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文档简介
教考衔接4⇒“算两次”在解三角形中的运用
“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表
示同一数学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法.“算两次”在
运用的过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学
生的数学抽象、数学建模等思维能力提出了较高要求，在解三角形中
经常通过特定关系的边、角或面积，通过“算两次”的方法找到解决
问题的关键点.
真题展示
2
技法探究技法1
“边”算两次1.同一边算两次【例1】
在四边形
ABCD
中，
AB
＝3，
AD
＝4，
BC
＝2，
CD
＝
1，则四边形
ABCD
面积的最大值为
.
反思感悟
本题选取了两个三角形的公共“边”为切入口，在不同的三角形
中利用余弦定理两次表示边
BD
，即在△
ABD
中，
BD
2＝25－24cos
A
；在△
CBD
中，
BD
2＝5－4cos
C
，从而得到6cos
A
－cos
C
＝5，获
知角之间的关系.
9
反思感悟
本题选取两个三角形的公共角
B
为切入口，分别在两个不同的三
角形内利用余弦定理对角进行表示，构建方程进行求解.解题的关键是
寻找两个三角形的公共元素，在两个三角形内分别利用正、余弦定
理、勾股定理进行边、角互化，获得等量关系.2.补角算两次【例4】
（2021·新高考Ⅰ卷19题）记△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对
边分别为
a
，
b
，
c
.已知
b
2＝
ac
，点
D
在边
AC
上，
BD
sin∠
ABC
＝
a
sin
C
.
（1）证明：
BD
＝
b
；解：证明：因为
BD
sin∠
ABC
＝
a
sin
C
，所以由正弦定
理得，
BD
·
b
＝
ac
，又
b
2＝
ac
，所以
BD
·
b
＝
b
2，又
b
＞0，所以
BD
＝
b
.（2）若
AD
＝2
DC
，求cos∠
ABC
.
反思感悟
本题选取两个三角形中的相关“角”，两个角互为补角即∠
BED
＋∠
ABC
＝π为切入口，通过两次计算相关角的余弦值，从而得到
a
，
b
，
c
的数量关系，结合已知条件及余弦定理求解.3.相关角算两次【例5】
在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，满
足
a
＝4，
C
＝2
B
.
（1）若
b
＝2，求
c
；
反思感悟
本题选取相关角为切入口，在两个三角形内分别表示出相关角
C
，
B
的正切值，再借助
C
＝2
B
以及其正切值的等量关系，取得问题
的关键点，获得结论.技法3
“面积”算两次1.同一面积算两次【例6】
△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若△
ABC
的面积
S
＝（
b
＋
c
）2－
a
2，则sin
A
＝
.
反思感悟
本题以三角形的面积为突破口，采用“算两次”的方法对面积进
行表示，从而得到等量关系进而得解.2.相关面积算两次【例7】
在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
点
D
为线段
AB
的中点，
a
＋
b
＝5，∠
ACB
＝120°，∠
ACD
＝30°，
则
a
＝
.
反思感悟
本题的解法多样，但由于
D
为线段
AB
的中点，此时△
ADC
和△
BDC
面积相等，如果把面积作为解题“桥梁”，在两个三角形中进行
面积的表示，充分运用“算两次
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