理论力学简明教程复习题题库-(物理专业用)

理论力学复习题计算题题库

第一章质点力学

点沿空间曲线运动，在点M处其速度为VM/+3；,加速度S与速度

P夹角乃二30。,且石tlOm/s"求轨迹在该点密切面内的曲率半径p和

切向加速度％。

答：由已知条件V=4Z+3j得

v—A42+32=5m/s法向加速度弓=.sin30。=5??/s

2

则曲率半径°二Wm切向加速度aT^acos30°=8.6&n/s

一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和

切向加速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角之间有

如下关系tano=2"

证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动)

［时刻走过的路程为AM二s,速度为v,对应的

圆心角为月。由题设条件vtana=-二一应

知

专皿

八人八

a,--v-C.(&)

rdtds

c为常数积分(b)式得［vdv=^aTds所以v2=2a,5..............................(c)

将(c)式代入(a),并考虑s=RO,所以tan«=2/3

质点M的运动方程为x=3/(m),y二21(777)求1二1秒时，质点速度、切

向加速度、法向加速度的大小。

解：由于、=3(,%)9=4f=4(7%3所以有v二心2+宁2=J9+16

=5(,%)又Ev=杯+宁2二构+16尸贝I]

2Al

a：=v=1(9+16z)-32Z=---_=3.2时

22(9+16z2)2$

无=0j=4顿)。二山2田=4时)

,'a-aj=VI6322=2.4顷)

点M沿半径为R的圆周运动。如果％=-K(K为已知常数)，以初%

始位置为原点，原点初速度为坞。求点的弧坐标形式的运动方程

及点的速度减少一半时所经历的时间。

解：设点的初始位置为Ao依题意

dvv2

------d--------------

dtTKKR

积分上式「车二-片豚------得咋坐」

儿7・KR)。vovA7?KR+vot

则弧坐标形式的运动方程为+也]KR+kotIKR)

当V二咆时$二坐

2Vo

一质点沿圆滚线s=4“sin。的弧线运动，如0为常数，则其加速度亦为一常

数，试证明之。式中。为圆滚线某点P上的切线与水平线(X轴)所成的

角度，S为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。

式中常量（题设）

Vdv.2.ziV7777t/v,二

/aT=-----=~Aaa^>sin0an=-----Hl]Q=-----=4。cosf)dtpdO

22

cr|\IV16aCZ/COS0Ai)\

所以%---------=4URcos。

p4icoso

故a=Ja；+a：=4aa)2Ns\xr6A+cos2-4aco2-常数结论得证

设质点沿螺旋线*=2§访47=2烟42=4.运动'试求质点的速度、加

速度和轨道的曲率半径。

角学：因x=2sin4$,y=2cos4uz=4t

故i:=8cos4o-4y,y--8sin4。—一4x,z-4所以y=yjx+y2+z2=4yjx

+y2+1=4A5

又左二4宁二一16x,宁二・4x=-1z-0

所以a=7-r2+y2+z2=+y2=32

2八十

又a.--------=0

力=y4xy~4xy/+y+7J/+J+1

dtT

所以（）,二a=16yjx+y=32eb80cultll/?=——=——二2.532

小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式

为『=%y,试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度

及小环在此时所受到的约束反作用力。

解：小环受力如图示，重力，源竖直向下，约束力斤的方

向沿着抛物线的法线

小环在任意位置P处的运动微分方程为"二誓竺W'砥C⑵

因也二也迎二，也而tan弟sinM-也二-也（s增大而y减小故为didsdtds

dxas

负值）

⑴式变为mv—=~mg与vdv=-gdygdsds

积分J："”二£gdy得N=J2ag（因x=2a：p=｝二〈2）此即小环自x=2a

处自由滑至抛物线顶点时的速度。

又亍二”则“半二三项二空二4〃2adx2a

在抛物线顶点处x二Q,y=0,y，二0,二…2a

所以在抛物线顶点处卡土金=2。

y

由⑵7?=m—+mgcosff-^mg—2mg（因在顶点处

P

0=0,COSo=1）

小环在顶点处所受到的约束反作用力为2〃zg。

质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢了与力所共线，则

M=rxF=0

所以质点的动量矩守恒，即顶二。

J*=mfyz-zy)-Gt(1)

其分量式为jy=mzx-xz)=C2⑵

Jz-m(xy-yx)-C3(3)

由xx(1)+yx(2)+zx(3)得至IjGx+C2y+C3z-0

由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。

一物体质量m=l（）kg,在变力尸二作用下运动。设物体初速度

vo=0.2m/s,开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速

度为零，此前走了多少路程？

（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题

解答：由力一二尸得「"二noa-o人积分得dmjo

匕-5/2+1（V+0.2（777/s）

再积分£ds=(-5Z2+lW+().2)出得S=-:广+5产+

由」--5八101+0.2=()解得2=2.025再代入前式得S=7.07m质点作平面

运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量V与加速度矢量a正交。

证明：采用自然坐标系，由题意知0斤C为常量

工曰---dvd-de-drdr

j0二---——(er)=----T+c-----c----

dtdtdtdtdt

又在自然坐标系中年二函

dt

匚匚］、j-dvd-de-drdr.一

P/T以o=----=—(er)=—T+c----c----=c(pn

dtdtdtdtdt

由于八侦故得证

动点M以匀速v=5(m/5)沿轨迹y=*运动，求当x=2勿时动点M的速度沿

x和y分量的大小，以及M的加速度

解：由v2-x2+y2-25........⑴

根据y=-X济导数得y-—XX而X=2"时V--x.Q)

3'3'3

⑵代入⑴得牛2=25.

整理得x=3(m/5)代入⑵得y-4(m./s)

又牛=一二0则即G=为at

3

又由数学知识知而根据微分得当

\y/5

x=2m时：

2n,,6)!25-]25

所以有「二咛)2—9鱼E药_125

22—18

某力场的力矢为产=(2叩+z3)z“j+其中/J〃分别为x,y,z

3xzk

轴的单位矢，试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出

苴热能耐斯.

VxF=dddrr,d(3xz)S(x)\-rd(2xy+z3)d(3xz)i

✓Vl/ZVT

2xy+z3x3xz

+〃竺12—FS+b)=/(0-0)+j(3z2-3z2)+k(2X-2X)=0dxdy

故力场为保守力场。

日6U.J：

⑴

乙二_丁=20+

口dU2

由⑵

F.,=---二尤一

.......⑶

⑴式积分得：〃二一xi-N’x+f(y,z)—(4)

对⑷式求偏导数得：号一一即行。

上式得：f(y,z)=代入⑷式得：U=-xy-zx+g(z)⑸

对⑸式求偏导数得：匹二-3专+亟也=■—3®即也1)=0积分ozoz8z

得:g(z)=C

代入⑸式得：U--xy-zx/c取x=(),y-(),U=0Pl1]c=0

所以势能函数为U=\-y-z\

32A4

某力场的力矢为心-6ab^y-Q.Cfcxy.Fy-6abx^-ICxy.Fz—1Sabxyz

试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

VxF=

dxISy

F.人

=(1Sabxr-\Sabx)z+(1%abzy-1Sabzy)]+(6abz—40bxy—6abz+

4(fe.r3

=0

故力场为保守力场。

dU2q9

Fx-------6ab'y-20by----------(1)

dx

F

由Fv=--------6abx"-\Obxy------------⑵

dy

Fz=——-18abxy'--------------(3)

_dz

对(I)式积分得：U=-6ab"yx+5bxy+/(y,z)...................(4)

对⑷式求偏导数得：

--6abx+10&x4y+可，⑶圳=一尸--6abx^+10&x4y

dydy

即住E=o上式得：y⑶z)=g⑵代入⑷式得：dy

U--Gabz'yx+Sbx"y+g⑵-----(5)

对⑸式求偏导数得：一=_/8abBxy+i-=-F.=-ISabxyz2

dzdz

即冬21=0积分得:g(z)=c代入⑸式得：

0Z

U=-6ab"yx+5bx"y+c-----------(6)

取x=O,y=O,z=O,U=O贝”=()

所以势能函数为U=5bx\2-6abxy^

Fx=anx+any+ai3z

已知作用于质点上的力为Fy—32/X+a22y+a23Z

Fz-a3[X+a32y+333N

式上系数《,(/,；=123)都是常数，问这些为满足什么条件，才有势能

存在？如这些条件满足，试计算其势能。

解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，

所以VxF=()

dFxdF=-i3==uA

dzox

即势能存在与满足条件是：弓尸角I

31

"23=o32

dv

P、.=NX+。⑵+匕/=一”厂....I)

ox

Idv

由乙二”21尤+。22>^a23Z=—~............(2)

dy

dv

£=13］尤+Q32y+以33z=.……(3)

dz

(1)式积分得V--^-anx-al2yx-al3zx+f(y,z).@)

(4)式对y偏微分二⑵式得

dV8f(y,z)

-_o12<31+——ai2X~~a22y-dydy

艮口母(1)=-a22y-比,z......(5)

(5)式积分得f(y,z)^"-^a22y-a23zy+&z)...⑹

(6)式代入⑷式得

2

/---------anx-anyx-aX3zx-|....................................<222y-a23zy+g(z)(7)

22

⑺式对z偏微分二⑶式得

8VQg(z)_」,

-=-tzi3x-€z23y+------=~ai3x-a23y~333Zdzdz

即耍二_%z...............(8)

dz

⑻式积分得3⑶--"assz+c.....(9)

⑼式代入⑷式得

V—_-—6ZI2_63..5]22y2,23-八33八+o.Qo)

取x二O,y=O,z=O,V=O则c二0得势能为

T71?1212

1

V——6Zj-'l2-QgZX--------------—C/22y-人23-a%3Z

--+a22夕+333Z+2af2xy+2a2jzy+2a3izx)

某力场的力矢为F=xi+yj+zk

试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

故力场为保守力场

lav_

Fs--=x.…①

由哲X

rav

F=-=z.

.dz

2

积分⑴式得v=-A-+/(.y,z)...........(4)

(4)式对y偏微分二⑵式得当二丝启二一丁积分得dydy

2

f(y,z)=-；+g(z)......(5)

22

代⑸入⑷得V二-号-；+g(z).............⑥

⑹式对Z偏微分二⑶式得咨二衅二七积分得g(z)=-A+c................⑺

dzdz2

2

代⑺入(6)得一3-¥号+

取x二0,V二。N二0,V=0贝l]c=o得势能函数为v一奇一；一亍

有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为万二(x+y)Z+(x-y)J.质

点在平面上由点A(1,0)沿直线运动到点B(1,1),求力信所作的功

解法1：由功的定义计算

pB—pBFB

X

W=•dr=j人Fxdx+Fydy)-JA(+y)dx+(x-y)dy

又8=1.故二0

—(*B(*Bcl

W=、Fdr-Edx+Fydy)=J(x+y}dx+{x-y)dy-J(1—y)dy

所以1：A。

解法2：由功的定义计算

W=J：尹等=J：(F/x+Fydy)-[:;;(》一二(|一+(xj-|j2)|A

」1

=I=

22

或

22

W="F-dr=¥xdx+Fydy)-{(x+y)dx+(x-y)dy=^*x+A-y-|y)

*5-护时二(》-昌二！

解法3：由保守力性质计算

版'烽dFN

(0-0)r+(0-0)y+(l-ir=o

故力场信为保守力场

那个一―-

OX

FdV

y--=x-y.-⑵

Fz-^ir-0....⑶

dz

积分⑴式得V=-^-xy+.⑷2

0)式对y偏微分二⑵式得丝二一》+比=-xY

ay+ay

积分得fM=y+c......................⑸

22

代⑸入⑷得V二-号+；-xy+c...........(6)

22

取x=o,y=o,z=O,v=O贝"=0得势能函数为/=-：+；-xy

则由保守力与功的关系可知

ss

w=一M—%)-%f-(-*+|f"(-*+|-二一；一(一：+!T)二!

Fx=x+2y+z+5

设作用于质点上的力场的力矢为尸一二+z

E=x+y+z-6

求此质点沿螺旋线X二cosay=sinaz=7()运行，自。=0至0=2》时力场

所作的功

解：由保守力性质计算

(dF,dFW

VxF-

dxdyd\dydz?।dzdx\

(l-l)Z+(1-1))+(2-2)A-0

故力场信为保守力场

dV

L_(1)

Fx=-----=jr+2y+z+5

dx(2)

dv

Fv--=2x+>+z…⑶

2

积分⑴式得V二-2xy-xz-5x+/(v,z)...................(4)

⑷式对y偏微分二⑵式得竺二-2x+也=-2厂y-z

dyay

积分得/(y,z)=-|y2-zy+g(z)........................(5)

代⑸入⑷-一人人一_2xy-xz-5x-yz-i-g(z)....(6)

⑹式对z偏微分二⑶式得竺二-x-¥+耍二-x-v-z+6dzdz

.2

积分得g(z)=+6z+c........⑺

代(7)入(6)得V=---------------Lz?-2xv-xz・5》-vz+6z+c....................................(6)

222-

x=0,y=0,z=0,V=。则c=0得势能函数为

22-2xy-xz-5x~yz+6z

又由x=coso,sinO,z=70知当0=OB寸x=l,y=0,z=0;

0二2〃日寸x=1,y=0,z=1

则由保守力与功的关系可知

W=-(y2-Vl)=VI-V2

.IoA-2A2AC,、JoA-2A2/AC/

;,,A

=(”]~~V~~-2.n-xz-5x->z+6z)岛)~(~-x—y—z-2xy-xz-5x-yz+6z)(i>o,i4)匕匕匕匕匕匕

AAAA2AAA

=(...5^.[....(14-)^.H-5+84-]=—5+-+98-+14+^5-84-=98>产-70-

有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c,

试证明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a

cp

证明1：由清二尸+》2二充2+。2.......Q)

(1)式求导得V—=X-X=ax(因y=c,y=0,古攵i=a)

由此得出包=且=近三.....⑵

dtvv

(2②⑶得。〃或9/_(。)2

VP

整理得。二二结论得证

cp

如图设v与y轴夹角为Q)则由y=c,y=0,

有U二％'

2

由图示几何关系知C*L,—6ZCOSdf—即

P

a=.............(1)

pcostz

乂V=VCOSOC=C则有cosa=f......(2)

v

33、船得一初速席，在运动中受到水的阻力,阻力的大小与船速的平方

成正比，而比例系数为其中〃为船的质量。问经历多长时间船速减为

其初速的一半。(15分)

解：由题意知阻力为f-km%则船的运动方程为“火二一饥”即at

而，=0时……设船经历时间为邛寸，V号积分上式得{.订冰!《办

BP-------=-kt

“°农

从而得，二上

kvo

质点M在力/-Psincot的作用下沿x粕作直线运动，在初瞬时

t-0fv-vo,x=xo。求质点的运动方程。

角学：由mv=F=X=Psi(nt积分［mdv=Psmcotdt,得

Jv0Jo

pp

m(v-vo)=—(Lco刷)BPx-1/-v0~{-——(1-coscot］积分

como)

rxrt/曰JTr

dx=\QVQ+—(l-cos攻)"亡待x=X。+(vu+---)t-sin奴

JxoJoma>mcomco

已知点的运动方程，求其轨迹方程，并自起始位置计算弧长，求出点沿轨

迹的运动规律.

(1)x=4t-2t2,y=3t-1.5t2

(2)x=5cos5t2,y=5sin5t2

(3)x=4cos2t,y=3sin2t

解⑴由x=4t-2t2,y=3t-1.5t2.....(1)

两式相除得亍。苫9)

3(2-0

所以轨迹方程为y=°x是一直线方程

*4

,H-t-4-4/-4(1-Z),v-3-3/-3(l-0..............................(2)

无二一4j=—3.................(3)

所以速度为v=十尹=J16(1小+9(1-舟=5(i_,)全加速度为a^+y2=716+9=5

而切线加速度为七二2=-5,法线加速度=o由此说明质点作匀减速直线运

动。

(2)由x=5cos5t2,y=5sin5t2..........................(1)

得轨迹方程为S+y2=25是一圆的方程，其半径R=5

由(。式彳T充二-5(Vsin5t2宁二5(Vcos5产.Q)

所以速度为v=+,2=A2500/2(sin25/2+cos25/2)=50/................(3)

切线加速度为%=冬二50说明质点作匀加速圆周运动dt

法线加速度为％二丈二丑也二500»5

全加速度为a=X+y2=”500+2500()0"=5()31+100/4

(3)由x=4cos2t,y=3sin2t.............................(1)

22

得轨迹方程为3+瑚=1为-椭圆方程

由(〔)式得i=-Xsin21j=6co<21...........(2)

工伟无二一16cos21,宁二一12sin21......0)

所以速度为

v=7-V+V2=64sin2t+36ms?2t=2716sin22z+9cos22z(3)

全加速度为

a-7-x2+v2=7(-16cos2?)2+(-12sin2?)2=4V16cos22Z+9sin22/...........

如图6-1所示，半径为R的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，已知轮心C

的速度是常量u,求轮缘上一点M的轨迹，速度和加速度及轨迹的曲率半

径.

图6-1

解将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的

原点0,并建立直角坐标系如图所不，经过时间t,M点的坐标为:

x=ut-Rsin0

y=R-Reos0

因轮纯滚动，线段D与弧长DM相等，

DMut（b=

——二嬴

整理后得运动方程为x=ut-Rsm——八/

八ut

y=A-cos------

从运动方程中消去时间t后，得轨迹方程为:

x+Jy(2R-y)=/?arccos-------

R

.即M点的轨迹为旋轮线（或摆线），速度在x,y轴上的投影、大小

ut

XU-UCOS-

R

及方向余弦分别为v=二2/sin-

Vr.Ut.(b

cosa=—=sin----=sin—

v2R2

z?uUt8

cosp=——=COS---=COS—

N2R2

M点的加速度在x,y轴上的投影、大小及方向余弦分别为

.ax.ut.,cosa=—=sin----=sin©aR

cos/?1=一=cos一=cos,aR

即各点加速度指向轮心

22

又己二」a;淑”专，而L,由此可求得：0=4/?S//7劣

证明题

证明：质量为勿的质量从圆的最高点。由静止开始沿任一条光滑

弦下滑到圆周上所需的时间相同。证明：考虑质点在任意一条与过圆心

的铅垂线夹角为的弦上的运动，则在任意位置的受力如图所示。沿弦

的方向用质点动力学基本方程得

00Oim

质点加速度a=geoso,即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求

得其运动方程为

s--ae=一

22

又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为

s=2rcos0

质量为勿的质量从圆的最高点。由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆

周上所需的时间，性栏笠栏，与。无关，故质量为勿的质

Va\geosoIg

量从圆的最高点。由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间

相同。证毕。

重为P的小球位于半径为「的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小

球脱离球面的位置。

解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守

恒。

设球面顶点处为零势能面

由机械能守恒定律有0=4•乌2-P(r-rcosA)

2g

故i,2=2gr(1-cos。).Q)

小球在法向方向运动微分方程为£•—-PcosO-N

小球脱离球面时N=0,所以有v2=grcosO.................Q)

(1)代入(2)式有grcoso=2gr(l-cos©)

整理有cos6--;6-arccos-=48°ir

33

又由几何关系知cos。=H(h为自球面顶点起下降高度)得

-3

h=-

3

讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球(质量)无关，当球面

不光滑时与小球(质量)有关。

可得到运动轨道方程是r二”cosO,此为圆的极坐标方程，所以质点的运动

轨道为以a为半径的圆。

第二章质点系力学

一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为炮身及炮车质量和等于M,炮车

可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度a,炮弹对炮身的相

对速度为V,试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度Uo

解：由于在水平方向(X方向)无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平

方向动量守恒

即mVx+MU=0....................(1)

又由相对运动关系知Vcosa+U=vx,Vsina=vyQ)

Vr二一本丁Vcosa

7W+rn

⑵代入⑴得v=Vsina>0)

U------------/COS6Z

M+m,

所以

v-Jv；+v；=j——］，cos2a+Vsin2a-\——］，cos2«+V2(l-cos2a)

・・(4)

m(2M+m)2

=COSCL.........

V/u.、

如设V与水平面夹角为幻则加。二土二ad(5)

v、MM

X

---a

M+m

讨论：由⑷式知炮车反冲时VYV,由⑸式知0>a

重G的物体4带动单位长度的质量为g的软链，以速度*向上抛出,

如图示。假定软链后足够的长度，求重物所能达到的最大高度。

(原先静止于地面)的绝对速度z7=0于是密歇尔斯基方程为

茶俺)二产.•・・⑴

因m=G+qz,FAz)g(-k^z=n〃，代入(1)式得

§[(G+彳艮)刃二——(G+qg)gat

用(G十加C/N乘上式两端得[(G十ON)》H[(G-qz)z]=~g(G/qz)2dz已

知初始条件为z=0时，八V。所以积分上式得

-(G+qz)2?}=(G+qzRlG2V(/+G3当5=0时，上升高度z正好

23q23q

就是最大值/即卜q』十亶-1

QH2Gg,

某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为r(r)=x(r)Z+y(r)J+

NG",式中：/为质点的矢径,i,7*分别为尤匕N的单位矢。试求：

(I)质点的动能、动量及对坐标原点0的动量矩。

(2)质点对点A(a,b,c)的动量矩。

⑶作用在质点上的力及力的功率。

解：(1)动能T^^mv=^m(x2+y+z)

动量月二mv=m(xi+yj+zk)

动量矢巨Lo-nkyz—zy)i-b(zx-xz)'y+(xy-yx)k\

(4)动量矩

LA=〃4(y_/?)2-(z_c)j]F+[(z_c)x_(x—«)zp+[(x-tz)j-(y-份£*}

⑸力户二ma—nir—m(xi+

方+工疆尸二=

=m(x-x+y-y--

一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平

台中心为圆心，「为半径的圆周，假定人重为p,平台重也为p,其半径也为r,试求

当人在平台上走完一周时平台转过的角度。

解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。

假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。

在质点系起始时，/=0,G°=0在某时刻人相对于平台的速度为u,平台的角

速度为刃，则人的绝对速度为卜-u-\-a)r人的动量矩为:方滓孱钉,+cor)

轴方向。

平台动量矩为：G2la)=--一/刃方向也沿转轴方向。

-2g

由动量矩守恒定律得:G/+G2——r(u+cor)+一rco-0Zco-

2g3,

dO2ds

ydOdsan

d3r气二3；・ds积分得：dd-f2A--

(o-­u=—

EPtdt

atat

故Q一堂

3

32、一均质木板放在光滑的水平面上,板的一端站着一个人。在某一时刻,

人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为mi,人的质量为m2。试求t秒

钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度Vi与位移。

解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力P•板的重力W,光滑的水平面

对板的正压力FN。以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守

恒。

在初始时刻1=0,人和板都静止，动量p菽0,任意时刻L设板的绝对速度

Vi沿x轴正向，则由点的合成运动可知，人的绝对速度为v=Vi+U。

由动量守恒定律得：miVi+mz(Vi+u)=0

解此方程得均二-------〃负号表示板的运动方向与x轴正向相反。

m2

由此得人的绝对速度为V二均〃二u-竺一u=------正号表示人的运动方

m2+m*叫+

向与X轴正向相同

因u与V都是常量，故人和板的位移分别为Ax=l/t=--------------"f,A%1=Vyt=

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ut

加+7012mt+m2

设矢量r在笛卡儿坐标系中的投影为(X,y,z),证明力诺二3双疥=0并求使1二gm伸

的函数。

角军：(1)diw=(T-+j—+k-"]»(xi+yj+zk)--++--3

dxdydz)dxdydz

项E

aA

z<z

。r

-—

a-z+a-x•+=O

办I!T%I

*kk

V

(3)由，论=0可知势函数。必存在)由

7二xi+yj漾/:溪石二

X

V

z

代(4)入(2)得丝E=y积分得f=U+g(z)...........⑸

dy2

22

代(5)入(4)得©=3+：+g(z)....⑥

代(6)入(3)得咨厂-z积分得g(z)W+c............(7)

dzdz2

222

代（7）入（6）得0二土+匕+£+c

222

质量为吗及R的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比,

与距离的平方成反比，比例常数为卜开始时两质点皆处于静止状态,

其间距离为a,试求两质点间的距离为？\

24m2

时两质点的速度。y/

/V2

mi

解法1：用机械能守恒定律求解

令质量为凹自由质点的速度为V],质量为R的自由质点速度为此，则

因两质点互相吸引，故”1%方向相反，取坞方向为正方向如图示由

于两质点无外力作用，故动量守恒有一侬唳=0….（1）

两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力

由保守力性质得势能为.有二『一㈣吃式中「是两

jooM.乙/

质点间的距离。由机械能守恒定律-匝竺二1叫甫+』皿”一旻a22

即I)'V；+177°；=Wfel-2......(2)

22a

解(1)⑵式得一=_/----------浜、？=m,/一

V<2(mi+m2)Vag+xni)

解法2：用动能定理求解

令质量为皿自由质点的速度为V”质量为理的自由质点速度为％则

因两质点互相吸引，故坞咨方向相反，取3方向为正方向如图示由dT=SW

得』(1料甘+-mzrA)-F-dr=-为一日

22r

积分上式得一加-,I/八寸+W2...........(1)

22a

由于两质点无外力作用，故动量守恒有响一5=0........(2)

解(1)⑦式得V]=-------\2=mx\----------

\+m2)Ia(mf+vai)

解法3:用两体问题方法求解

由于两质点无外力作用可视为两体问题

由两体问题运动方程=F得

cfrndvnm,m2_dvnkm(m2

dt2dt加/+m2dt

又的2二的2儿-vdvn

dtdrndtd*2

代入(1)式有--------"12刁、2=也m(+m2rn

积分『气屯2=1,业/八2得哒\*远........Q)*2V”

由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止，故由

+m2V2L曰

=_u-----二寺m,Vi+m2V2=。.....(3)

Z+mz

又根据速度合成方法知V12=V,-V2...0)

角星(2)(3)(4)式得VI=/2J----------------V2二叫--------------

'a(m(+mz)\+m2)

丹为负值表明与免方向相反

如图示，一长为/的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为

某人持链条一端以匀速V将其提高，试证：当他的手离开水平面的高

(2\

度为X时夕"九链条对手的作用力大小为打=X十一pg

।«?J

解法1:用质心运动定理求解

8-

H

取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有-

力P=Pig,拉力F和水平面对静止的那部分链条的支

力F=-p{/由质心运动定理可得

mac=F+式中@为质心的加速度。

上式在x轴上的投影式为履。-F-p\g+p(l-x)g

pX\p(I—X).02

由于链条的质心坐标为，~±

2则有丸二咛丸二一

22

代人投影式得农％■-F-Qlg+p(1—x)g,m%~-F-

所以尸-pxg+m—=x+—\pg

11g)

解法2：用动量定理求解

取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力P=/71g,拉力F

和水平面对静止的那部分链条的支持力F=-Q(/-X)£

链条整体的总动量在竖直方向分量为R=pxv+口。-X).0-pxv

整体所受的外力有重力p=plg,拉力产和水平面对静止的那部分链条的支持

力厂二~p(l~x)g

上式在X轴上的投影式为F=F-pxg

由动量定理罢二〃得-二十—(/uv)=p—v-pv=Fx=F-pxgatatat

F-pxg+pv

解法3：用变质量问题方法求解

如图示，取已上升部分为主体，其质量为〃7二期速度为v,不断增加部分

为变体，力乃二国工其速度〃=0.主体和变体所受合外力为F合二F-pxg

由密歇尔斯基方程一(mv)-M—=尸■得

dtdt°

"-(pxv)==F-pxgp'v=pv--F-pxg

dtdt

故尸-pxg+pv

圆环质量为M,放在光滑水平面上，有一质量为m的小虫在圆环上爬

行，如图示，求证：小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角

度不超过180oo设初始时系统静止。

另正解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向

均向下，与转轴平行，力矩为零。故质点系动量矩守恒。

在质点系起始时，/=0,G°=0在某时刻小虫相对于圆环的速度为u,圆环的角

速度为口，则小虫的绝对速度为v=〃+s小虫的动量矩为：G]=””+s)方向沿转轴

方向。

圆环动量矩为：G?=二折~co方向也沿转轴方向。

由动量矩守恒定律得：Gj+G2=mr(u+a>r)+Mr'CD-U有=一

dO_1ds

dtMdt

(I+----)r

广护=I

Jo.

io

假设小虫和圆环质量相等M=m故。=-7i--18Cf

假设M=2m故。==-120

3

一般""勿故3Y18Cf

光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰，如两球均为完全弹性体,

且两球质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。

证明：设两球质量为光滑球A碰前速度矢量为E,光滑球B碰前速度

矢量为0,

A和B碰撞后的速度的速度矢量为元舌

由于两球碰撞过程中动量守恒有必4=MVX+MIT.……Q）

又两球为完全弹性体动能守恒有，MV；-+"2.......Q）

⑴式代入⑵式有（y;+v；y=v；2+v;2

整理上式得2