2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-微突破　一元二次不等式恒（能）成立问题

微突破一元二次不等式恒（能）成立问题高中总复习·数学

解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合

法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的

条件选择合适的方法求解.判别式法解决恒成立问题

若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取

值范围.解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.

数形结合法解决恒成立问题

已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f

（x）≥－1恒成立，求m的取值范围.解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，令g（x）＝x2－mx＋2m－3，

分离参数法解决恒成立问题

已知函数f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]时不等式f（x）＞（a

－1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，则实数a的取值范围是

⁠

⁠.（－∞，

4）

点评

如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求

出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范

围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成

立时，应有a≤f（x）min.主参换位法解决恒成立问题

已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，

则x的取值范围为

⁠.

点评

如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键.

一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.（－∞，1）∪（3，＋∞）

转化为函数（式子）的最值解决能成立问题

已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f

（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是

⁠.解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋

8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g

（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所

以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10.点评

（1）a＞f（x）能成立⇒a＞f（x）min；（2）a＜f（x）能成立⇒a＜f（x）max.[－10，＋∞）

1.

当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是

（

）A.

［

，＋∞）B.

（－∞，

）C.

（

，＋∞）D.

（－∞，

］

√2.

若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－

1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则

实数a的最小值为

⁠.

8

3.

已知函数f（x）＝x2＋2ax－a＋2.（1）若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；解：

若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，则f（x）max≥0，

x∈[－1，1].函数f（x）图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以

a≥0.当－a＞0，即a＜0时，f（x）max＝f（－1）＝3－3a