2026版三维设计一轮高中总复习数学同课异构-重难专攻（一）　函数中的构造问题

重难专攻（一）函数中的构造问题

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出

现（同构法构造函数也在解答题中出现），通过已知等式或不等式的

结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.技法1

利用

f

（

x

）与

xn

构造【例1】

（1）已知偶函数

f

（

x

）（

x

≠0）的导函数为f'（

x

），且

满足

f

（－1）＝0，当

x

＞0时，2

f

（

x

）＞xf'（

x

），则使得

f

（

x

）

＞0成立的

x

的取值范围是

⁠；（－1，0）∪（0，1）

（2）设

f

（

x

）是定义在R上的偶函数，当

x

＜0时，

f

（

x

）＋xf'

（

x

）＜0，且

f

（－4）＝0，则不等式

xf

（

x

）＞0的解集

是

⁠.（－∞，－4）∪（0，4）

解析：构造

F

（

x

）＝

xf

（

x

），则F'（

x

）＝

f

（

x

）＋xf'

（

x

），当

x

＜0时，

f

（

x

）＋xf'（

x

）＜0，可以推出当

x

＜0

时，F'（

x

）＜0，∴

F

（

x

）在（－∞，0）上单调递减.∵

f

（

x

）为偶函数，

y

＝

x

为奇函数，∴

F

（

x

）为奇函数，∴

F

（

x

）在（0，＋∞）上也单调递减.根据

f

（－4）＝0可得

F

（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数

F

（

x

）的图

象如图所示，根据图象可知

xf

（

x

）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.

技法2

利用

f

（

x

）与e

x

构造【例2】

（2024·汕头一模）已知

f

（

x

）为定义在R上的可导函数，f'

（

x

）为其导函数，且

f

（

x

）＜f'（

x

）恒成立，其中e是自然对数的

底数，则（

）A.

f

（2024）＜e

f

（2025）B.e

f

（2024）＜

f

（2025）C.e

f

（2024）＝

f

（2025）D.e

f

（2024）＞

f

（2025）

a

＜

b

2.已知定义在R上的函数

f

（

x

）满足

f

（

x

）＋f'（

x

）＞0，且有

f

（3）＝3，则

f

（

x

）＞3e3－

x

的解集为

⁠.解析：设

F

（

x

）＝

f

（

x

）·e

x

，则F'（

x

）＝f'（

x

）·e

x

＋

f

（

x

）·e

x

＝e

x

[

f

（

x

）＋f'（

x

）]＞0，∴

F

（

x

）在R上单调递增.又

f

（3）

＝3，则

F

（3）＝

f

（3）·e3＝3e3.∵

f

（

x

）＞3e3－

x

等价于

f

（

x

）·e

x

＞3e3，即

F

（

x

）＞

F

（3），∴

x

＞3，即所求不等式的解集为

（3，＋∞）.（3，＋∞）

3.设

f

（

x

）是定义在R上的偶函数，且

f

（1）＝0，当

x

＜0时，有xf'

（

x

）－

f

（

x

）＞0恒成立，则不等式

f

（

x

）＞0的解集为

⁠

⁠.

（－

∞，－1）∪（1，＋∞）

利用变量构造具体函数【例4】

（1）（2024·淮南一模）若0＜

x

1＜

x

2＜1，则（

）A.

＞ln

x

2－ln

x

1B.

＜ln

x

2－ln

x

1C.

x

2

＞

x

1

D.

x

2

＜

x

1

A.e

y

－

x

＞1B.e

y

－

x

＜1C.e

y

－

x

－1＞1D.e

y

－

x

－1＜1

解题技法

若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置

于等号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.

若2

x

－2

y

＜3－

x

－3－

y

，则（

）A.ln（

y

－

x

＋1）＞0B.ln（

y

－

x

＋1）＜0C.ln｜

x

－

y

｜＞0D.ln｜

x

－

y

｜＜0

通过数值构造具体函数

b

＜

c

＜

a

解题技法

当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的

共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数

值，然后利用函数的单调性比较大小.

已知

a

＝e－0.02，

b

＝0.01，

c

＝ln1.01，则（

）A.

c

＞

a

＞

b

B.

b

＞

a

＞

c

C.

a

＞

b

＞

c

D.

b

＞

c

＞

a

同构法构造函数

1

解析：令

f

（

x

）＝0得，

k

＝

x

e

x

－

x

－lnx

＝elnx

·e

x

－

x

－lnx

＝elnx

＋

x

－

x

－lnx

，令

x

＋lnx

＝

t

，所以

t

∈R，所以

k

＝e

t

－

t

，令φ（

t

）＝e

t

－

t

，φ'（

t

）＝e

t

－1，令φ'（

t

）＞0，得

t

＞0，令φ'（

t

）＜0，得

t

＜

0，所以φ（

t

）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递

减，所以φ（

t

）min＝φ（0）＝1，且当

t

→－∞时，φ（

t

）→＋∞，当

t

→＋∞时，φ（

t

）→＋∞，所以

k

＝1.

已知函数

f

（

x

）＝

xa

－

a

lnx

（

a

＞0），若当

x

∈（1，e2）时，

f

（

x

）≤e

x

－

x

恒成立，则实数

a

的最大值是（

）A.1B.eC.

D.e2

课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.（2024·潍坊一模）设

f

（

x

）是定义在R上的函数，其导函数为f'

（

x

），满足

f

（

x

）－xf'（

x

）＜0，若

a

＝2

f

（2），

b

＝

f

（4），

则（

）A.

a

＜

b

B.

a

＞

b

C.

a

＝

b

D.

a

，

b

的大小无法判断12345678910111213141516

123456789101112131415162.（2024·周口模拟）已知定义在R上的函数

f

（

x

）的导函数为f'

（

x

），对任意

x

∈R满足

f

（

x

）＋f'（

x

）＜0，则下列结论一定正

确的是（

）A.e2

f

（2）＞e3

f

（3）B.e2

f

（2）＜e3

f

（3）C.e3

f

（2）＞e2

f

（3）D.e3

f

（2）＜e2

f

（3）解析：

构造函数

g

（

x

）＝e

xf

（

x

），则g'（

x

）＝e

x

[f'（

x

）＋

f

（

x

）]，因为

f

（

x

）＋f'（

x

）＜0，故g'（

x

）＜0，因此可得

g

（

x

）在R上是减函数，由于2＜3，故

g

（2）＞

g

（3）⇒e2

f

（2）

＞e3

f

（3），故选A.123456789101112131415163.（2024·临川模拟）已知

x

＞0，

y

＞0，且e2

x

－e

y

＞sin2

x

－sin

y

，

则（

）A.2

x

＜

y

B.2

x

＞

y

C.

x

＞

y

D.

x

＜

y

解析：

设

f

（

t

）＝e

t

－sin

t

，

t

＞0，f'（

t

）＝e

t

－cos

t

，当

t

＞

0时，f'（

t

）＞0恒成立，所以

f

（

t

）在（0，＋∞）上单调递增，

原不等式变形为e2

x

－sin2

x

＞e

y

－sin

y

，即

f

（2

x

）＞

f

（

y

），所

以2

x

＞

y

.故选B.12345678910111213141516

A.

b

＜

c

＜

a

B.

c

＜

a

＜

b

C.

c

＜

b

＜

a

D.

b

＜

a

＜

c

123456789101112131415165.设函数f'（

x

）是奇函数

f

（

x

）（

x

≠0）的导函数，

f

（－1）＝－

1.当

x

＞0时，f'（

x

）＞1，则使得

f

（

x

）＞

x

成立的

x

的取值范围是

（

）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）12345678910111213141516解析：

由f'（

x

）＞1（

x

＞0），可得f'（

x

）－1＞0，令

g

（

x

）

＝

f

（

x

）－

x

，则g'（

x

）＝f'（

x

）－1＞0，故

g

（

x

）在（0，＋

∞）上单调递增.因为

f

（－1）＝－1，所以

g

（－1）＝

f

（－1）＋

1＝0，又因为

f

（

x

）为奇函数，所以

g

（

x

）＝

f

（

x

）－

x

为奇函

数，所以

g

（1）＝0，且在区间（－∞，0）上

g

（

x

）单调递增.所

以使得

f

（

x

）＞

x

，即

g

（

x

）＞0成立的

x

的取值范围是（－1，

0）∪（1，＋∞）.故选B.123456789101112131415166.（多选）设

f

（

x

），

g

（

x

）分别是定义在R上的奇函数和偶函

数，f'（

x

），g'（

x

）为其导函数，当

x

＜0时，f'（

x

）·

g

（

x

）＋

f

（

x

）·g'（

x

）＜0且

g

（－3）＝0，则使得不等式

f

（

x

）·

g

（

x

）

＜0成立的

x

的取值范围是（

）A.（－∞，－3）B.

（－3，0）C.（0，3）D.

（3，＋∞）12345678910111213141516解析：

∵

f

（

x

），

g

（

x

）分別是定义在R上的奇函数和偶函

数，∴

f

（－

x

）＝－

f

（

x

），

g

（－

x

）＝

g

（

x

），令

h

（

x

）＝

f

（

x

）·

g

（

x

），则

h

（－

x

）＝－

h

（

x

），故

h

（

x

）＝

f

（

x

）·

g

（

x

）为R上的奇函数，∵当

x

＜0时，h'（

x

）＝f'（

x

）·

g

（

x

）＋

f

（

x

）·g'（

x

）＜0，∴

h

（

x

）＝

f

（

x

）·

g

（

x

）在区间（－∞，

0）上单调递减，∴奇函数

h

（

x

）在区间（0，＋∞）上也单调递

减，由

g

（－3）＝0，∴

h

（－3）＝－

h

（3）＝0，作出

h

（

x

）的

草图，如图所示，∴当

x

∈（－3，0）∪（3，＋∞）时，

h

（

x

）＝

f

（

x

）·

g

（

x

）＜0，故选B、D.123456789101112131415167.（2024·南昌模拟）已知定义在实数集R上的函数

f

（

x

）满足

f

（1）＝4且

f

（

x

）的导函数满足f'（

x

）＜3，则不等式

f

（ln

x

）＞

3ln

x

＋1的解集为

⁠.解析：设

g

（

x

）＝

f

（

x

）－3

x

，则g'（

x

）＝f'（

x

）－3＜0，所

以函数

g

（

x

）是减函数，则将原不等式变形为

f

（lnx

）－3lnx

＞4

－3，即

g

（lnx

）＞

g

（1），由单调性得lnx

＜1，解得0＜

x

＜e.（0，e）

123456789101112131415168.（2024·苏州一模）若定义域为R的函数

f

（

x

）满足f'（

x

）＞

f

（

x

），求不等式e

f

（ln

x

）－

xf

（1）＜0的解集.

12345678910111213141516

A.（－

，＋∞）B.

（－

，＋∞）C.（－1，＋∞）D.

（－∞，

）12345678910111213141516

1234567891011121314151610.若存在

x

，

y

∈（0，＋∞）使得

x

ln（2

ax

）＋

y

＝

x

ln

y

，则实数

a

的最大值为（

）A.

B.

C

.

D.

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.（多选）（2024·厦门模拟）已知

a

，

b

∈（0，e），且

a

＜

b

，则

下列式子中可能成立的是（

）A.

a

e

b

＜

b

e

a

B.

a

e

b

＞

b

e

a

C.

a

ln

b

＜

b

ln

a

D.

a

ln

b

＞

b

ln

a

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

c

＜

a

B.

c

＜

b

C

.

a

＜

b

D.

a

＜

c

＜

b

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.（2024·深圳模拟）已知

a

，

b

，

c

∈（0，1），且

a

2－2ln

a

＋1＝

e，

b

2－2ln

b

＋2＝e2，

c

2－2ln

c

＋3＝e3，其中e是自然对数的底

数，则

a

，

b

，

c

的大小关系是

⁠.

a

＞

b

＞

c

1234567891011121314151614.已知定义域为R的函数

f

（

x

）的图象连续不断，且