浙教版七年级数学下册同步讲义专题31同底数幂的乘法(学生版+解析)

专题3.1同底数塞的乘法

曹目标导航

1、掌握同底数基的乘法及其逆用；

2、掌握哥的乘方运算及其逆用；

3、掌握积的乘方运算及其逆用；

4、掌握用科学记数法表示数的乘法；

现:知识精讲

知识点01同底数鬲相乘及其逆用

【知识点】

同底数算的乘法法则："'•。”=/"〃（其中”，〃都是正整数）.即同底数鼎相乘，底数不变，指数相加.

特别说明：

（1）同底数基是指底数相同的暴，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数鼎相乘时，也具有这一性质，即•优（m,/?,〃都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个显分解成两个或多个同底数辕的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指

数之和等于原来的哥的指数。即（相，〃都是正整数）.

【典型例题】

例1.（2023秋•湖南长沙•八年级统考期末）若2x2桁x23"=2%则"的值为（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2023秋•湖南长沙•八年级统考期末）若10'=〃，1。5"2=]00"，则]o）=

例3.（2023春・全国•七年级专题练习）⑴已知d"=4,/=3，求产”的值;

（2）已知2川=64,求x.

【即学即练】

1.（2023秋•广东汕头•八年级统考期末）计算：（）

A./B.“6C.2/D.2a6

2.（2021春•江苏常州•七年级校考期中）若3x32x3—8,则〃?的值是（）.

A.6B.5C.4D.3

3.（2023春•全国•七年级专题练习）计算:（p6）+（p）2=

4.（2022秋•河北秦皇岛•七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：2?=2x2，23=2x2x2,

22X23=（2X2）X（2X2X2）=25.

（1）用相同方法计算：24X25=：

（2）猜想：/x/=：

（3）利用上述结论，计算：V”x/xx〃=.

5.（2023春•全国•七年级专题练习）我们约定:Mb=l0axi火例如3*4=lUxIO,=i（）7

（1）试求2大）和3力7的值.

⑵猜想：与〃★〃的运算结果是否相等？说明理由.

知识点02鬲的乘方运算及其运用

【知识点】

幕的乘方法则

（其中相，〃都是正整数）.即哥的乘方，底数不变，指数相乘.

特别说明：（1）公式的推广：（"'）"）〃="""〃（4/（）,均为正整数）

（2）逆用公式：=（/*）"=（d）'",根据题目的需要常常逆用事的乘方运算能将某些

塞变形，从而解决问题.

【典型例题】

例1.（2U22秋•黑龙江哈尔滨•八£级校考期中）下列运算正确的是（）

A.炉+炉=2/B.(-丁)“=婢C.(xy)m=x)^,nD.x2-x4=x8

例2.（2022秋•全国•八年级专题练习）已知162x4126=2",（102）1=1012,则"+），=

例3.（2023秋•安徽宣城•七年级统考期末）已知3m=6,3"=2,求32fl的值

【即学即练】

1.（2022•浙江•九年级自主招生）计算（-4）2的结果是（）

A.-a5B.a5C.a6D.-a6

2.（2021春•内蒙古包头•七年级包头市第二十九中学校考期中）已知a=8产，2=27胤,c=9%则。、2

的大小关系为（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<h<cD.a<c<b

3.（2021春•江苏苏州•七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知j=32,〃"=2,则优向

4.（2022秋•江苏南通•八年级校联考期中）已知10“=20,IO（y'=5O,则a+加+3=一

5.（2023春•全国•七年级专题练习）计算：

⑴（-W；

（〃是正整数）；

（3）-«2+（/）.

知识点03积的乘方运算及其逆用

【知识点】

⑴根据以上运算过程和结果，我们发现：22=3

4；

’的大小关系;

⑵仿照（1）中的规律，计算并判断与-

13yl

’的值.

【即学即练】

1.（2023春•七年级课时练习）下列各式中,计算错误的个数是（）

（1）〃6.。6=2〃6；（2）（3），+m2=m345;（4）（2《/）=

A.1B.2C.3D.4

/〜\2O22zc、O）23

2.（2022秋叫川资阳•八年级统考期末）计算-3|x-2-的结果是（）

IMI5）

5c35

A.——B.-2-C.—D.2-

135135

3.（2022秋•山东临沂•八年级校考阶段练习）计算：上〃%-士。=__________

【32）

4.（2022春・江苏无锡•七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若""=〃"（〃>0,且4H1）,则加二〃.利

用这个结论解决下列问题：设2，"=3,2"=6,2"=12.现给出，〃，小p三者之间的三个关系式：①〃?+〃=2〃，

②〃z+〃=2p-3,③〃+p=4〃2.其中正确的是.（填编号）

5.（2023春•江苏•七年级专题练习）若且g1,/〃、〃是正整数），则〃?=〃.利用上面结论解

决F面的问题：

（1）如果2+8*•16*=25,求x的值;

(2)如果2V+2+2川=24，求x的值:

知识点04用科学记数法表示数的乘法

【知识点】

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的。次幕相乘的形式(1W|a|<10,a不为分数

形式，n为整数)，这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科

学记数法免去浪费很多空间和时间。

【典型例题】

例1.(2022•湖北随州•统考中考真题)2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈

冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7xl()3m/s,则

中国空间站绕地球运行2xl()2s走过的路程(m)用科学记数法可表示为()

A.15.4x10$B.1.54xl06C.15.4xl()6D.I.54xl()7

例2.(2020春•湖南株洲•七年级统考期末)计算式子的结果用科学记数法表示为

例3.(2023春,全国•七年级专题练习)计算(结果用科学记数法表示):

⑴8.4x1炉-4.8x104；

(2)(5.2x10,)x(2.5x10).

【即学即练】

1.（2022・山西九年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面.到目

前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为

21分20秒，已知光速约为3x10'米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（）

A.3.84x10"米B.3.84x108米C.3.784x10"米D.3.784X］。'米

2.（2021•山东日照•统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，"奇偶归一猜想〃就是其中之一，它至今未被

证明，但研究发现，对于任意一个小于7x10”的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2,

得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1.对任意正整数〃?，按照上述规则，恰好实施5

次运算结果为1的机所有可能取值的个数为（）

A.8B.6C.4D.2

3.（2022秋•八年级课时练习）一个长方体的长是NxlOcm,宽是1.5xl0%m,高是L3xlO%m,则它的体

积是m3.

4.（2022秋•江苏扬州•七年级校考期中）马拉松（Marathon）国际上芈常普及的长跑比赛项目，全程距离26

英里385码，折合约为42000米，川科学记数法表示42000为.

5.（2022秋•上海宝山•七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示.计算中一般用KB

（千字节）、MB（兆字节）或GB（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为lKB=2i°B，

lMB=2i°KB，IGBuWMB.一种新款电脑的硬盘存储容量为160GB，它相当于多少千字节？（结果用ax2n

千字节表示，其中l<a<2,n为正整数）

di分层分

题组A基础过关练

1.（2023春•江苏•七年级专题练习）计算：结果为（）

A.一。9B./c.・/D./

2.（2022春•湖南娄底•七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（）

A.尸=阳B.卜曲27=而6

C.D.（a，），*

3.（2022秋•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）若""=2,/=3,则/"”=（）

A.5B.6C.9D.8

4.（2022•广东云浮•校联考三模）已知4"=3，8m=5,M22W+3/M=（）

A.1B.2C.8D.15

5.（2022秋•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）（_2）L11=.

6.（2022秋•江西上饶•八年级校考阶段练习）已知¥=54=9,则4〃”"的值为.

7.（2021春・江苏南京•七年级南京钟英中学校考期中）在（何3）2=/卜3）2的运算过程中，依据是.

8.（2022秋•上海闵行•七年级校联考期中）一种计算机每秒可做4x10*次运算，它工作3x10、秒运算的次数

为（用科学记数法表示）

9.（2023春•全国•七年级专题练习）计算

⑴（-3）7.（-3『；

（2）aa7-a4a4;

（3）-b2m^b2m+';

⑷Px5.

10.（2023春・全国•七年级专题练习）计算:

⑴叫向；

⑵".（一"

⑶――x；

(4)W—l)2(m—1)；

(5)(y+2)2(y+2)4(y+2).

题组B能力提升练

1.（2023秋•河北沧州•八年级统考期末）已知4-,2y="&=曲,那么％,y,z满足的等量关系是（）

A.2x+y=zB.xy=3zC.2x+y=3zD.2xy=z

2.（2023春•江苏•七年级专题练习）已知。'"=2,/=3,则厂+2”的值是（）

A.6B.18C.36D.72

3.（2022•浙江•九年级自主招生）下列算式，正确的个数是（）

@a3-a4=«120a5+«5=«10③„=a6（4）（-2a2）3=6a6

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.（2022秋•河北邢台•八年级校考阶段练习）若攵为正整数，则（H）s表示的意义为（）

A.5个心相加B.2个/相加C.7个攵相乘D.5个攵2相乘

5.（2022秋•河南周口•八年级统考期末）若/〃=2（"为正整数），则的值为.

6.（2022秋•四川达州•八年级校考期中）若GI+|2y+l|=0,则-2b产2的值是.

7.（2023秋•广东广州•八年级华南师大附中校考期末）若10“=310h=2,则1。2"乩=.

8.（2022秋•山东临沂•七年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于-1,记为i2=—1，那么这个数i叫做

虚数单位，把形如。+历（小方为实数）的数叫做复数，其中。叫做这个复数的实部，〃叫做这个复数的虚

部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算:（2+i）+（3-5i）=（2+3）+（l-5）i=5—4i.

根据以上信息，下列各式：

①『=-八

②J=l;

(3)(1+/)+(3-4/)=4-3Z

④i+产+/+/+..・+产19=一］

其中正确的是(填上所有正确答案的序号).

9.(2022秋•全国•八年级专题练习)计算:

(1)-(3W2H/?3)2；

⑶(-3/)'+(2/广

10.(2022秋♦陕西汉中•七年级校考期中)由乘方的定义可知：a"=4xax…xa(〃个〃相乘).观察下列算

式回答问题：

22X32=(2X2)X(3X3)=(2X3)X(2X3)=(2X3)\

23X34=(2X2X2)X(3X3X3)=(2X3)X(2X3)X(2X3)=(2X3)?,

24X34=(2X2X2X2)X(3X3X3X3)=(2X3)X(2X3)X(2X3)X(2X3|=(2X3)4.

(1)JZZ2x/z2=.

/.\2022

(2)计算：(-2严X；.

题组c培优拔尖练

1.(2023秋•广东深圳•七年级深圳外国语学校校考期末)已知3“=〃?，27”=〃，a,力均为正整数，则3?。+岫

=()

A.mn2B.m2nC.3m2n2D.m2n2

2.（2022秋•云南昭通•八年级校考期末）已知100"=20，1000"=50,则3：3的值是（）

59

A.0B.-C.3D.-

22

3.（2023春•七年级课时练习）已知，a=235=3"，c=433,则〃、〃、c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

4.（2020•甘肃天水•统考中考真题）观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;...

已知按一定规律排列的一组数：2100,210,,2,02,■,2,99,2200,若2«=S,用含S的式子表示这组数据的和是

（）

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2

5.（2023春•江苏•七年级专题练习）若优>=d3>。且小、〃是正整数）,则加=〃.利用上面结论解

决下面的问题：

（1）如果8<=2,，求x的值;

⑵如果2"2+2加=24，求x的值：

⑶若x=5"'-3，"4-25”'，用含x的代数式表示y.

6.（2022秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）规定两数m〃之间的一种运算，记作（。/）,如果"=〃，那么

（a,b）=c.例如：因为2?=8,所以（2,8）=3.

⑴根据上述规定，填空：（464）=：（2,：）=；（3,1）=；

⑵小明在研究这种运算时发现一个特征；(3",4")=(3,4),并作出了如下的证明：

•.•设(3,4)=x,则3'=4,

/.(3vf=4\即(3")'=4",

(3",4")=x

/.(3",4")=(3,4)

试参照小明的证明过程，解决下列问题：

①计算(&1000)-(32,100000)；

②请你尝试运用这种方法，写出［7,5),(7,9),(7,45)之间的等量关系.并给予证明.

专题3.1同底数孱的乘法

粤目标导航

1、掌握同底数塞的乘法及其逆用；

2、掌握暴的乘方运算及其逆用；

3、掌握积的乘方运算及其逆用：

4、掌握用科学记数法表示数的乘法；

器必知识精讲

知识点01同底数嘉相乘及其逆用

【知识点】

同底数事的乘法法则：（其中团，〃都是正整数）.即同底数暴相乘，底数不变,

指数相加.

特别说明：

（1）同底数晶是指底数相同的晶，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数呆相乘时，也具有这一性质，即。叫优・〃〃=〃*"+〃（"?，凡p

都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个株分解成两个或多个同底数辕的积，其中它们的底数与原来的底数

相同，它们的指数之和等于原来的幕的指数.即。〃'+〃=〃•〃（5，"都是正整数）.

【典型例题】

例1.（2023秋•湖南长沙•八年级统考期末）若2x2"&23i=2%则的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据同底数界的乘法法则变形,得到24M=2t从而有4〃-2=10,解之即可.

【详解】解:2x2'"x2Jm+l=2,+/B+3W+,=24m+2=2'°，

4/72+2=10,

解得：ni=2,

故选B.

【点睛】本题考查了同底数昂的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则进行变形.

例2.（2023秋•湖南长沙•八年级统考期末）若10、=〃，10-=100必，则10'=•

【答案】b

【分析】将已知等式利用同底数辕的乘法法则变形，从而得到结果.

【详解】解：•.KF=a,

•••1（T"2=10'.|0v102=tfl0y-100=1OOab,

/.W=b,

故答案为：b.

【点睛】本题考查了同底数辕的乘法，解题的关键是灵活运用公式进行变形.

例3.（2023春•全国•七年级专题练习）⑴已知〈严=4,a”=3,求〃…的值：

⑵已知2川=64,求x.

【答案】（1）12；（2）x=5

【分析】（1）根据同底数幕的乘法进行计算即可求解；

（2）根据同底数辕的乘法进行计算即可求解.

【详解】解：（1）

=4x3

=12.

（2）因为2向=2、2=64,

所以2*=32=25.

所以x=5.

【点睛】本题考查了逆用同底数冢的乘法，掌握同底数暴的乘法的运算法则是解题的关键.

【即学即练】

1.（2023秋•广东汕头•八年级统考期末）计算：/（）

A./B.a6C.2/D.2«6

【答案】B

【分析】直接根据同底数寐的乘法法则：同底数'曷相乘，底数不变，指数相加，即可得到答

案.

【详解】解：根据题意得：

。3./=产=〃6,

故选:B.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，熟练掌握同底数霖的乘法法则：同底数塞相乘，底数

不变，指数相加，是解题的关键.

2.（2021春・江苏常州•七年级校考期中）若3x32x3'"=3,，则m的值是（）.

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】根据同底数塞乘法法则进行计算即可.

【详解】解：•」3'32'3”=3«，

1+2+“7=8

解得：zw=5,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数暴的乘法，熟练掌握同底数辕的乘法法则是解决此题的关键.

3.（2023春・全国•七年级专题练习）计算：（-*）.（-而2=.

【答案】—/

【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用暴的除法公式计算.

【详解】（一不）+（一加2=一（〃6+。2）=_a\

故答案为:-小

【点睛】本题考查累的运算，正确运用公式是解题的关键.

4.（2022秋•河北秦皇岛•七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：22=2x2，

2'=2x2x2，22X25=（2X2）X（2X2X2）=25.

（1）用相同方法计算：24X25=：

（2）猜想：a3xa4=;

（3）利用上述结论，计算：x"'xx"x/=.

【答案】29/6"〃

【分析】（1）根据题干所给方法即可得到答案；

（2）分析总结所给方法即可得到答案；

（3）利用（2）的结论济宁计算即可得到答案.

【详解】解：（1）24X25=（2X2X2X2）X（2X2X2X2X2）=29,

故答案为:29;

（2）a3xa-a"，=a'，

故答案为：27:

（3）x"xx"xx〃=L+J

故答案为：

【点暗】本题考查了同底数箱的乘法，熟练掌握相关计算法则是解题关键.

ab

5.（2023春•全国•七年级专题练习）我们约定：a^b=10xl0f例如3*4=10、x104=IO'.

⑴试求2*5和3力7的值.

⑵猜想：a★〃与的运算结果是否相等？说明理由.

【答案】⑴IO,，IO?。

⑵相等，理由见解析

【分析】(1)根据〃★6=l(fxl06,分别代入。、b的值,再根据同底数根的乘法计算即可;

(2)根据.★b=l(FxlO&=l(r+”可得失10frxi0"=10H〜进而得出答案.

【详解】(1)2*5=1O2X1O5=1O\

3*17=ltfX1O,7=1O20：

(2)〃★人与〃的运算结果相等，理由：

a^b=\(y'x\0b=\(y+b,

b^a=Whx\O(,={(/+a,

〃★/?=b'ka.

【点睛】本题考查塞的乘法运算和新型运算法则，熟练掌握同底数鼎相乘，底数不变，指数

相加是解题的关键.

知识点02累的乘方运算及其运用

【知识点】

幕的乘方法则

(〃〃,)"=4,(其中")都是正整数).即幕的乘方,底数不变,指数相乘.

特别说明：(1)公式的推广：(〃"0,八〃，〃均为正整数)

(2)逆用公式：优加=("")"=(〃〃『，根据题目的需要常常逆用耗的乘

方运算能将某些幕变形，从而解决问题.

【典型例题】

例1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中)下列运算正确的是()

A.寸+工3=2/B.(-丁?=婢C.(xy)n,=xyn,D.尸.丁二/

【答案】B

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的

指数不变；同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数大变，指数相加；积的乘方法则：把

每一个因式分别乘方，再把所得的基相乘.

【详解】解：A、?+?=2/,故原题计算错误；

B、(-X5)4=X20,故原题计算正确：

C、(外尸=亡)严，故原题计算错误;

D、x2x4=xS故原题计算错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查r合并同类项、同底数暴的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则.

例2.（2022秋•全国•八年级专题练习）已知6x43x26,（102）'=10,2,则2x+），=.

【答案】27

【分析】把6x43x26=221与（io?=都化为底数与右边相同，再得至|]2%=21,），=6,

再代入求值即可得到答案.

【详解】解：6x43x26=221,

28x26x26=22x-1»

•28+6+6_，

21=20,

2x=21.

v（102）,=1012,

A102y=1012,

..2y=12,

y=6.

/.2x+y=21+6=27,

故答案为：27.

【点睛】本题考查的是同底数累的乘法运算，哥的乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用

同底数冢与幕的乘方运算解决问题是解本题的关键.

例3.（2023秋•安徽宣城•七年级统考期末）已知3"=6,3"=2,求32一m的值

【答案】24

【分析】由同底数幕的乘法法则的逆运算和负整数指数基的定义得出32小1=（3m）2x3"xg,

即可得出结果.

【详解】解：3"'=6，3"=2,

.32MT=（3小）2X3"X=6?X2X』=24.

33

【点睛】本题主要考查塞的乘方的逆应用，同底数塞的乘除法运算的逆运用，掌握塞的乘方

的运算是解题的关键.

【即学即练】

1.（2022•浙江•九年级自主招生）计算『的结果是（）

A.-a5B.a5C./D.-a6

【答案】C

【分析】根据幕的乘方法则，进行计算即可得.

【详解】解：•.•（-/=（"『，

.（-/）2=a，，

故选：C.

【点睛】本题考查了累的乘方，解题的关键是掌握累的乘方法则.

2.（2021春•内蒙古包头•七年级包头市第二十九中学校考期中）已知a=8产，〃=27"，

c=961,则。、b、c的大小关系为（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】B

【分析】把相应的数的底数转为一样，再比较指数即可.

【详解】解：.•・。=8产=3%一=27"=产,c=9'=产，

.-.3,22<3,23<3,24，

:.c<b<a,

故选:B.

【点睛】本题主要考查察的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的数的底数转为

相等.

4.（2021春・江苏苏州•七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知d=32,〃"=2,则

am+3n.

【答案】256

【分析】先根据幕的乘方求出（产=8,再由〃"3°=厂.心,进行求解即可.

【详解】解：・「=2,

/.SY=/"=23=8,

・产=32x8=256,

故答案为:256.

【点睛】本题主要考查了暴的乘方，同底数基乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关

键.

5.（2022秋•江苏南通•八年级校联考期中）已知10“=20,10（/'=50,则。+劝+3=_

【答案】6

【分析】根据100"=50求出10〃'=50，根据同底数塞的乘法法则得出10"血=]0ao=]03,求

出。+3=3,再求出答案即可.

【详解】解：100fc=50,

（1O2）A=5O,

瞰二50,

•••10“=20，

/.10uxl02,,=lCT"=20x50=1000=10\

A10fl+2h=10\

a+2l）=3,

a+2Z?+3=3+3=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了易的乘方与积的乘方和同底数基的乘法，能求出KT?b=]03是解此

题的关键.

6.（2023春・全国•七年级专题练习）计算：

⑴（-1/；

（〃是正整数）；

⑶-6.八⑹二

【答案】⑴/

（2）2”+|

（3）0

【分析】（1）先化简（-〃），为/，再计算同底数昂的乘法；

（2）先计算同底数零的乘法，再合并同类项；

（3）先计算同底数辕的乘法和爆的乘方，再合并同类项.

【详解】（1）解:（-4•优

=a2-a3

=a5;

（2）解：/子向+/".工

=L+/+i

=2b；

（3）解：-/./+（。2丫

=-a6+

=0.

【点睛】本题考查幕的乘方和同底数累的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则.计算寤的

乘方时，底数不变，指数相乘；计算同底数暴的乘法时，底数不变，指数相加.

知识点03积的乘方运算及其逆用

【知识点】

积的乘方法则

（〃加"=，•/（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的寤相乘.

特别说明：（明公式的推广:（。一）”=。〃力”<"5为正整数）.

（2）逆用公式：4?"=（。3"逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数

互为倒数时，计算更简便.如：（；）x2,0=

注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数昂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要

遗漏.

（3）幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的塞的运算，要养成先化简符号的N惯.

【典型例题】

（I\2121（9A2023

例1.（2022秋•福建福州•八年级校考期中）计算卜x的结果等于（）

494

A.1B.-C.--D.--

【答案】D

【分析】根据积的乘方以及同底数幕的乘法进行计算即可求解.

【详解】解:

2)

3>

二一一

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数塞的乘法，掌握积的乘方以及同底数幕的乘法的运

算法则是解题的关键.

例2.（2021春•四川成都•七年级校考期中）计算：

/1A2021

（1）3吗用=.

（2）若（10»=108,则x的值为.

【答案】；4

【分析】（1）根据积的乘方逆运算进行求解即可;

（2）根据辕的乘方运算法则进行计算即可.

【详解】解：⑴S202^-\=32O2OX1X-

/|\202（）]

=3x—X—

I3j3

=]2020x-

3

1

=­•

3，

（2）,/（10：r=102r=108,

2x=8,

/.x=4,

故答案为：；；4.

【点睛】本题考查了积的乘方逆运算、哥的乘方等运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本

题的关键.

例3.（2023春•七年级课时练习）观察下列运算过程：

f84Y2用1芬1出33.

⑴根据以上运算过程和结果，我们发现：22=3

（2）仿照（1）中的规律，计算并判断与（21的大小关系;

【答案】（唱，自

(3)2

【分析】（1）根据己知直接填空即可求解;

(21333

333=XX

（2）根据（1）中的规律，可得-X-X一,222222^即可求解.

2J222<3—X—X—

333

（3）根据（1）的规律，化为正指数累的运算，进而根据积的乘方运算法则，进行计算即可

求解.

i4Y2

【详解】（1）解：22=-3

（24;3;

故答案为:

(2

333

3]—X—X—

（2）解：222,

3Tf2

2>5

313y1)8

(3)解:xp+2,

8;4>3

83

------X—+8

I34

=24+8

【点睛】本题考查了积的乘方运算，有理数的的乘方运算，找到规律，掌握哥的运算是解题

的关键.

【即学即练】

1.（2023春•七年级课时练习）下列各式中，计算错误的个数是（）

(1)a6-a6=2a6;(2)(一)')=—y6:(3)ni3+m2=tn,x(4)(2a)=6a"

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用合并同类项的法则，同底数塞的乘法的法则，密的乘方与积的乘方的法则对各

项进行运算即可.

【详解】解：（1）血。6="2,故（1）符合题意；

（2）（-/）2=/,故⑵符合题意；

（3）与/不属于同类项，不能合并，故（3）符合题意;

（4）（2〃27=8/,故（4）符合题意；

则计算错误的个数为4个.

故选：D.

【点睛】本题主要考查骞的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，合并同类项，解答的关键是

对相应的运算法则的掌握.

2.（2022秋•四川资阳•八年级统考期末）计算（卜5幼俨x（l-32俨jl的结果是（）

5c35

A.——B.-2-C.——D.2-

135135

【答案】B

【分析】利用塞的乘方和积的乘方，同底数幕的乘法逆用法则进行计算即可.

/q、2022/八的

【详解】解：-2-X-2-

5

故选：B.

【点睛】本题考查哥的乘方和积的乘方，同底数昂的乘法逆用，解体的关键是熟练掌握上述

运算法则.

3.（2022秋•山东临沂•八年级校考阶段练习）计算：（2/灯___________；

【3八2J

【答案】一；〃为2

【分析】根据积的乘方和制的乘方运算法则求解即可.

2

【详解】解：[-ab\[--a\

『3

=--«V,

2

a

故答案为：-耳。%~.

【点睛】本题考查了枳的乘方和鞋的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键.

4.（2022春•江苏无锡•七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若""=优（。＞0,且

〃工1）,则〃?=〃.利用这个结论解决下列问题：设2m=3,2"=6,2P=12.现给出加，n,

p三者之间的三个关系式：①小十〃=2〃，②，〃十〃=2〃-3,③〃十〃二4/〃.其中正碓的是

.（填编号）

【答案】①②##②①

【分析】由2"=6=2x3=2x2'"=2"%得出〃=〃-1,由2?=12=2?x3=2?x2'"=2研2,得出

p=〃i+2,进而得出〃=〃+1,进一步对5+〃，"7+”,〃+P代入计算，即可得出答案.

【详解】解：.-2rt=6=2x3=2x2m=2M+,,

:.n=nt+\,

2P=12=2*2X3=22X2M=2"*2,

p=m+2,

p=n+\,

/.m+p=m+n+\=n+n=2n,

①符合题意：

rn+n=p—2+p-\=2p—3,

一•②符合题意；

n+p=m+\+ni+2=2m+3工4m,

③不符合题意，

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了幕的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幕的乘方与积的乘方的法则，

同底数事的乘法法则.

5.（2023春•江苏•七年级专题练习）若〃"=〃"（4＞（）且awl,m、c是正整数），则〃?=”.利

用上面结论解决下面的问题：

⑴如果2+8F6*=25,求x的值；

⑵如果2-+2川=24，求x的值；

【答案】⑴x=4；

⑵x=2.

【分析】（1）根据显的乘方运算法则把8,与16,化为底数为2的呆，再根据同底数鼎的乘除

法法则解答即可；

（2）根据同底数箱的乘法法则把22+2川=24变形为7（22+2）=24即可解答.

【详解】（1）解：:2+8，」6'=2+（叫，（24）,

=24-25XX24A

=21-3X<4.V,

・21-3X+4X_2$,

l-3x+4x=5,

解得x=4；

（2）解：,/2A2+2川=24,

2r（2z+2）=24,

2'=4=2?,

x=2.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘除法以及累的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利

用幕的乘方与积的乘方对式子进行变形.

知识点04用科学记数法表示数的乘法

【知识点】

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次寨相乘的形式（1W

|a|<10,a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算

某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪斐很多空间和时间。

【典型例题】

例1.（2022•湖北随卅统考中考真题）2022年6月5口10时44分07秒，神舟14号飞船

成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运

行的速度约为7.7x10、]/$,则中国空间站绕地球运行2x102s走过的路程（m）用科学记数

法可表示为（）

A.15.4xl05B.1.54xl06C.15.4x10"D.1.54xl07

【答案】B

【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为aX10〃的形式.

【详解】解：路程=7.7xl『x2xl（）2=15.4x10$=1.54xl（）6m.

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定。的值以及，的值.科学

记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.

例2.（2020春•湖南株洲•七年级统考期末）计算式子（1.5x]O5）x（O.38x]Ob的结果用科学记数

法表示为.

【答案】5.7xIO7

【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式

即可.

【详解】(1.5X105)X(0.38X103)=0.57X108=5.7X107,

故答案为：5.7xIO7.

【点睛】本题主要考杳单项式乘单项式及科学记数法，掌握单项式乘单项式的运算法则及科

学记数法的形式是解题的关键.

例3.(2023春•全国•七年级专题练习)计算(结果用科学记数法表示)：

(l)8.4xl()3・4.8x10』：

⑵(5.2xl()4)x(2.5x10).

【答案】⑴-3.96X104

(2)1.3x106

【分析】(1)逆用乘法分配律进行计算即可；

(2)根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可.

【详解】(1)解：原式=(0.84-4.8)xl04=-3.96X104;

(2)解：原式=(5.2x2.5)x(104xl0)=13xio5=1.3xlO6.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【即学即练】

1.(2022•山西•九年级专题练习)2021年5月22日，我国始发的火星车"祝融号"安全到达

火星表面.到目前已经获取约10G8原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星

表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为3x1(/米/秒，则地球与火星处

于最远位置时的距离是()

A.3.84x10"米B.3.84xl(户米C.3.784x10”米D.3.784x10"米

【答案】A

【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为0x10〃的形式，其中1引。|<10,

〃为整数解答.

【详解】解：21分20秒=1280秒,

3X108X1280

=3.84x10"（米），

故选：A.

【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定Q与，值是关键.

2.（2021•山东日照•统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之

一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7x10”的正整数，如果是奇数，则乘

3加1；如果是偶数，则除以2,得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1.对

任意正整数按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的阳所有可能取值的个数为

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】D

【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出用的所有可能

的取值.

【详解】解：如果实施5次运算结果为1,

则变换中的第6项一定是1,

则变换中的第5项一定是2,

则变换中的第4项一定是4,

则变换中的第3项可能是1,也可能是8.

则变换中的第3项可能是1,计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.

则变换中第2项是16.

则机的所有可能取值为32或5,一共2个，

故选：D.

【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键.

3.（2022秋•八年级课时练习）一个长方体的长是2x10scm,宽是1.5x10%m,高是

1.3x10"cm,则它的体积是m1.

【答案】3.9xl06

【分析】先进行单位换算，再计算长方体的体积

【详解】2xlO5cm=2xlO'in,1.5x10Acm=l.5x1O'm»1.3xlO,cm=1.3xlO2m

故它的体积是：

2xlO3xl.5xlO'xl.3xlO2=3.9xl06m\

故答案为:3.9xlO6

【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，单位换算和正确计

算是解题关键.

4.（2022秋•江苏扬州•七年级校考期中）马拉松（Marathon）国际上非常普及的长跑比赛项H