专题19.2立方根（高效培优讲义）数学沪教版2024八年级上册

专题19.2立方根教学目标知道立方根的概念，会用数学符号表示数的立方根；会求一个数的立方根；利用立方根解方程；3.掌握立方根的特点与性质；4.由被开方数与它的立方根的数量关系，到总结立方根的小数点移动规律。教学重难点1.重点（1）由立方到开立方；明确开立方与立方互为逆运算；（2）立方根的概念、表示；求一个数的立方根；（3）立方根的特点，并与平方根、算术平方根的特点对比理解。2.难点（1）立方根的性质及其应用；（2）立方根小数点移动问题；（3）立方根的综合应用。知识点1立方根1.问题引入：有一个体积为1000cm³的正方体纸盒，它的棱长是多少?设这个正方体纸盒的棱长是xcm,根据已知条件，得z³=1000.因为10³=1000,所以这个正方体纸盒的棱长是10cm.这实际上是“已知一个数的立方，求这个数”的问题.2.立方根①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数.②开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数.开立方和立方互为逆运算.【即学即练】A．表示－8的立方根 B．结果等于－2【答案】D【解析】略2．8的立方根是（

）A．2 B． C． D．64【答案】A【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．故选：A．【点睛】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：的立方根是．3．求下列各数的立方根：（4）利用立方根的含义表示的立方根，从而可得答案；所以的立方根是，所以的立方根是，【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，掌握“立方根的含义”是解题的关键.4．求下列各式中x的值：(2)x＝15．下列说法正确的是（

）．A．是125的立方根 B．64的立方根是【答案】D【分析】利用立方根的定义和性质依次判断即可；【详解】解：A．是125的立方根，原选项计算错误；B.64的立方根是，原选项计算错误；C.是15.625的立方根，原选项计算错误；故选：D．【点睛】本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．A．8 B．2 C．9 D．【答案】C【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可．故选∶C．知识点2立方根的特点与性质立方根的特点①正数的立方根是正数；②0的立方根是0;③负数的立方根是负数.④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.2.立方根的性质3.立方根等于它本身的数是0或±1.【即学即练】1．下列说法中，正确的是（）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同【答案】D【分析】立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．依此即可求解．【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故选项错误；B、负数有立方根，故选项错误；C、一个负数有立方根，负数没有平方根，故选项错误；D、一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同是正确的，故选项正确．故选D．【点睛】考查了立方根．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．2．判断下列说法是否正确（1）的立方根是2．（2）是27的立方根．李蕾认为（1）错误，（2）正确．请问李蕾的观点正确吗？如果不正确，请说明理由．【答案】李蕾的观点错误，理由见解析【分析】根据立方根的定义进行计算即可得出答案.【详解】李蕾的观点错误理由如下：的立方根即8的立方根为2，故（1）错误；27的立方根是3，故（2）错误.综上所以李蕾的观点错误.【点睛】本题考查的是立方根的知识，熟知立方根的计算方法是解题的关键.【答案】故答案为：．A．7 B．7 C．±7 D．无意义【答案】A【分析】根据开立方与立方互为逆运算的关系，求解即可.故本题答案应为：A.【点睛】开立方与立方互为逆运算的关系是本题的考点，熟练掌握其关系是解题的关键.5．一个数的立方等于它本身，这个数是．【答案】0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵(﹣1)3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．6．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（

）A．0 B．正数 C．0和1 D．1【答案】A【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题．【详解】0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是，一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0．故选：A.【点睛】本题考查立方根；平方根，掌握立方根和平方根的定义是关键.知识点3立方根的小数点移动问题1.被开方数与它的立方根的数量关系2.立方根小数点移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位.【即学即练】【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解．本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质．2．（1）填表（2）由上表可以发现：若被开方数扩大为原来的______倍，则他的立方根扩大为原来的______倍．【分析】本题考查立方根定义和性质；（1）根据立方根的定义进行计算即可求解．（2）由于被开方数的小数点的每移动三位，相应的立方根的小数点的相应移动一位，由此即可解决问题．（3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解．【详解】解：（1）填表题型01求立方根【典例1】．的立方根是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】对﹣8进行开立方运算即可．－8的立方根是－2．

故选：A．【点睛】本题主要考查立方根的定义，熟记一些常见的数的立方根是解题关键．【变式1】．求下列各数的立方根：(1)－1000；(2)－343；【答案】(1)－10(2)－7(3)【解析】略【变式2】．求下列各数的立方根：(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握定义是解题关键．（1）根据立方根的定义进行计算即可；（2）根据立方根的定义进行计算即可；（3）根据立方根的定义进行计算即可．【变式3】．求下列各式的值：【分析】利用立方根的定义解答．【详解】解：（1）∵（0.3）3=0.027，【点睛】此题考查求一个数的立方根，正确掌握立方根的定义是解题的关键．题型02根据立方根解方程【典例1】．求下列各式中的x的值．【分析】本题考查了求一个数的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式1】．求下列各式中x的值：【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，（1）根据立方根的性质求解即可；（2）根据立方根的性质求解即可；（3）根据立方根的性质求解即可；（4）根据立方根的性质求解即可．题型03立方根概念、表示综合辨析A．5的负立方根 B．的立方根C．5的立方根的相反数 D．的相反数【答案】C故选C【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键．【变式1】．下列说法中，正确的是（

）A．没有立方根 B．1的立方根是C．是2的立方根 D．3的立方根是【答案】C【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可．【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误；B、的立方根是，故此选项错误；C、是2的立方根，故此选项正确；D、的立方根是，故此选项错误；故选：C．【变式2】．下列说法正确的是（

）A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．任何一个数的立方根都是非负数D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根【答案】D【分析】根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项即可作出判断．【详解】A．一个数的立方根只有1个，故A错误；B．负数有立方根，故B错误；CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．【变式3】．下列语句正确的是（

）A．的立方根是 B．是27的负的立方根【答案】C根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意；B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；故选：C．题型04求立方根的应用【典例1】．－64的立方根是，－是的立方根，－3的立方根是．【分析】根据立方根的定义分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的定义进行解题．【答案】【分析】根据立方根的定义即可求解．【详解】∵（）3=故答案为：．【点睛】此题主要考查立方根，解题的关键是熟知立方根的定义．【分析】根据立方根的定义求解即可.【详解】（1）83=512又23=8（2）73=343【点睛】本题考查了立方根的定义.题型05已知一个数的立方根，求这个数或参数【典例1】．实数a的立方根是3，那么．【答案】【详解】解：∵实数a的立方根是3，故答案为：【答案】【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．故答案为：．【答案】【分析】先求出的值，即可进一步求解．【详解】解：∵是的立方根故答案为：【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键．【变式3】．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为．

题型06立方根等于它本身的数【典例1】．一个数的立方根等于它本身，这个数是（

）A．1 B． C．0或1 D．0或1或【答案】D【分析】本题考查了立方根的定义，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．根据特殊数的立方根直接找出，然后进行选择．【详解】解：立方根等于它本身是0或．故选：D．【变式1】．平方根等于本身的数是．算术平方根等于本身的数是．立方根等于本身的数是．【答案】00和10和【解析】略题型07立方根、平方根综合【典例1】．填空：(1)1的平方根为，立方根为，算术平方根为；(2)27的立方根是；【答案】±1113－2±2【分析】（1）由题意依次根据平方根和立方根以及算术平方根的性质进行分析计算即可；（2）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可；（3）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可；（4）由题意直接根据平方根的性质进行分析计算即可．故答案为：±1，1，1；故答案为：3；故答案为：；故答案为：±2．【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根以及算术平方根，熟练掌握平方根和立方根以及算术平方根的性质是解题的关键．A．9 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据立方根、算术平方根的定义求解即可．答案：C．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键．【变式2】．16的平方根是，的立方根是．【答案】±42【分析】根据平方根和立方根的定义解答【详解】16的平方根是，＝8，8的立方根是2，故填：，2【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【变式3】．下列说法中，错误的是（

）A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0【答案】A【解析】略【答案】​或∵​的立方根是​，故答案为：​或​．【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．【答案】4【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数得到的值，计算出这个正数，求得立方根即可．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，正确理解概念是解答本题的关键．【答案】105或104【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．

根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可．故答案为：105或104．【变式7】．已知x2＝1,求的值.所以的值是1(1)错因:.(2)纠错:.【答案】错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1，因为x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，＝＝1；当x＝－1时，＝＝－1，所以的值是1或－1.【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【详解】解：(1)此题错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1；(2)因为x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，＝＝1；当x＝－1时，＝＝－1，所以的值是1或－1.故答案为

(1).错在认为负数没有立方根，漏掉了当x＝－1时，＝－1，

(2).因为x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，＝＝1；当x＝－1时，＝＝－1，所以的值是1或－1.【点睛】本题考查求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．题型08立方根的性质及其应用；含参问题【答案】A【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可得出答案．故选：A．【答案】故答案为：．A．8 B．2 C．9 D．【答案】C【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可．故选∶C．【变式3】．下列各数，立方根一定是负数的是（

）【答案】C【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论．B．当a=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题的关键．【答案】C【分析】根据立方根的性质即可的解．故选：C．【答案】【分析】根据两个数的立方根互为相反数得出：2a－1=3b－1，推出2a=3b，即可得出答案．∴2a－1+1－3b＝0，∴2a－1＝3b－1，2a＝3b，∴=．【点睛】本题考查了立方根和相反数的概念，关键是由两个数的立方根互为相反数得出两个数互为相反数．A． B． C． D．【答案】C故选：C．【点睛】本题考查了相反数的定义，立方根以及解一元一次方程等知识，灵活利用立方根求解方程是解答本题的关键．【答案】0或﹣1或﹣∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．故答案为：0或﹣1或﹣．【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.题型09立方根、平方根综合求参数问题(1)求的值；(2)2【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值；熟练掌握其定义及性质是解题的关键．(1)求a，b，c的值；(2)【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c；（2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．∵c是的整数部分，【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键．题型10立方根的实际应用【典例1】．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？倍呢？【答案】2倍，3倍，倍【分析】根据正方体的体积和棱长的关系以及立方根的定义可得答案．【详解】解：设原正方体的棱长为，则体积为，【点睛】本题考查了立方根的定义及正方体体积与棱长之间的关系，熟练掌握立方根的定义是正确解答的关键．【变式1】．小红做了棱长为5cm的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大218cm3”则小明的盒子的棱长为cm【答案】7【分析】首先利用正方体的体积公式求出体积，再利用立方根的定义求值即可．【详解】小红做的正方体的盒子的体积是53=125cm3．则小明的盒子的体积是125+218=343cm3．设盒子的棱长为xcm，则x3=343∵73=343∴x=7故盒子的棱长为7cm．故答案为：7．【点睛】本题考查了正方体的体积等于边长的三次方和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式．【答案】7【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解．故答案为：7．题型11立方根小数点移动问题【答案】7.160﹣0.1542【分析】利用立方根性质判断即可得到结果．故答案为7.160；﹣0.1542【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．【变式1】．(1)填表：a0.0000010.001110000.010.1110100(2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大_____；(3)根据你发现的规律填空：【答案】(2)被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍；(3)①14.42，0.1442；②7.697.【分析】（2）由于被开方数的小数点的每移动三位，相应的立方根的小数点的相应移动一位，由此即可解决问题．（3）被开方数每移动3位，立方根就移动1位．利用此规律即可求解．【详解】（2）被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．所以：被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍；（3）①14.42，0.1442，②7.697．【点睛】本题考查立方根定义和性质，本题用到的知识点为：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向移动位；【答案】300；0.04；左(或右)，1；10a，【详解】（1）根据已知等式确定出所求式子的值即可；（2）根据已知等式确定出所求式子的值即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（4）根据得出的规律写出结果即可．（3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位；故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a；．本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的关系．解题关键是根据所给式子的特征得到被开方数与其立方根的小数点变化规律．一、单选题1．下面说法错误的是（

）A．2是8的立方根 B．是64的立方根【答案】B【分析】根据立方根的概念即可求出答案．【详解】A．2是8的立方根，故①正确；B．4是64的立方根，故②错误；故选：B．【点睛】本题考查了立方根的概念，解题的关键是正确理解立方根的概念，本题属于基础题型．2．若一个数的立方根是，则这个数是（

）【答案】B【详解】解：一个数的立方根是，故选：．【点睛】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键．3．下列计算错误的是（

）【答案】C【分析】运用立方根知识对各选项进行求解、辨别．选项不符合题意；选项不符合题意；选项符合题意；选项不符合题意，故选：．【点睛】此题考查了实数立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．A．0 B．16 C．12 D．4【答案】D【分析】先计算算术平方根，立方根，再进行减法运算．故选：D．【点睛】本题考查求算术平方根，立方根，正确计算是解题的关键．5．的立方根是（）A．2 B．2 C．8 D．8【答案】A故选A.【答案】B【分析】根据立方根的定义化简，再判断．故选B．7．若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成个大小相同的小正方体木块，则的值可以是（

）A．26 B．27 C．28 D．29【答案】B【分析】根据开立方运算，可得答案．故选：B．【点睛】本题考查了立方根的应用，能开立方是解题关键．【答案】D【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．故选：D．【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．二、填空题9．的立方根是．【答案】【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．∴1的立方根是，故答案为．【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．【答案】故答案为：．【答案】【分析】先求出的值，即可进一步求解．【详解】解：∵是的立方根故答案为：【点睛】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键．12．若一个实数的平方根与立方根是相等的，则这个实数一定是．【答案】0【分析】根据平方根和立方根的定义和性质，即可得出这个数．【详解】解：∵一个实数的平方根与立方根是相等的，∴这个实数一定是0．故答案为：0【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，知道0的平方根与它的立方根相等．【答案】4【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为，故答案为：4．【点睛】本题考查认识立体图形、立方根，熟知正方体的体积公式是解答此题的关键．【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．三、解答题15．求下列各式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟知求立方根的方法是解题的关键．（1）根据立方根的概念求解即可；（2）根据立方根的概念求解即可；（3）根据立方根的概念求解即可．16．求下列各数的立方根：(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据立方根的定义即可求解；（2）根据立方根的定义即可求解；（3）根据立方根的定义即可求解；（4）根据立方根的定义即可求解．∴的立方根是．【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义．17．求下列各式中的值：【答案】（1）0.2；（2）；（3）5【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案；（2）直接将3移项，合并再利用立方根的性质计算得出答案；（3）直接利用立方根的性质计算得出x1的值，进而得出x的值．【详解】解：（1）x3=0.008，则x=0.2；（2）x33=则x3=3+故x3=解得：x=；（3）（x1）3=64则x1=4，解得：x=5．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．18．已知2a+1的平方根是±3，1b的立方根为1．（1）求a与b的值；（2）求3a+2b的算术平方根．【答案】（1）a=4,b＝2；（2）3a+2b的算术平方根4．【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列式计算即可；（2）先计算3a+