2026版三维设计一轮高中总复习数学同课异构-第四节　平面向量的数量积及应用

第四节平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的

数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两

个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问

题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.目录CONTENTS123知识体系构建微专题9平面向量与三角形的“四心”考点分类突破4课时跟踪检测PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.若向量

a

＝（1，1），

b

＝（0，－1），则

a

与

b

的夹角等于

（

）A.－

B.

C

.

D.

2.已知向量

a

＝（2，4），

b

＝（－6，

m

），若

a

⊥（

a

＋

b

），则

m

＝（

）A.－2B.

－1C.0D.3解析：

因为

a

＝（2，4），

b

＝（－6，

m

），

a

＋

b

＝（－

4，4＋

m

），由

a

⊥（

a

＋

b

），得－8＋4×（

m

＋4）＝0，所

以

m

＝－2.

A.－1B.

－

C.1D.

4.已知｜

a

｜＝5，｜

b

｜＝4，

a

与

b

的夹角θ＝120°，则向量

b

在向量

a

上的投影向量的模为

⁠.解析：由数量积的定义知，向量

b

在向量

a

上的投影向量的模

为｜｜

b

｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.2

1.平面向量数量积运算的常用公式（1）（

a

＋

b

）·（

a

－

b

）＝

a

2－

b

2；（2）（

a

±

b

）2＝

a

2±2

a

·

b

＋

b

2.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量

a

与

b

的夹角为锐角，则有

a

·

b

＞0，反之不成立

（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量

a

与

b

的夹角为钝角，则有

a

·

b

＜0，反之不成立

（因为夹角为π时不成立）.

1.已知

a

，

b

为非零向量，则“

a

·

b

＞0”是“

a

与

b

的夹角为锐角”

的

条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充

要”）解析：由结论2可得“

a

·

b

＞0”是“

a

与

b

的夹角为锐角”的必要不

充分条件.必要不充分2.若非零向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝2｜

b

｜＝｜

a

＋2

b

｜，则

a

，

b

的夹

角为

⁠.

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练平面向量数量积的基本运算

A.

B.3

C

.

2

D.5

A.－2B.

－1C.1D.2

11

练后悟通1.计算平面向量数量积的主要方法（1）利用定义：

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞；（2）利用坐标运算，若

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），则

a

·

b

＝

x

1

x

2＋

y

1

y

2；（3）活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的

加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹

角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.平面向量数量积的应用

A.－

B.

－

C.

D.

解题技法求平面向量的夹角的方法

考向3

向量的垂直【例3】

（1）已知单位向量

a

，

b

的夹角为60°，则在下列向量中，

与

b

垂直的是（

）A.

a

＋2

b

B.2

a

＋

b

C.

a

－2

b

D.2

a

－

b

（2）（2023·新高考Ⅰ卷3题）已知向量

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1）.若（

a

＋λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），则（

）A.λ＋μ＝1B.

λ＋μ＝－1C.λμ＝1D.

λμ＝－1解析：因为

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1），所以

a

＋λ

b

＝（1＋λ，1－λ），

a

＋μ

b

＝（1＋μ，1－μ），因为（

a

＋λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），所以（

a

＋λ

b

）·（

a

＋μ

b

）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）

＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D.解题技法有关平面向量垂直的两类题型

1.（2022·全国乙卷3题）已知向量

a

＝（2，1），

b

＝（－2，4），

则｜

a

－

b

｜＝（

）A.2B.3

C

.

4D.5

2.已知非零向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝2｜

b

｜，且（

a

－

b

）⊥

b

，则

a

与

b

的夹角为（

）A.

B.

C

.

D.

平面向量中的最值（范围）问题

A.（－2，6）B.

（－6，2）C.（－2，4）D.

（－4，6）

解题技法向量数量积的最值（范围）问题的解法（1）坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代

数问题处理；（2）向量法：运用向量数量积的定义、几何意义等有关向量知识

解决.考向2

与模有关的最值（范围）问题【例5】

（2024·南通模拟）已知向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝1，｜

b

｜

＝2，

a

·

b

＝0，若向量

c

满足｜

a

＋

b

－2

c

｜＝1，则｜

c

｜的取值范

围是

⁠.

解题技法求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面

直角坐标系，借助向量的坐标表示，构造不等式，三角函数等

求解；也可直接应用平面向量模的三角不等式：｜

a

｜－｜

b

｜

≤｜

a

±

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜求解；（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何特征，注意

题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系合理的转化，结

合动点表示的图形求解.考向3

与夹角有关的最值（范围）问题【例6】

平面向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝｜

b

｜，且｜

a

－3

b

｜＝1，则

cos＜

b

，3

b

－

a

＞的最小值是

⁠.

解题技法

求夹角的最值（范围）要根据夹角余弦值的表达式，利用基本不

等式或函数的性质进行求解.

1.（2024·泉州模拟）设向量

a

与单位向量

e

满足，对任意

t

∈R都有｜

a

－

te

｜≥｜

a

－

e

｜，则｜

a

＋

e

｜的最小值为（

）A.

B.2

C

.

3D.4

A.16B.17

C

.

18D.19

3.已知｜

a

｜＝2｜

b

｜，｜

b

｜≠0，且关于

x

的方程

x

2＋｜

a

｜

x

＋

a

·

b

＝0有实根，则

a

与

b

的夹角θ的取值范围是

⁠.

PART3微专题9平面向量与三角形的“四心”

在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与

向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出

现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表

示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑

推理能力.

A.外心B.

内心

C

.

垂心D.

重心

A.重心B.

外心C.垂心D.

内心

A.外心B.

内心C.重心D.

垂心

A.外心B.

内心C.重心D.

垂心

A.

B.

C.4

D.6

A.垂心B.

内心C.外心D.

重心

外心PART4课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.（2024·安阳一模）已知向量

a

＝（1，－4），

b

＝（－5，3），若

向量

ta

＋

b

与

b

垂直，则实数

t

＝（

）A.2B.1C.－1D.

－2解析：

ta

＋

b

＝

t

（1，－4）＋（－5，3）＝（

t

－5，－4

t

＋

3），若向量

ta

＋

b

与

b

垂直，则（

ta

＋

b

）·

b

＝（

t

－5，－4

t

＋

3）·（－5，3）＝－5（

t

－5）＋3（－4

t

＋3）＝－17

t

＋34＝0，

解得

t

＝2，故选A.12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

123456789101112131415163.（2024·绵阳模拟）已知向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝2，

a

与

b

的夹角为120°，则｜

a

－2

b

｜＝（

）A.3B.

C.21D.

12345678910111213141516

A.

B.

C.－

D.

－

12345678910111213141516

123456789101112131415165.（多选）对于任意的向量

a

，

b

，

c

，下列选项一定成立的有（

）A.（

a

＋

b

）·

c

＝

a

·

c

＋

b

·

c

B.（

b

·

c

）

a

－（

a

·

c

）

b

不与

c

垂直C.

a

·

b

≤｜

a

｜·｜

b

｜D.｜

a

－

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜12345678910111213141516解析：

根据数量积的分配律可知A正确；由[（

b

·

c

）

a

－

（

a

·

c

）

b

]·

c

＝（

b

·

c

）（

a

·

c

）－（

a

·

c

）（

b

·

c

）＝0，故B不正

确；根据数量积的定义，可知

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞

≤｜

a

｜·｜

b

｜，故C正确；｜

a

－

b

｜2＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2－2

a

·

b

＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2－2｜

a

｜·｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞≤｜

a

｜2＋｜

b

｜2＋2｜

a

｜｜

b

｜＝（｜

a

｜＋｜

b

｜）2，故｜

a

－

b

｜≤｜

a

｜

＋｜

b

｜，故D正确.123456789101112131415166.（多选）已知向量

a

＝（2，1），

b

＝（1，－1），

c

＝（

m

－2，

－

n

），其中

m

，

n

均为正数，且（

a

－

b

）∥

c

，则下列说法正确

的是（

）A.

a

与

b

的夹角为钝角B.向量

a

在

b

上的投影向量为

b

C.2

m

＋

n

＝4D.

mn

的最大值为212345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.12

B.8

C

.

4

D.412345678910111213141516

12345678910111213141516

A.8B.2

C.4

D.412345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.（多选）已知

a

，

b

是单位向量，且｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜，（

c

－

a

－

b

）·（

c

－2

a

）＝0，则下列说法正确的是（

）A.

a

·

b

＝0B.若

a

·

k

＝

n

·

a

，则

n

＝

k

C.｜

c

｜的最大值为

D.

c

·

b

的最小值是

12345678910111213141516解析：

∵｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜，∴（

a

＋

b

）2＝（

a

－

b

）2，

a

2＋2

a

·

b

＋

b

2＝