2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-2 第二节　等差数列

第二节等差数列高三一轮复习讲义湘教版第五章数列课程标准1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系.0403考教衔接精研教材课时测评02考点探究提升能力教材梳理夯实基础01内容索引教材梳理夯实基础1.等差数列的有关概念同一个公差2.等差数列的有关公式等差数列{an}的首项为a1，公差为d.a1＋(n－1)d

常用结论(1)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.(2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.(3)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列.(4)数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A，B为常数).这里公差d=2A.

自主检测1.(多选)下列结论正确的是A．若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2an+1=an+an+2C．在等差数列{an}中，若am+an=ap+aq，则m+n=p+qD．若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值√√

√

3.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6=2且S5=30，则S8等于A．31 B．32 C．33 D．34√

4.某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为

.

820

2

返回考点探究提升能力考点一等差数列基本量的运算

自主练透

√

√

3.广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需A．352步

B．387步

C．332步

D．368步√

等差数列基本量运算的常见类型及解题策略1.求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想.

2.求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素.

3.求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.

4.求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 规律方法考点二等差数列的判定与证明

师生共研典例1

等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an+1－an=d(d是常数，n∈N+)或an－an－1=d(d是常数，n∈N+，n≥2)⇔{an}为等差数列.

2.等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列.

3.通项公式法：an=an+b(a，b是常数，n∈N+)⇔{an}为等差数列.

4.前n项和公式法：Sn=an2+bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列.

注意：若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an+1，an+2，使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n∈N+都满足上式. 规律方法

√

考点三等差数列的性质及其应用

多维探究典例2

√

(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=2，b1=－3，a7－b7=17，则

a2024－b2024的值为

.

4051令cn=an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1=a1－b1=5，c7=17，则5+6d=17，解得d=2.故a2

024－b2

024=c2

024=5+2

023×2=4

051.

规律方法典例3角度2

等差数列前n项和的性质

(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=63，则a7+a8+a9等于A．63 B．71 C．99 D．117√由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)=S3+S9－S6，又S3=9，S6=63，则S9=162，因此a7+a8+a9=S9－S6=162－63=99.故选C．

√

变式探究

等差数列前n项和的性质

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

1.S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).

2.S2n－1=(2n－1)an.

3.依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.规律方法角度3

等差数列前n项和的最值问题

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，S3=S11，当Sn最大时，n的值是A．5 B．6 C．7 D．8√典例4

变式探究

求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

规律方法

√√

对点练5.(2024·北京海淀区模拟)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d为

.

5

返回考教衔接精研教材真题再现

95

(湘教版选择性必修一P21T7)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，求解下列问题：(1)若a2+a5=19，S5=40，求a1；(2)若S12=84，S20=460，求S28.点评：高考题与教材习题都是考查等差数列中的基本量的计算.教材呈现

真题再现

返回教材呈现(湘教版选择性必修一P20例10)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn的最大值及对应的n值.点评：高考题与教材例题都是考查等差数列前n项和Sn的最值问题.课时测评

√

√

√

4.(2025·湖南长沙模拟)张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是A．28码 B．29.5码

C．32.5码 D．34码√

√

6.(数学文化)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板A．1125块

B．1134块

C．1143块

D．1152块√

7.(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9=S10<S11，则A．d<0 B．a10=0C．S18<0 D．S8>S9√√

√8.(多选)(2025·河北石家庄质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5=－4，S5=－40，则A．a10=6B．S10=－30C．当且仅当n=6时，Sn取最小值D．a5+a6+a7+a8+a9+a10=0√√

9.已知等差数列{an}共有(2n+1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1=

.

29

90

√√

√√

(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(8分)解：存在λ=－2，使得数列{an}为等差数列.理由如下：当n=1时，2S1=