浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题52 分式的运算【十大题型】

专题5.2分式的运算【十大题型】

【浙教版】

【题型1含乘方的分式乘除混合运算】...........................................................2

【题型2分式的加减混合运算】.................................................................5

【题型3整式与分式的相加减运算】.............................................................9

【题型4分式加减的实际应用】................................................................12

【题型5比较分式的大小】.....................................................................17

【题型6分式的混合运算及化管求值】..........................................................20

【题型7分式中的新定义问题】................................................................24

【题型8分式运算的规律探究】................................................................31

【题型9整数指数幕的运算】..................................................................37

【题型10科学计数法表示小数】................................................................39

》号声一义三

【知识点1分式的乘除法法则】

分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：

-X-=-

1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：b"

2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：b•bC

（-）1-

3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。b=b

4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号

外的。

注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式

【知识点2分式的加减法则】

1）同分母分式：分母不变，分子相加减；一‘一七

dM«te<

2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减触-。"一加"

注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘

除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。

【题型1含乘方的分式乘除混合运算】

（二土，X三

[例1]（2022・全国•八年级课时练习）的结果是)

a-iC,

D.1

【答案】B

【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解.

（当+筒唱

【详解】解:

(a+b)2(a-b)2a+力

(a-tf):'(a+»Xa-b

a+匕

故选：B.

【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

■•■

【变式1・1】（2022•全国•八年级课时练习）（1）

⑵弓）"（9,（犷:

(-3abT)2♦(一空"=

(3)

⑷5”,（有了+（房八

⑸弓=

_2"1

【答案】

【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可;

(2)先算乘方,再算乘法即可:

先算乘方,再算除法即可;

(4)先算乘方,再算乘除法即可;

(5)先算乘方,再算除法即可;

【详解】解：（1）

(2)

9/明Y（一于）=（--）:-竽

原式=

2l

y*I/—27r

丁

(4)原式产

(5)

3川c2

故答案为：盛一_57?

【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键

[-1田1)“

【变式1-2]（2022•全国•八年级专题练习）

—»（•一，

【答案】

【分析】先计算乘方，再把除法转化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后约分得结果.

【详解】时

■o*(•+>),(a-d

*------------

8（什卜/fg-M

3a

【点睛】本题考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解决本题的关键.

【变式1・3】（2022•湖南长沙•七年级阶段练习）已知小b,c,d,x,），，z,w是互不相等的非零实数，且

力*fc2eVAbet.r2,rf2

•T+rb-：”厂cry-iy=*f则《*Tl叱的值为.

【答案】2

H_//c2"［_34_1ay2士///.//*d"iys*

［分析］设®*rr-Z-hxynr1即有：*‘…"八aW

化简:

k==mn

,则问题即可得解.

【详解】结合。，b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零实数进行下述运算,

设

_//储尸/JxTrrrw

则有:

«/1/，_1一.-一L

即/=7=二，产=■=；,m+n=7+不二人

mn

则有:

k==mn

即有:

___十二=二二二里—2

则有：rrhb*rmnk

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键.

【题型2分式的加减混合运算】

2JH-7_X十―

[ft2]（2022•浙江杭州•九年级专题练习）对于任意的x值都有多1"2"7,则M,N值为（）

A.M=l,N=3B.M=-1»N=3C.M=2,N=4D./Vf=l,N=4

【答案】B

M+M=2

[-M*2N=7

【分析】先计算-N---，根据已知可得关于M、N的二元一次方程组，解

之可得.

M.N

—十—

什

【详解】解:2JT-1

Mb*,中7

小一加7

2H7

.X+x-2

••一

tM+N=2

l-M+2iV=7

••1

|M=-1

解得：IN=3,

故选B.

【点睛】本题主要考杳分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于

M、N的方程组.

_产y5_3ytfT+以-9y+!

【变式2-1］（2022•上海市久隆模范中学七年级期中）计算:r*ir*2T2

「力¥

［答案］产京丙H

【分析】先对每一个分式进行拆分化简，然后再进行分式的加减计算即可.

山匚=*―浒6士】.25,+1+J.

【详解】解：EET

匚二r3+3

y*2=7J*2

•.原式户*1'Si(yf"㈢-(3y+2-9@-2-闵

2"I+*-y*3-=-3尸2.士42丫12~m

i____L.J____L

_y+ly72Ty^2齐

T)♦，

-8FH

产2尸-7声8TM：

【点睛】本题考查分式的加减计算，熟练掌握各运算法则是解题的关犍.

【变式2-2］（2022•全国•中考模拟）计算下列各式：

1+1+川+•

(1)

14y:十户N十Nf

(2)JT*(r-r)Jr-y:r-¥^x\y¥zxr-(x-ylz-xy

jr1-1,2U2*!)

(3)jrJ>2x^+2r*lx1->2x-1x*-1

D(r)](rXL劝t(LSXy-i)

(r-2rF(Ky-2r)干(r4•尸太十七•^jy七一2IMJT-3+:

【答案】（1）-M-y（2）0（3）0（4）1

【详解】试题分析：（1）先根据异分母的分式的加减法，先把前两个分式通分，再求和，依次计算下去即

可；

（2）先把分子添项，构成能分组分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展开，然后把分母分子分解因式,

利用同分母的分式相加减的逆运算约分化简即可；

（3）根据立方差和立方和公式进行分子分母的因式分解，然后再约分化简即可；

（4）设x-y=a,y-z=b,z-x=c,利用换元法进行约分化简即可.

——红,+上_

试题解析：⑴a-ba+ba2+b2a4+b4

2a2a4a3

=7^+77^+7^

4a34a3

4,4J4

222

x+yz]y-zx1z+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x:x-z)+z(x+y)y(x+y)-x(肘z)z5z)-y(z-x)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xzyxzy

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

x^Tx?+l_____2(x2+1)

-39十一99

(3)x'+2x'+2x+lxJ-2x>2x-lxz-l

(x-1)(x2+x+l)(x+1)(x"x+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(x-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-1)

x-1x+12(x2+l)

=x+1+x-1-(x+1)(x-1)

=0；

(4)设x-y=a,y-z=b,z-x=c»贝ij

(y-x)(z-x)+(z-y)(x-y)%(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

=-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

(&-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

=1.

-L-L-LZ-L+J-+-L

【变式2-3】（2022•河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x,），,z满足，-4，-二+；7=匕且"〉

=11,则X+.V+Z的值为（）

72

A.12B.14C.7D.9

【答案】A

券+jW=llW=+2=14Q…亦

【分析】把"•"两边加上3,变形可得户：，两边除以（y,得到

II,1_1414_1

由不有=赤，则诉七，从而得至产+丫+油值.

8

【详解】解「••右-F后*.不-

C+后旬+定+1+$7

即*产：/

r+yy*j什y+s

而广：2+1

14

・・・x+y+z=12

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.经

过通分，异分母分式的加减就转亿为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出

x+y+2

【题型3整式与分式的相加减运算】

--—1-X

【例3】（2022•贵州铜仁•八年级期末）计算：1r的结果是

【答案】

【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案.

【详解】解:

11—x>Ur：

_l-jr1-x1-x

1-1*什/

1-M

尸

▲一

故答案为E.

【点睛】本题考查了分式的加减.熟练掌握运算法则是解题的关键.

S21

【变式3-1】(2022•山东临沂・中考模拟)化简：(a+2+2-*)*?=.

【答案】2a-6

【分析】先计算括号，进行通分，后按同分母加减计算，再计算乘除，约分即可.

(七

【详解】原式=L2•-2

・52(«-2)

o-2

(■+3XaT)2(1：

=~二5NT

=2(a-3)

=2a-6.

故答案为2a・6.

【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有

括号的先算括号里面的.

【变式3-2](2022•福建福州•八年级期末)已知：Pr+1,.

⑴当时，判断RQ与0的大小关系，并说明理由；

y=l-S

⑵设'：,若“是整数，求)，的整数值.

【答案】⑴尸・8。，理由见解析;

(2)y的整数值为：・7,・3,・1,3.

【分析】(1)先求差，再比较差与0的大小关系；

(2)先表示),再求)，的整数值.

(1)

解：尸-Q20,理由如下：

P-Q=E升1Cl

x2+2x+l-4x

x+1

一

JT*19

AO,

/.A+1>0,(x-1)2>O.

/.P-Q>0；

(2)

三a三1_7「一

解/r*lJH-Ix4-lx*l

=-2+*—♦1

A,y是整数，

.•r+1是5的因数.

.*.A+1=±1,±5.对应的y值为：

「♦y=-2+5=3或)'=・2+(-5)=-7或y=-2+l=-l或),=・2+(-1)=-3.

1•J：的整数值为：-7,-3,-1,3.

【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键.

■1

-2*与2的大小，下列正确的是()

【变式3-3](2022•河北•中考真题)由值的正负可以比较

B,当。=°时，

c<-24>弓c<0A<；

C.当时，D.当时，

【答案】C

（把-3A-

【分析】先计算"X3的值，再根c•的正负判断”上”的正负，再判断〃与2的大小即可.

【详解】解：2"2一8三

当,=一2时，2+c=0,4无意义，故A选项错误，不符合题意；

当。・°时，♦卬一，一'，故B选项错误，不符合题意；

C<-2S>0

当/时，4+",故。选项正确，符合题意；

当-2<c<0时痂<。/<i当c<-2时，4+“>°故力选项错误，不符合题意；

故选：c.

【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行

准确判断.

【题型4分式加减的实际应用】

【例4】（2022•全国•八年级单元测试）某飞行器在相距为机的甲、乙两站间往返飞行.在没有风时，飞行

器的速度为I，，往返所需时间为“；如果风速度为”’2则飞行器顺风飞行速度为（"叫逆风飞

行速度为“一⑶，往返所需时间为印则“、匕的大小关系为（）

A.“<*B.tl£f2C.口-"D.无法确定

【答案】A

【分析】直接根据题意表示出“，”的值，进而利用分式的性质的计算求出答案.

2m■,«n_

..ti_V而+丁右

【详解】解:・一，—9

2m_2BW_2p）

.h―。—丁_―“，）

••——9

..0<p<t

•，

』一。<0

••，

.Jl<t2

故选：A.

【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键.

【变式4-1］（2022•全国•八年级单元测试）课本中有一探究活动如卜：“商店通常用以卜方法来确定两种糖

混合而成的什锦糖的价格：设‘种糖的单价为。元/千克，”种糖的单价为0元/千克，则血千克力种糖和”千克S

ma+ni

种糖混合而成的什锦糖的单价为BE（平均价）.现有甲乙两种什锦糖，均由48两种糖混合而成.其中

甲种什锦糖由10千克,种糖和10千克8种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元8种糖混合而

成.你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：

⑴小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为“.和“二（用°、0的代数式表示）；

（2）为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将■与乙进行作差比较，即计算■一Z的差与0比较

来确定大小；

⑶经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动.方

式一：每次都加满：方式二：每次加200元）.选择哪种方式？请简要说明理由.

v=,■—

【答案】⑴

（2）甲糖的单价较高，理由见解析

⑶方式二更合算

【分析】（1）根据单价=总价+数量分别求出甲糖单价和乙糖单济;

（2）根据作差法比较大小即可求解;

（3）由探究的结果进行分析即可.

(1)

x.（18+10力）+20=+b]

解.：甲糖单价为：=（元），

乙糖单价为:匕吁小♦亭用G元）,

（2）

1,1、2ab

为+»）一衣！

（a.b）z―痴力

=2（。+b）

（a-bp

=2（a+b）

•.■甲、乙两种什锦糖，均由A,3两种单价不同的糖混合而成,

（…尸

」•甲糖的单价较高.

由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖,

故选择方式二更合算.

【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数

线代替.

【变式4-2]（2022•浙江杭州•七年级期末）甲、乙两人同时从A地出发到8地，距离为100千米.

（1）若甲从A地出发，先以20二米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达8地，求走完全

程所川的时间.

3yzv

（2）若甲从A地出发，先以一千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达区地.乙从A地出

发到4地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲、乙谁先到达B地？

（3）若甲以〃千米/时的速度行走k小时，乙以8千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为“0°—必）

100—aj

千米，乙距离终点为00°一°幻千米.分式18-E对一切有意义的X值都有相同的值,请探索a,A应满足的

条件.

【答案】（1）4‘小时；（2）乙先到；（3）a,b应满足的条件是°

【分析】（1）根据“时间=路程,速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；

（2）根据"时间=路程*速度〃分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；

100-»

⑶设一，从而可得10°一1°0k再根据无关型问题求解即可得.

“学+20+学+25

【详解】（1）由题意得：2-,

=2.5+2

=4"小时）,

答：走完全程所用的时间为45小时；

100100

H+二=型+三=归

（2）甲走完全程所用的时间为？三'一二1r一下，

10C

乙走完全程所用的时间为V,

100/12S

因为"1rE

所以乙先到；

100-AX,

⑶设际则1。。一以=&100-网

整理得J0°T°°"（H-g=0.

100-Al

•••分式"AE对一切有意义的、直都有相同的值，

一.k的值与X的取值无关，

Ab-a=0n..a=kb

100-100^=0

解得

a=b

••，

故a,b应满足的条件是0=9

【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键.

【变式4-3](2022・重庆•模拟预测)一个自然数能分解成'X8,其中A,8均为两位数，A的十位数字比8

的十位数字大1，且4,8的个位数字之和为10,则称这个自然数为“分解数〃.

例如：•「4819=79x61,7比6大1,=二4819是〃分解数〃；

又如："96="x34,4比3大1,"4*二1496不是"分解数〃.

⑴判断325,851是否是〃分解数〃，并说明理由；

⑵自然数川=4'8为"分解数〃，若4的十位数字与8的个位数字的和为HM),A的个位数字与B的十位数

字的和F(M),令当为整数时，则称M为“整分解数〃.若8的十位数字能被2整除，求

所有满足条件的“整分解数”M.

【答案】(1)325不是“分解数〃，851是“分解数〃，理由见解析

(2)899,891,8099

【分析】⑴325=25x13,851=37x23,根据定义进行求解判断即可;

(2)令8=10x+y,410(x+1)+10),(1—X—8,1一丫一9,且x,y为整数)，可得P(")=%+>'+1,

由为整数，可知然后分情况，求出符合题意的“,，的

F(m)=x-y+102x=2,%6f8,

值，计算M即可.

(1)

解：...325=25xH,2比1大1,5+3=吗...不是“分解数〃；

...851=37x223比2大1,7+3=1°,“si是，，分解数，，.

(2)

解：令B=io、+y,4=10(z+l)+10-y(l<x<8l<y<9且达为整数)

..P(M)=x+y+lF00=x-y+10

•,

M

v2为整数

,4,6,8

GfM==-1+—^―

当2时，廿匚为整数

.•・一,+12的值为3或5

•,・解得，=9或7

.M]=31x29=899

孙=33x27=891

或时，不存在为整数

二舍去

当8时，一户“-尸”为整数

.-y+18=9

解得一

M3=91x89=8099

综上所述，M的值为899,891,8099.

【点睛】本题考查了新定义下的是实数运算.解题的关键与难点在于理解题意并根据要求进行求解.

【题型5比较分式的大小】

M=■一'N='Vv

【例5】（2022•全国•七年级单元测试）设"：，'，当'U时，”和'的大小关系是（）

M>NM=NM<N

D.不能确定

【答案】A

=*>母>0

【分析】用差值法比较大小，‘，进行通分，由,可判断M、N的大小.

M-N/T

【详解】

—

xy+x-xy->

x(x+l)-

si：

,/x>y>0

/.x(x+l)>0»x-y>0

/.M-N>0

故M>N.选A.

【点睛】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法贝1进行计算.还

需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负判

断结果的符号.

加、［M=三N=-P="7：uhiD

【变式5-1】(2022•河北秦皇岛•八年级期末)已知"九，I,","】，则M、产的大小

关系为.

.一、M>P>Al

【答案】

【分析】根据八>1可得M>LOCO<P"从而得到M最大，然后用作差法比较P'N的大小即可.

【详解】解：

n-l>O,n>n-l

MAL0<N<1Q<P<1

・，

M最大;

„.r_»W-1L-n

P>N

M>P>N

故答案为：M>P>N

【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果

ab>Q

~t那么.>4如果”>=°,那么0=4如果那么°C；另外本题还用到了不等式

的传递性，即如果0>»">上那么a〉。>'

【变式5-2]（2022・全国•九年级竞赛）已知"，'，N是三个互不相同的非零实数，设On*4•y+/

b=xy+yz+力,c_/♦产+_1y.尸+二则°与力的大小关系是一与“的大小关系尾

【答案】

【分析】根据题意利用作差法进行整式与分式的加减运算，并将结果与0比较大小即可确定函数间的大小

关系.

【详解】解：•••”，、，2是三个互不相同的非零实数,

◎-白二产+中+/一如+卢+了4=：肝-产+6-4中仁-jj2]>0

.a>b

•••

又」=5+»；&+*3=*-）+@-y+£-羽>。

*c>a

••♦

故答案为：a>V>d

【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据X,

V，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0,得到a与b,c与d的大小关系.

【变式5-3]（2022•内蒙古・呼和浩特市国飞中学八年级期末）若例1二N="7.

（1）当。=3时，计算M与N的值；

（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想.

4S

【答案】（1）M=WN=%（2）M<M证明见解析.

【分析】（1）直接将。=3代入原式求出M,N的值即可；

（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可.

_>♦1_4__i

【详解】（1）当4=3时，M375,N升3'；

（2）方法一：猜想：MVN.理由如下：

=%_fl4>：（"Wm=T

~"2a*1（a+2X«*J）白+?）加，

va>0,/.«+2>0,a+3>0,如",「.M-NVO,

方法二：猜想：MVN.理由如下：

戈二三七二…♦；

/〈Ig

,「40,M>0,N>0,Ac〉。，.•.***4，.二,：.M<N.

【点睛】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键.

【题型6分式的混合运算及化简求值】

【例6】（2022・天津东丽•八年级期末）计算

⑴Si+©1

a:a2-*__1_

（2）•"!?-1«-1

2«

【答案】⑴"；（2）I

【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；

（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.

4a.>2

【详解】（1）原式="才=";

（2）原式:二^^^^一二二^一二一二1

【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.

【变式6-1】（2022•广东惠州・模拟预测）先化简，再求值：1-F〜，其中x=-2,y=3

【答案】

【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后

将X、y代入计算即可求得答案.

【详解】解：原式=1-="7/

11

当工=-2,尸"时，原式=".

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注

意式子的整理和约分.

，+]__3_\+小—《

【变式6-2]（2022•江苏•南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式A=’.E

（1）化简这个分式；

（2）当a>2时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上4后得到分式B,问：分式B的值较原来

分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由；

（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和.

【答案】（1）°7；（2）原分式指变小了，见解析；（3）11

【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得;

4-8==-WA-8=---

（2）根据题意列出算式A?化简可得9-WZ,结合a的范围判断结果与0的大小

即可得;

▲一"2<.<

4=-2~1+~"5a_2

（3）由a'可知，-=±1、±2、±4,结合a的取值范围可得.

（a+1-力）号/一♦I

【详解】解：⑴A=L1

«J-3a-l

S+ZX6-2）-I

♦i-ST〉

二5

=：

（2）变小了，理由如下:

4"+：

A=—；

a-J

-9

・9

,o-2>0a+2>4

••99

,A-B>0

••，

分式的值变小了；

（3）.「A是整数，a是整数,

A=—=1+—:

则II,

.。-2=±1±2±4

.•.awl，

1.”的值可能为：3、0、4、6、2

,3+0+4+6+（-2）=11

••，

符合条件的所有a值的和为11.

【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

【变式6-3】（2022•全国•八年级迎元测试）已知”为整数，且满足"广’2力，求

f的值.

[答案]x+y的值为0或士1.

【分析】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可.

【详解】解:中沁9

।/点）=_一））

・・，

G+力=一久：热）

••，

,『“[]+沁心）卜°

••,

涔=0I+：GT=O

••或，

由干x,y为整数，

当产1时，x为整数-2,则壮尸1；

2

当厂-1时，x为E不是整数，不符合题意，舍去;

当尸2时,x为整数・1,则■尸1；

当产-2时，工为三不是整数，不符合题意，舍去；

综上，x+y的值为0或±1.

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键.

【题型7分式中的新定义问题】

【例7】（2022•北京昌平•八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和

ir+l一一r-1.27.工四

的形式，则称这个分式为"和谐分式〃.如：I，一一尸】尸】「则I是"和谐分式

⑴下列分式中，属于“和谐分式〃的是（填序号）；

r+Jr-Sx-Jjr+1

①丁②丁③”④F

jr+4r>1

⑵请将"和谐分式化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程;

⑶应用：先化简',9并求X取什么整数时，该式的值为整数.

【答案】⑴②③

"3-

（2）过程见解析

该式的值是整数,

【分析】（1）由"和谐分式"的定义对①②③④变形即可得；

（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；

1.....-

（3）将原式变形为根据题意求得存勺值，根据分式有意义的条件取舍即可求解.

什3_].1

【详解】（1）解：①‘一\不是"和谐分式"，

—=1_w

@x~是"和谐分式",

f-1"27

=1一二

".，是"和谐分式",

r+1_I+1

④F-**,不是“和谐分式〃,

故答案为：②③;

(2)解：

(x+3)-€

-x+3-

&_工1一工二

⑶解：4T*7…

卜

—x.{r+3JCr-3>x+1

x(x^4>+6]

r{x+：lXr+3Xx-3j

1中+1总-浏-6：|

x+3

=776

x+6-3

=x+6

1---

"'为整数,

.x+6=±1,±3

时，”1是整数,

又..xh0,-1,3,-3,-6

时，原式的值是整数.

【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对

和诸分式的定义的理解.

【变式7-1］（2022・江苏•八年级）定义：若两个分式的和为n（”为正整数），则称这两个分式互为"”阶分

3_lr

式"，例如分式而与K互为“3阶分式

IQx

分式775与_____互为“5阶分式〃;

(1)

2x2y

设正数互为倒数，求证：分式而与"互为“2阶分式，;

(2)

若分式E与K互为阶分式〃（其铲,为正数），求e的值.

【答案】（1）“，（2）详见解析；（3）2

【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为4,然后进行通分求解即可；

（2）根据题意首先利用倒数关系，将达），进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解;

（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.

u十4~5

【详解】（1）依题意，所求分式为A,即：,

（2）••・正数'’互为倒数

1x=!

»=1,即，

三+工=±.工=」+工=上二2

.什铲户屋产=i+r*yJ+it+r*

2x2y

・••分式而与K3互为“2阶分式〃;

（3）由题意得R+衣豆一，等式两边同乘（0+'"）（"+2m

，笛汨a（（r42b）+2b（a+4b2）=（a、2b）（a+4⑻

，间1号：

2ob+8bJ=4a:ir+8bJ

nlJ:

.4Mb2-2ab=02ab（2ab-1）=0

--，

ab=；

•或o

为正数

ab=；

•••

【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.

【变式7-2］（2022•江苏•灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式与分式"的差等于它们的

11J_____l_=1

积，即必-\=吗则称分式N是分式M的“关联分式如川尸，因为叶，z—,

■^―X——=।

r+lx*2(r+lXx+2)日

所以JTZrM的“关联分式〃.

⑴已知分式E,则KK的，，关联分式，，（填，，是，，或，，不是〃）.

（2）小明在求分式不于的“关联分式”时，用了以下方法:

N=

设7^3/的“关联分式”为N,则'

舟+1”=力

••，

请你仿照小明的方法求分式的“关联分式