2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第五节　一元二次不等式及其解法

第五节一元二次不等式及其解法高中总复习·数学课标要求

1.

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式

的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示

一元二次不等式的解集.2.

借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程

的联系.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

的不等式，称为一元

二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c

＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.提醒对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.2

2.

三个“二次”的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a

＞0）的图象

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＝0（a

＞0）的根有两个不相等的实

数根x1，x2（x1＜

x2）有两个相等的

实数根x1＝x2＝

－

没有实数根ax2＋bx＋c＞0（a

＞0）的解集{x｜x＜x1，或x

＞x2}

Rax2＋bx＋c＜0（a

＞0）的解集{x｜x1＜x＜x2}⌀⌀

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.

（

×

）（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.

（

√

）（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c

＞0（a＜0）的解集为R.

（

×

）×√×2.

（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为

（

）A.

（－2，5）B.

（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.

（－5，2）D.

（－∞，－5）∪（2，＋∞）解析：

由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.√

A.

－10B.

－14C.10D.14

√

5.

若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围

为

⁠.

（－∞，

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

不含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）

解下列不等式：（1）－3x2－2x＋8≥0；

解题技法解一元二次不等式的4个步骤提醒对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0.

不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是

⁠.

{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}

含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）

解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.

解题技法解含参数的一元二次不等式的步骤（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于

0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论

两根的大小关系，从而确定不等式的解集.

解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）.

三个“二次”间的关系（师生共研过关）

〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），

则下列说法正确的是（

）A.

a＞0B.

bx－c＞0的解集是{x|x＞

}C.

cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－

或x＞1}D.

a＋b＜c√√√

解题技法“三个二次”之间的关系及其应用（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次

不等式解集的端点值；（2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋

∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解

集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n.

1.

已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋

∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为

⁠

⁠.

∞）

2.

已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集.解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x

＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

1.

不等式x2＋3x－10＞0的解集为（

）A.

（－2，5）B.

（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.

（－5，2）D.

（－∞，－5）∪（2，＋∞）解析：

由x2＋3x－10＞0得（x＋5）（x－2）＞0，解得x＜－5或x

＞2.√1234567891011121314152.

不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（

）A.

（－∞，0）∪（0，

）B.

（－∞，

）C.

（

，＋∞）D.

（0，

）

√1234567891011121314153.

不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（

）A.

［

，1］B.

[1，＋∞）C.

（－∞，

］∪[1，＋∞）D.

［

，＋∞）

√1234567891011121314154.

若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取

值范围是（

）A.

（－∞，5）B.

（5，＋∞）C.

（－4，＋∞）D.

（－∞，4）解析：

设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为

直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f

（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－

∞，5）.√1234567891011121314155.

〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正

确的是（

）A.

当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}B.

当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－

}C.

当a＜0时，不等式的解集为{x｜－

＜x＜4}D.

当a＝－

时，不等式的解集为⌀√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪

（3，＋∞），则（

）A.

a＞0B.

a＋b＋c＞0C.

不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}D.

不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－

）∪（

，＋∞）√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围

为

⁠.

1234567891011121314158.

若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜

x2}，且x2－x1＝15，则a的值为

⁠.

1234567891011121314159.

解下列不等式：（1）3≤｜5－2x｜＜9；

123456789101112131415

123456789101112131415

10.

当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是

（

）A.

[－1，3]B.

（－∞，－1]C.

[3，＋∞）D.

（－∞，－1）∪（3，＋∞）

√12345678910111213141511.

若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则

实数m的取值范围为（

）A.

（6，7]B.

[－3，－2）C.

[－3，－2）∪（6，7]D.

[－3，7]解析：

不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当

m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个

整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时

不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有

4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m

的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C.

√123456789101112131415

A.

[－6，＋∞）B.

（－∞，6）C.

（－6，＋∞）D.

（－∞，－6]√123456789101112131415

12345678910111213141513.

解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a＜