2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第一节　数列的概念与表示

第一节数列的概念与表示高中总复习·数学课标要求

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、

图象、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修1.

数列的概念概念含义数列按照

⁠排列的一列数数列的项数列中的

⁠数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与

⁠之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝

⁠确定的顺序

每一个数

序号n

a1＋a2＋…＋an

提醒数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置

序号.2.

数列的分类及性质3.

数列的表示方法列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点

⁠画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用

⁠表示递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递

推公式（n，an）

公式

4.

数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R

的函数，其自变量是

，对应的函数值是

⁠，

记为an＝f（n）.序号n

数列的第n项an

2.

若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为{an}的一

个周期.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.

（

×

）（2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列.

（

×

）（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.

（

×

）（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－

Sn.

（

√

）×××√

A.10B.

－10C.

－11D.

√

A.

B.

C.

D.

4.

已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则实数k的取值范

围是（

）A.

（－2，＋∞）B.

（－6，＋∞）C.

（－∞，－2）D.

（－∞，2）解析：

要想{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝

2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又n＝1时，－2×3n取得最大值，

最大值为－6，故k＞－6.√5.

（人A选二P8练习4题改编）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，

则an＝

⁠.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且a1

＝1也满足此式，故an＝2n－1，n∈N*.2n－1

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

由数列的前几项归纳通项公式（师生共研过关）

（人A选二P6例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相

连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数

为

，这个数列的一个通项公式an＝

⁠.17

4n－3

解析：从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一

项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝

5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根

据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通项公

式an＝4n－3.解题技法由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；（4）各项的符号特征.

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）－1，7，－13，19，…；解：

偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；

观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列

的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.

（4）9，99，999，9

999，….解：

这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1

000－1，10

000－

1，故所求数列的一个通项公式为an＝10n－1.由an与Sn的关系求an（师生共研过关）

A.

－

B.

－

A

C.

D.

（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an

＝

⁠.

解题技法1.

Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求

解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.2.

已知Sn求an的3个步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1

（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式；（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.

1.

数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则此数列的通项公式an

＝

⁠.

（2n－1）·3n－1

数列的性质（定向精析突破）考向1

数列的周期性

A.

B.3C.

－2D.

－

√

解题技法解决数列周期性问题的方法

根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，

进而求出有关项的值或者前n项的和.考向2

数列的单调性

已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列

{an}为单调递增数列”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√解析：

根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列

{an}为单调递增数列，则有an＋1－an＝（n＋1）2－k（n＋1）＋5－（n2

－kn＋5）＝2n＋1－k＞0（n∈N*），所以k＜2n＋1.因为n∈N*，所以

当k≤2时，数列{an}为单调递增数列，而当数列{an}为单调递增数列时，

k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不

必要条件.故选A.

解题技法解决数列单调性问题的方法（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减

数列还是常数列；

（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.考向3

数列的最大（小）项

5或6

解题技法求数列最大项与最小项的常用方法（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直

接确定最大（小）项，否则，利用作差法；

A.

B.

4

－1C.

D.

√

2.

如表定义函数f（x）：x12345f（x）45123数列{an}中，a1＝3，an＝f（an－1），n＝2，3，4，…，则a2

025

＝

⁠.解析：由an＝f（an－1），a1＝3，可得a2＝f（a1）＝f（3）＝1，a3＝f

（a2）＝f（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝

5，a6＝f（a5）＝f（5）＝3，…，可得数列{an}是以5为周期的周期数

列，则a2

025＝a5＝5.5

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

A.

第8项B.

第9项C.

第10项D.

第11项

√123456789101112131415161718192020222324252.

已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，

那么a20＝（

）A.240B.230C.220D.210

√3.

数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－an，则S2

025＝（

）A.4

050B.

－4

050C.2D.

－2解析：

因为a1＝2，an＋1＝－an，所以a2＝－a1＝－2，a3＝－a2＝2，

a4＝－2，…，所以an＋2＝an，所以{an}是周期为2的周期数列，所以S2

025

＝a1＋a2＋…＋a2

025＝2＋（－2）＋2＋（－2）＋…＋2＝2.故选C.

√4.

给定一个函数y＝f（x），对任意an∈（0，1），由关系式an＋1＝f

（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则该函数的图象是

（

）√解析：

由an＋1＝f（an），an＋1＞an知f（an）＞an，可以知道x∈（0，1）时f（x）＞x，即f（x）的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件.5.

已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的

（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件解析：

若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”

是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所

以an＞0（n≥2），但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递

增数列”的必要条件，故选A.

√6.

〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），

Sn为其前n项和，则（

）A.

a4－a2＝7B.

a10＝55C.

S5＝35D.

a8＋a4＝28解析：

因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4

＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝

62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2

＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝

a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋

15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故选A、B、C.

√√√

A.

数列{an}有最小项，且有最大项B.

使an∈Z的项共有5项C.

满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个D.

使Sn取得最小值的n为4√√√

要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负

数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故

C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，

故D正确.8.

已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}

的通项公式为

⁠.

9.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（n2＋n）an，求数列{bn}的最大项.

10.

（2025·宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，

2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则

实数λ的取值范围是（

）A.

［

，

］B.

（

，

）C.

（

，

）D.

（

，

］√

A.

当n≥2时，0＜an≤2B.

当

＜a1＜1时，T4n＝1C.

无论a1取何值，均存在λ∈N*，使得an＋λ＝an对任意n∈N*成立D.

无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数值相同的另一项√√

13.

（2024·杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙

滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小

石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝

5，第3个五角形数记作a3＝12，第4