第04讲 解三角形（八大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第04讲解三角形

目录

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0OO0

考点要求考题统计考情分析

高考对本节的考查不会有大的变化，仍

(1)掌握正弦定理、余弦定将以考查正余弦定理的基本使用、面积

理及其变形.公式的应用为主.从近五年的全国卷的

2023年/卷〃卷第17题，10分

(2)能利用正弦定理、余弦考查情况来看，本节是高考的热点，主

2023年甲卷第16题，5分

定理解决一些简单的三角形要以考查正余弦定理的应用和面积公

2()23年乙卷第18题，12分

度量问题.式为主.

2022年/卷〃卷第18题，12分

(3)能够运用正弦定理、余

弦定理等知识和方法解决一

些与测量和几何计算有关的

实际问题.

_________3=*=当=2R

正弦定理

Q2=y4-c2—2bccosA

b2=(?+Q2-2accosB

余弦定理

c2=a2+b2—2abcosC

Lc=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC

I正弦定理变形-4=为皿箝K=点

解三角形(

Ab2+c2-a2

Ji

f口c2+a2-b2

4——_—

余弦定理变形1

\coSC=^^

\2ab

仰向和偏角

r方位角

方向角

城内马城度

夯基-必备基础知识梳理

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△A8C中，角A,B,。所对的边分别是小6c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=lr+c2-2bccosA；

abc…

公式----=----=----=2Rb2=c2+a2-2tzecosB；

sinAsinBsinC

222

c=a-\-b-2abcosCt

人b2+c2-a2

cosA=----------；

(1)a=27?sinA♦Z?=27?sinB>c=2RsinC；2bc

D八/一从

常见变形(2)sin/l=—,sinB=—,sinC=-：cosB=----------；

2R2R2Rlac

222

「ab-c

cosC=---+-------.

lab

(2)面积公式：

6//?sinC=—Z?csinA=—«csinB

A222

S^ABC^-^-(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,二)

4R2

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:〃:c=sin4:sin8:sinC

②大边对大角大角对大边

«>Z?<=>/4>B<=>sinA>sinB<=>cosA<cosB

③合分比：a+b+c—='"b=b+c=…=4=上=,=2/?

sinA+sin8+sinCsin4+sin8sin54-sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)"AC内角和定理：A+B+C=TT

©sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<=>c=acosB+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+13)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC-tan(A+B)=""'''u>tan4+tan4+tanC=tan/VtanA•tanC

1-lanA-tan5

公.4+久C,4+8、.C

(4)sin(-----)=cos—；cos(-----)=sin—

2222

⑤在A4BC中，内角4B,C成等差数列。8=工,4+。=卫.

33

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角，为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，，・为坡度）.坡度又称为坡比.

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△A8C中，已知小。和4时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

4,CC

Xx

图形

AB•….B........B八B

AB

bsinA<a<b、,a>b

关系式a=bs\nAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有儿。的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用：

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+8+C=/r.

3、三角形中的射影定理

在，ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=〃cosA+acos8.

一提升-必考题型归纳

题型一：正弦定理的应用

例1.（2023•福建龙岩•高三校联考期中）在A3C中，角A民。厅对的边分别为若。=4,A=；,C=j|,

则人=（）

A.26B.2>/5C.2瓜D.6

【答案】C

【解析】因为4=：,C=^|,所以3=兀—A—C=],

4xsin-4x3

b6/sinB

因为一工=,所以〃=

sinAsinB十A

2

故迄C.

a_b_c

例2.（2023•全国•高三专题练习）在A4C中，设命题p：命题q：ABC是等边工

sinCsiIL4sinB

角形，那么命题〃是命题g的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由正弦定理可知£=上=$abc

=/,

smAsmtismCsinCsinAsinB

abc

则一=-=：=/,

cab

即a=tc,b=ta,c=bt,

BPubc=tiabc,即/=1,

则a=b=ct即AABC是等边三角形,

若以BC是等边三角形，则4=8=C=g，则-成立,

3smCsmAsinB

即命题〃是命题夕的充要条件，

故选：C.

例3.（2023•河南•襄城高中校联考三模）在闻?。中,角4,从C的对边分别为小3c,若sinA=sin3cosc

l▲兀...Ic+a/、

且tlEG，A飞，则；（）

A.8>/3B.4>/3C.8D.4

【答案】D

［解析］在.ABC中，由sinA=sin8cosc可得sin（4+C）=sinBcosC,

即sinBcosC+cosBsinC=sin8cosc

所以cos8sinC=0,因为8,Ce（O,兀），

所以sinCw0,且cosB=0,

所以8=g,又A=J,可得。=1,

263

c+ac2\/3,

由正弦定理"J得sinC+sinAsinC73.

T

故选：D.

变式1.（2023•全国•高三专题练习）在人BC中，内角A£Ci勺对边分别是a/,c,若acosB-AoS=c,

且。=（,则N3=（）

7T7T-3乃一2九

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得sinAcos8-sin8cos4=sinC,

即sinAcossin^cos4=sin（4+B）=sinAcos^+sinBcosA,

整理可得sin3cosA=0,由于8w（0,7i）,故sin3>0,

据此可得cosA=0,A=］,

贝=—A-C=7t—巴一汽=里.

2510

故选:C.

变式2.（2023•河南郑州•高三郑州外国语中学校考阶段练习）叫b,c分别为丛BC内角A,4,C的

对边.已知。=4,absinAsinC=csinB,则4?C外接圆的面积为（）

A.164B.647rC.1281D.256乃

【答案】B

【解析】因为"sinAsinC=csin8,由正弦定理得4/?csinA=〃c,可得sin人=■!".

4

设M8C外接圆的半径为，则二■=2r=16,即/*=8,

故,ABC外接圆的面积为647r.

故选：B.

变式3.（2023•甘肃兰州•高三兰州五十一中校考期中）△A8C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,若asinAsinB+〃cos?A=6〃，则一=（）

a

A.72B.GC.2V2D.273

【答案】B

【解析】由正弦定理得asin4=/?sinA,化简得bsin?A+〃cos?A=〃=G”，

则2=6,

a

故选：B

变式4.（2023•宁夏•高三六盘山高级中学校考期中）在，A4C中，内角A,8,C所对的边分别是小b,

c—则普产的值为（）

A.—B.—C.1D.!

242

【答案】A

【解析】依题意？=：，

a2

由正弦定理得迫上包工=宜工=2⑶1=2邛）1=」.

sin2Aa2UJUJ2

故选：A

变式5.（2023•河南•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）的内角4,B,C的对边分别为“，力,

c,己知。COSA="（G-COS4）,4=2,贝Ijc=（）

A.4B.6C.2V2D.2J3

【答案】D

【解析】因为几OSA=4G-COS8）,根据正弦定理得

sinBcos/\=>/3sin/I-sinAcosB，

移项得sinAcosA+sinAcos3=&sinA,

即sin（A+8）=V5sinA,即sinC=V5sinA,

则根据正弦定理有c=Ga=26.

故选:D.

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

大角求小角一解（锐）

两解一sinA<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一（一解一sinA=l（直角）

无角军一sinA>1

（3）两边一对角，求第三边.

题型二：余弦定理的应用

例4.（2023•全国-高三专撅练习）已知.A3C的内角A,3,C所对的功分别为a也。满足力2+/一〃？=/“且

A.2B.3

C.4D.2N/3

【答案】A

【解析】由题尸+/-4=儿，.•.COSA=2土=^=生=’,

2bc2bc2

乃b_a

乂0<A<乃，A=—,sinBsinA6，

D----

2

故选:A.

例5.（2023•河南•高三统考阶段练习）在AA8c中，角4爪C的对边分别为。也c,若

sinBsinC

tanA=则4=()

sin2B+sin2C-sin2A

A.三B.JC.g或充D.g或4

346633

【答案】C

be

【解析】由正弦定理，得tanA=h^-7,

h~+c~-a~

e,s.sinAbe

又b~+c~-a~=20ccosA,所以----=—-------,

cosA2bccosA

所以sinA=g,因为Ae(0,;r),所以A=2或苧，

266

故选：C.

例6.(2023•全国•高三专题练习)设AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=sin8,且

c2=2a2(l+sinC),则。=()

冗一兀n八3几

A.-B.-C.-D.—

6434

【答案】D

【解析】因为sinA=sii由，由正弦定理有a=0,

根据余弦定理有c2=a1+b2-2abcoaC=2cr-2a2cosC,

且c2=2^z2(I+sinC),故有sinC=-cosC,HPtanC=-l,

又Ce（O㈤,所以C=亍.

故选：D.

变式6.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在AABC中，角A,B,。的对边分别为小b,

I11

,a2+b2=3c?2,则)

tanAtanBtanC

A.0B.IC.2D.-j

【答案】A

［解析］由余弦定理以及/+b2=3c2可得：2他cosC=2c2=sinAsinBcosC=sin?Cn哗=.，丫

sinCsinAsin8

乂在三角形中有sin(A+B)=sinC,即sin(A+3)=sinAcos3+cosAsin3,

cosCsinAcosL+cosAsinBcosBcosA

所以--------1--------

sinCsinAsinBsinBsinA

111

------+----------------=0.

tanAtanBtanC

故选:A.

变式7.（2023唉国侑三专题练N）在.ABC中，角AB,C的对边分别为，，Ac,且『+造=当

bcsinC

则2,的值为（）

A.1B.V3C.—D.2

2

【答案】A

•A,>4.r-fecosBcosCsinA

【解析】因为一;一+----=「;，

bcsinC

所以，由正弦定理与余弦定理得1+d一、=@,化简得力=i

2abe2abcc

故选：A

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

>0,则AABC为锐角三角形

若余弦值、=0,则AABC为直角三角形.

<0,则AABC为钝角三角形

题型三；判断三角形的形状

例7.（2023•甘肃酒泉•统考三模）在.ABC中内角ABC的对边分别为a,若,=sinAcxM,则人肥

b~sin8cosA

的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

,2222212

【解析】由正弦定理,余弦定理及娟Sin2=〃cosgsia4得."•」.《厂+1

2bc2ac

a2（Z?2+c2-a2）=b-（a1+/-⑹，即/一"+/打一片）=0,

则W+/）（〃2）+<2仅2_°2）=0,即卜/一力2乂/+力2_。2）=0,

.•.。=力或/+b1=c）.；ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

例8.（2023•全国•高三专题练习）在.ABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,且c-0cosA<0,

则MAC形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】c-Z?cosA<0,

所以由正弦定理可得2RsinC-2/?sinBcosA<0

所以sinC-sin3cosA<0,

所以sin（A+8）-sinAcosA<0,

所以sinAcoscosAsin8—sin8cosA<0,

所以sinAcos4<0,

在三角形中sinA>。

所以cos8v0,

所以8为钝角，

故选：C.

例9.（2023•全国•高三专题练习）在A4c中，若空若二十二,贝IJ工6c的形状为（）

c•cosBl-coszC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

b-cosC_sinB-cosC_1-cos2B_2sin2B

【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知,

c-cosBsinCcosB1-cos2C2sin2C

即cos'=sin',整理为sinAcosB=sinCcosC,

cosBsinC

BP-sin2B=-sin2C,得28=2C,或28+2C=180=8+C=90,

22

所以MAC的形状为等腰三角形或直角三角形.

故选:D

变式8.（2023•全国•高三专题练习）设.的内角A,B,C的对边分别为mb,c,若从=c?+/一以，

且siiiA=2siuC,贝ij「A6c的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

22

［解析】因为方2=/+/_ca-c+a-IcacosB,

所以cos3=L

2

又Bw（0,兀），所以3=鼻,

因为sinA=2sinC,由正弦定理得a=2c,

贝ljb2=c2+a2-ca=c2+4c2-2c2=3c2，

则从+c2=a2，

所以54C为有一个角为g的直角三角形.

故选：B.

变式9.（2023•河南周口・高三校考阶段练习）已知工BC的三个内角所对的边分别为。，4c.若

sin2A+csinA=sinAsinB+/>sinC»则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

【答案】C

【解析】因为sin,A+csin4=sinAsinB+bsinC,

由正弦定理/二=工=三=2宠（2宠为.A3C外接圆的直径），

sinAsinBsine

—rm〃•Aab.、ic

可"$---sinA+---c=---sinA-^-b----,

2R2R2R2R

所以a（sinA+c）=>（sinA+c）.

又因为sinA+c>0,所以“=〃.即/BC为等腰三角形.

故选:C

变式10.（2023•全国•高三专题练习）设.工6。的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

/cosAsinB=/『sinAcos8,则4?C的形状为（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

【答案】B

[解析】由a，cosAsinB=b2sinAcosB彳导a'bcosA=ab'cosB=>acosA=bcosB=sinAcosA=sin8cosB,

由二倍角公式可得sin2A=sin28=>2A=2B+2履或24+2B=n+2lat,keZ,

由于在ABC,Ae(O,兀),540㈤、所以A=4或4+8=9，故0AAe为等腰三角形或直角三角形

故选:B

变式11.(2023•北京•高三101中学校考阶段练习)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,

若/cosAsin8=6sinAcos8，则ABC的形状为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形

【答案】C

【解析】已知等式利用正弦定理亿简得:ba'cosA=ab~cosB»

整理得：acosA=〃cosB.HPsinAcosA=sin7?cosB,

/.2sin4cosA=2sin“cosB,即sin2A=sin2B,

sm[(A+B)+(A-B)]=sin[(A+B)-(A-B)],

sin(A+B)cos(A—B)+cos(A+^)sin(.4—A)=sin(A+B)cos(A—B)—cos(A+A)sin(A—B)

.,.cos(A+B)sin(A-8)=(),

•jO<A+8<兀,-it<A-B<TI,

则A=8或A+8=],即A4c为等腰三角形或直角三角形.

故选：C.

【解题方法总结】

(1)求最大角的余弦，判断八43。是锐角、直角还是钝角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例10.(2023•河南南阳•统考二模)锐角AAC是单位圆的内接二角形.角A.8,C的对边分别为a也c.

且a2+Z?2-c2=4«2COSA-2«ccosB,则a等于()

A.2B.2>/2C.GD.1

【答案】C

【解析】由/+/J?-/=442cosA-cosB,

2.22

zn.a~+b~-c~_.

得b----------------=2acosA-ccosBD,

lab

由余弦定理，可得bcosC=2acosA-ccosB,

又由正弦定理，可得sinBcosC=2sinAcosA-sinCeos

所以sinBcosC+sinCcos4=sin(6+C)=sinA=2sinAcosA,

得cosA=g,又所以4=所以sin4=

又，一=」-=，一=2r=2,

所以a=,

sinAsinBsinC

故选：C

例H.（2023•河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）在/AC中，角A,B,C所对的边分别为“，

absh\AabsinB

b,c------1-----=-a2+b2-c2.

2sinB2sin>4

(1)求证：0<C<p

⑵若一■—=---+---,求coM.

lanBtaiiAtanC

absinAabsinB

【解析】（1）在，ABC中，因为+=a2+b2-c2

2sin52sinA

由正弦定理可得包+包=/+6一/,化简可得上宜=c2,

2b2a2

22

2『a+b

由余弦定理可得「a2+b2-c2a+b—一厂a2+b22ab1,当忖仅当〃=力时取等号，所以

cosC=----------=-----------——=------>----=—

2ab2ab4ab4ab2

cosC>^-,因为角。是，ABC的内角，所以0<CV7T,

2

所以

,一、,111cosAcosCsinCcosA+cosCsinA

(2)由----=----+----=-----+-----=--------------------

tan8taaAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(C+A)sinBcos8.sin2Bb1

=---------=---------=-----,则cosB=---------=—,

sinAsin。sinAsinCsinBsinAsinCac

Hn+c——h~b~山I、［22c,2T?+b~,

即---------=一，所以C「+C-=3/r,又------=c~,

lacac2

所以b=金吗正c,在.NBC中，由余弦定理可得,

22

,+c-er

cosA=----------,A______4

2bc7^/F-~6,

2c---c

2

例12.(2023•重庆统考三模)已知/3C的内角A、8、C的对边分别为。、〃、c,sin(A-B)tanC=sinAsinB.

⑴求一

2

(2)若cos8=—,求sinA.

3

【解析】(1)因为sin(A—0tanC=sinAsin4,

所以sin(A-4)^^=sinAsinB,所以sin(A-B)sinC=sinAsin8cosc,

cosC

即sinAcos^?sinC-cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定叫!可得accosB-becosA=abcosC,

由余弦理可得ac------------------he-----------------=ab-----------------,

lac2bclab

所以"2+。2_/?2_力2_c2+a2=a>+//一02,

即/+。2=3从，

所以《_芋1=3.

b-

(2)由题意可知cos5=《i^二Q=2,又/+°2=3必，可得/+02-2衣=0,

2ac3

所以〃=c,即，人BC为等腰三角形，

由8$4=2(：032g-1='1,解得cos」=或cos0=-^^，

232626

因为840,小,所以袅(0,外,所以cos&=画，

I2)2I4J26

丽n...(兀"IB标

所以sinA=sin-------=cos—=--------.

U2)26

变式12.(2023•山东滨州•统考二模)已知..AbC的三个角A,B,C的对边分别为。，。，c,且

2cos(8-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(B+C).

(1)若3=C,求A；

(2)求幺「的值.

a'

【解析】(1)若8=c,则cos(3-c)=l.

因为2cos(8-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(3+C).

所以2cosA+cos2A=1+28s(乃一/l)cosA,

2cosA+2cos24-1=1-2COS2A,

整理得2cos?A+cosA-1=0.

解得cosA=-l(舍)，cosA=-,

因为4e(O㈤，所以A

(2)|i]2COS(B-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(B+C).

所以2cos(B-C)cosA-2cosAcos(B+C)=1-cos2A

2[cos(8-C)-cos(3+C)]coS=1-cos2A,

2[cos8cosC+sinBsinC-(cosBcosC-sinBsinC)]cosA=1-cos2A

整理得2sinHsinGcosA=sin?八

rh正弦定理得2bccosA=a2，

由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA=a2,

即6+。2=2/,

所以以±=2.

a-

变式13.(2023•全国•高三专题练习)在A8C中，(a+c)(sinA-sinC)=b(s\n>4-sinB),则NC=()

【答案】B

【解析】因为3+c)(sinA-sinC)=仇sinA-sinB),

所以由正弦定理得3+。)(…)=b(a-b),即。2一/=〃力一〃,

a24-Z72-c2_ab_1

则下+济一H=ab,故cosC=

lab~2^b~2

又OvCv兀，所以C=1.

故选:B.

变式14.(2023•青海•校联考模拟预测)在JAC中，内角A,B,C所对应的边分别是小b,c,若ABC

的面积是由Q±6,则A=(

)

4

n八2兀_5兀

A.—B.——D.—

336

【答案】A

222

【解析】由余弦定理可得；Z?+C-«=2Z?CCOSA4C(0,7C)

由条件及正弦定理可得：

1\/3(b2+c2-a2}75

S=—hcsinA=——---------------=——becosA»

242

所以tanA=G,则A=1.

J

故选：A

变式15.(2023•全国•校联考三模)已知mb,。分别为，AAC的内角4B,。的对边,

a~+c~=ac\3cos~---sin~一

I22

（1）求证：a，b,。成等比数歹|J；

Q）若而震正T求C的值.

fnD>

【解•析】（1）因为。~+c~=ac［女。—sirr不

X，乙）

,,->oJ1+cosB1-cos打、

所以a-+c-=ac(3x----------------I.

所以a?+/=ac(\+2cos8).

根据余弦定理，得/+。2=。。1+2、此6二2],

I2")

所以M+c?=ac+a2+c2-b1.

所以从=。°.

所以mb,c成等比数列.

(2)由余弦定理，得cosB='+:一—=♦+i-*=L

2ac2aclac2

因为高曹正T所以由正弦定理，得号3

4

I411

所以cosZ?——x—

232-6

变式16.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在以4c中，角A,B,C所对的

边分别为〃，b,c,已知csin」B+^C=〃sinC

*)

⑴求角A的大小;

(2)若。=1,sinB=与，求边c及cos(23+A)的值.

【解析】（1）因为csin空工=〃sinC,可得csin|^Y^)=ccos3="sinC,

2

A

所以由正弦定理可得sinCeos—=sinAsinC,

2

又。为三角形内角，sinC/0,

所以cos—=sin4=2sin—cos—,

222

A(ITcos^>0,

因为Aw(0,7t),—€0,—

所以呜4可得咎,

所以A=g:

J

（2）因为A=g,Z?=l»sinB=»

J7

2厂

所以由正弦定理号=号，可得。=与篙=二旨=曰>"

sinAsinBs,n,{v212

~n~

所以8为锐角，cosB=>/l-sin2B=>sin28=2sinBcosB=4",cos2B=2cos2B-\=^-,

777

由余弦定理/=b'+/-2Z;ccosA,可得：=l+c2-2xlxcxg,

整理可得4/-4c-3=0,解得c=（或-J（舍去），

22

所以cos（28+A）=cos28cosA-sin2BsinA=-^xi-x等=一卷.

【解题方法总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.

题型五：解三角形的实际应用

方向1:距离问题

例13.（2023•全国-高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1）,其主体建筑

采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的

科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点人与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A

和点8的俯角分别为75。，30。，随后无人机沿水平方向飞行600米到点。，此时测得点A和点B的俯角分

别为45。和60。（A,B,C,。在同一铅垂面内），则A,8两点之间的距离为米.

【答案】100后

【解析】由题意，ZDCfi=30,ZCDB=60,所以NC3D=90,

所以在RtZXCBO中，BD=^CZ)=300,BC=—CD=300x/3，

22

乂NZ)CA=75,NCOA=45