上的自由电荷面密度。

如果介质1是导体，那么以上两式分别化为

/二常量〔)

和£,也…()

on

3、静电场能量

电荷分布在区域V内，密度为0(k)，所具有的静电能量为

这能量分布在电场中，因此

W=^EDdV=^cE2dV0

式中E是上述电荷所产生的电场，积分普及后不为零的全部空间。

§2.2唯一性定理

静电学的根本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的

解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为求解的方法不同，

求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇非易事；但如果这些解都满

足相同的边界条件，那么它们必定相同。其次，对于有些问题，可以根据经验提出尝试解。

如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确解。

I.问题说明

假定空间V可以分为假设干个小区域匕，每一小区域匕内都是充满均匀的，介电常数

为的各向同性介质。设V内的自由电荷分布0。），那么在匕内，电势满足泊松方程

^2（p.=--p0

在两区域匕和匕的交界面上，电势满足边值关系

=（Pj（）

竺］竺］（）

I加J\加J

2.唯一性定理

设区域V内自由电荷的分布夕（尸），在V的边界S上给定

（i）电势为，

或

（ii）电势的法向导数（署）（即工），

那么V内的电场便唯一确定。

3.有导体存在时的唯一性定理

设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布0。），并给定

（i）每个导体上的电势外,

或

（ii）每个导体上的总电荷Q,,

以及V的边界S上的内或值，那么V内的电场便唯一地确定。

§2.3拉普拉斯方程别离变量法

1、笛卡儿坐标系

拉普拉斯方程(简称拉氏方程】的形式为

也+驾+驾=00

dx~dy~dz~

设电势0(x，Fz)可别离变数，即MY，y，z)=x(x)y()，)z(z),那么拉氏方程可分为以下三

个方程

1d2y

7£.2

由此得方程的通解为

(G/国一屈二)()

式中各常数A&,B”,B",GH，等由问题的具体条件决定。

2、柱坐标系

拉氏方程为

12(陛］+4①+驾=o()

rdrVdr)r~d(pdz~

设电势0(几。,z)可别离变数，即e(r,°,z)=M亦Mo)z(z),代入上式求得z(z)的解为

Z(z)=Cjcosh/?z+C2sinhZ?z()

中(0)的解为

①(0)=gcosa°+gsin〃0()

在内，符合物理实际的解必须是单值的，因此。必须是整数。

的解为

式(r)=C5(/")+。6N”(附()

式中

8㈠喈/।)\a+2n1

，""')=自'〃!「(4+'〃+1)0

和

N3r）=（cos=比例）-乙①）（）

sin。乃

其中级数J0-）是。阶第一类贝塞耳函数，如果，=〃（整数），那么在累级数中的伽玛函数

「（4+〃?+1）可以用（〃+根）!来代替。N«（br）是a阶第二类贝塞耳函数。

函数N.0。在r=（）附近的奇异性与//相似。因此，只要「=（）处的电势是有限的，在

解中就不包含N〃（W）,即系数。$为零。

3、球坐标系

球坐标系中拉氏方程为

噂卜焉默，山啜卜忌"答二。()

设电势0（二"。）可别离变数，即/卜,仇初=/（7旭0）0（0）,且在9=0和乃时双几夕。）为

有限值，那么拉氏方程（）的通解为

0（厂,"0）=X+结］/f（cose）cos〃地

l.rn=Q\r）

()

式中/r（cos。）是连带勒让德多项式。

如果问题具有轴对称性（〃7=0）,通解为

0（厂，。）=£（4/+2］（COS6）

/=okrJ

式中6（cos。）是勒让德多项式。

通解中的系数《,"，/%,Clm,d［m或小、瓦等由问题的具体条件确定。

§2.4镜像法

1、平面边界

(1)无限大导体平面外的点电荷

点电荷。到电势为零的无限大导体平面的距离为。，如图1-2-1,电像q=一夕在导体

平面的另一侧，与导体平面的距离为那么导体外的电势为

图1-2-1

_______1_1

尔)'")=六,(z>0)()

4在。G+(z-yjx2+y2+(2+«)2

导体面上的感应电荷面密度为

0

导体面上的总感应电荷为

j<ydS=-q()

导体上感应电荷吸引点电荷q的力为

F=——/■于力()

16症04r

感应电荷与点电荷的相互作用能为

u=——!—贵()

4%4。

(2)劈形导体平面间的点电荷

如图1-2-2,两无限大导体平板电势为零，夹角为。(。工乃)。其间有一点电荷〃，点电

荷4的幅角为综，与。角的顶点。的距离为。。4有多重电像，当。=巳(。为整数)时，电

n

像的个数为(2n-l)个，

一。1(1

-2--4-----=20n-\[J

0

所有电像均位于以。为圆心，。为半径的圆周上。诸电像的位置为

2万-4期..，生上珞,

q:J-9°,F%.共5-1)个。

nnn

2-4，网-4,•

，2兀-%,共〃个。

nn

图122是。4时电像的分布图。共有七个电

像。

(3)介质平面外的点电荷

两无穷大的均匀介质的介电常数分别为a和

打交界面为平面。在J中有一自由点电荷9,距

交界面为。，如图1-2-3所示。

求zNO区域(邑)的解时，可在

z<0区域内距界面为密处设置一电像

电荷夕2。那么所求电势为：

+-L)%

4叫yjx2+y2+(z+6/)2

()图143

求zWO区域〕的解时，可在z>0区域内距界面为外处设置电像电荷火,那么所求

电势必为

02("Z)=/--0

4-Jjr+),+(z_〃J-

在z=0的交界面上任意一点处，电势应满足边值关系

6=。20

d(p.d(py

()

'dz2dz

设4]=%=。，那么在原点处(x=y=z=()),应用上式可得

0

£、三

q-q?=q\()

解得

•J一£,

%=-----0

.2g,

%=——1()

q+4

因此

0

_____1_____________q

=(z<0)0

2乃(4+邑)yjx2+y2+(z-a)2

点电荷q所受的库仑力为

.二H.

0

16叫9+邑)。2

2、球面边界

(1)导体球外的点电荷

有一电势为零，半径为A的导体

球，球外距球心。为/处的A点有一

点电荷乡。

如图1-2-4,在球内A点设置一

电像一,距球心为由边界条件得

/上0

I

R

q=一7

于是球外尸⑺处的电势为

(厂>穴)0

4成or-IIr-I

\/

这里选取球心为原点，7和1分别为电荷q和夕的位置矢量。

球上的电荷密度面为

。⑻_£。丝小一J—i—

==()

dr4乃R（R2+『_2R/cos。）”

电荷与导体球的相互作用能为

u=1、o

4吟21_心）

电荷夕所受的库仑力为

Ldu1q2Rl

0

614的or-R»

（2）导体球形空腔内的点电荷

导体内有一球形空腔，腔内距球心。为/处有一点电荷导体的电势为零。

由对称性可知，这时图1-2-4中，位于A点的电荷夕便是夕的电像，并且

,R2

0

R.

q=yq0

这时空腔内的电势为

°G）=―----———导空Q<R）0

§2.5格林函数

点电荷的密度：位于于处的单位点电荷的密度为p（i）=^（x-r）o

格林函数：它是单位正点电荷在一定边界条件下的电势。它用G（工,F）表示，括号内左边的

位矢工对应场点，右边的F代表点源g=+l的位矢。它满足方程

V2G（x,x,）=-—0

£o

第一类边值问题的格林函数满足边界条件

G（无7）L=0⑵5.2)

第二类边值问题的格林函数满足边界条件

-G（工，］=__1_

(2.5.3)

dn,s0S

其中〃为边界面法线方向。

格林函数的对称性

G（x,r）=G（r,x）(2.5.4)

对于一定边界条件下的格林函数，场点和源点交换时，格林函数的值不变。如球外空间的

第一类格林函数是

G(无D=-----.=-f(2.5.5)

4您。+.-2/3(驾2+/w

VR。

工与工'互换（即凡R'互换）.从上式看出函数值不变。

含格林林函数的格林公式

。⑴=£G(X；/「(/)〃'+%£[G3,元格一0(f).G®,x)]dSf(2.5.6)

第一类边值问题的解

(p(x)=£G(x；x)p(x,)dV,-£(p(x')x)dS>(2.5.7)

式中的G(E1)位为第一类边值格林函数，边界条件由"(亍)I给定。

第二类边值问题的解

a

夕(1)=fG(F,幻河+G(r,x)一(p(F)dS'(2.5.8)

JvJsdn

式中的G(?j)为第二类边值，边界条件由等2I给定，S中应包含无限远处的面。

§2.6电多极矩

1、电势的多极展开

电荷分布在有限的区域v内，体密度为.行)，那么它所产生的电势为

^)=_Ljpfc>()

4在卜一/

对于远场(即〃>>厂处的场)，上式可展开为

0(尸)=-'—[f--rV-+—Xx;x——

4%bjyrr2!勺―dxidxj

0

4在0rry2/

I.

式中Q为电荷系的总电量，即

Q=\p(r')dV0

V

力为电荷系的电偶极矩，即

p=^rp(r')dV0

V

$为电荷系的电四极矩，即

5-j（3r,r,-r,27）p（r'）t/V'0

V

它的）分量为

Da=1（3*-超bb\iv（）

点电荷系的电四极矩为

54（3注+11（）

n

其4•分量为

D.i==Z（3/x.jr：6ij）q.0

n

电四极矩张量6是对称张量，又因为

D"+。22+。33=。0

因而6只有五个独立分量。

2、相互作用能

点电荷q在外场内中的能量为

式中心是4所在处外电场的电势。

电荷系"（广）在外场中的能量为

点电荷系的相互作用能为

式中%是除外.外所有其余的点电荷在外所在点产生的电势。

第三章静磁场

§3.1矢势及其微分方程

1、矢势

（1）稳恒电流磁场的根本方程

V-B=00

或珀•加二00

VxH=J0

或加疝=i0

式中J是自由电流密度，/是被闭合环路L套住的自由电流的代数和。

（2）稳恒磁场的矢势

由▽.月=0知，存在空间矢量势函数它满足

B=VxA0

对于一个确定的磁场月，由0式确定的矢势Z不是唯一的，可以有一个附加的任意

空间函数的梯度。通常用条件

VM=0u

来对这个任意函数加以限制。

（3）矢势Z的物理意义

()

即矢势H沿任一闭合环路L的积分等于通过以L为边界的曲面S的磁通量。

2、矢势X的微分方程和边值关系

在均匀介质内，矢势4满足泊松方程

V2A=-/J0

矢势的边值关系

在均匀介质内，该方程的特解是

YL瑞°

式中的积分普及电流所分布的空间V。

3、矢势的近似

电流分布在区域V（线度为/）内，电流密度为7（尸’）。

这电流在远处（即，•>>/）产生的磁场其矢势可近似为

A=—玩x4(J

44r

式中

Zw=l£r,xJ(r'Vv()

2i

叫做这电流的磁矩。对于一个载流为/的小线圈L,其磁矩为

m=-frxdl'()

4、稳恒电流磁场的能量

(1)自具能

电流分布在区域V内，密度为/(/),所具有的能量为

w=-[jAdV0

2Jv

这能量分布在磁场中，因此

W=-\HBdV=-\juH2dV0

2Jv2人,

式中方是上述电流所产生的磁场，积分普及后不为零的全部空间V。

(2)相互作用能

电流J(r)在外磁场片中的能量为

叱=p-AedV()

载电流/的小线圈在外磁场瓦中的能量为

叱=沅•月0

式中沅为小线圈的磁矩。

§3.2磁标势

1、磁标势

如果在某一闭合区域内没有自由电荷(即/=0),这时稳恒磁场的根本方程为

VxH=0()

V-B=0()

由后=0知，在该区域内存在势函数e”，它满足

2=73()

这时，后在形式上与静电场的后相对应，而外，那么与静电场的电势。相对应。

2、磁标势的拉氏方程和边值关系

拉氏方程为

歹8=0()

在没有传导电流的两介质交界面上，由

=H2.()

4“=%()

得出磁标势的边值关系为

夕初=/2()

式中方是交界面上由介质1有向介质2的单位法向矢量。

3、“磁荷”

磁荷密度：p,n=-^(>V-M

第四章电磁波的传播

§4.1平面电磁波

1、电磁场的波动方程

(1)真空中

在0=0,J=o的自由空间中，电磁强度后和磁场强度后满足波动方程

1d2E

V2E=o0

2dr

1dzH

v2/7=00

c-er

式中

c=]=2.997925X108米/秒

是光在真空中的速度。

（2）介质中

当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数£和磁导率〃一般地都随电磁波的频率变

化，这种现象叫色散。这时没有后和后的一般波动方程，仅在单色波（频率为。）的情况

下才有

.V票=。0

1d2H

V2/；=0()

v2dr

式中

是频率0的函数。

2、亥姆霍兹方程

在各向同性的均匀介质内，假设夕=0,J=o,那么对于单色波有

左卜,/）二的1()

后（尸,。=后卜,“()

这时麦克斯韦方程组可化为

22

\7E+kE=O,[fc=()

V-E=O()

H=--—VxE()

PCD

()式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了V•巨=()的条件，因此，亥姆霍兹方

程的解只有满足▽•巨=0时，才是麦克斯韦方程的解。

3、单色平面波

亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波

跖,。=瓦一体-划)0

方伍。=凡，价e)()

式中左为波矢量，其值为

平面波在介质中的相速度为

式中£和4一般是频率。的函数c

算符▽和(作用于单色平面波的场()式或(4.1.13)式时，可简化为

V=ik,—=-ico()

dt

即Vx后二itx左，▽•左二灰左，而色E=T①E。

dt

电场和磁场的关系为

式中五=%,为波传播方向上的单位矢量。

4、电磁波的能量和能流

电磁波的能量密度为

co=^(ED+H0

对于单色平面波有,故

co=sE2=/.1H20

单色平面波的能流密度为

£)

S=ExH=Ex(nxE=cov()

对时间平均的能流密度为

S=-Re(ExH^0

§4.2电磁波在介质交界面上的反射和折射

如图1-3-1所示，取两介质

的交界面为xy平面，z轴从介质

1指向介质2。设平面电磁波从介

质1人射到交界面上，入射波、

反射波和折射波的电场强度分别

为

入射波：

（）

反射波：区=巨;（/附/（）

折射波：&=瓦。/%，⑹0

1、反射定律和折射定律

电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律

a=a（）

sin/k】屈必

式中〃21为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质故可得

2、反射波和折射波的振幅

(1)菲涅耳公式

按入射波电矢量的振幅E。分以下三种情形:

(i)Eo垂直于入射面

E；。二sin®-%)

Eosin(a+%)

E_2cosasin0

2020

E】osin®+%)

(ii)go平行于入射面

Etan(<?1-<9)

10=;()

/tane1+4)

E_2cos<9]sin^

2()2)0

Egsin(q+%)cos(4一夕2

(iii)与入射面斜交_fy

把三个波的电矢量的振幅值)

BioiXEgzo,一

都分解为垂直于入射面的分量及)1

和平行于入射面的分量值0〃)，如图

1-3-2所示，即

ei、Eton与

E。=^ioi+Eo〃(J

图1-3-2

瓦0=Eoi+瓦0"()

尼20-^201十后20〃()

结果得出，Em和邑0_L都只与Eg有关；而耳0〃和耳0M那么都只与耳0〃有关。具体关系如

7：

E-sin®「一】（）

“叽一sin（a+/）皿U

A_2sin2c°s用-

…sin（4+%）%1U

-1r-'tan®]—%）-p,（\

“1°"=阳+%产°，°

后_2sin_cos4后

2MLsin（d+%）cos（，f）।10//U

可见（i）和（ii）是（iii）的两种特殊情况。

（2）反射和折射产生的偏振

由0式可知，在用+%=90°的情况下，后平行于入射面的分量没有反射波，因而反

射波便是后垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学d的布儒斯特定律，这时的入射角称

为布儒斯特角，其值为

3^全反射

由折射定律知，