完全平方公式综合练习题集

完全平方公式综合练习题集一、引言完全平方公式是代数运算的基石之一，形如\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)（和的平方）与\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)（差的平方）。它不仅是因式分解、解方程的核心工具，还广泛应用于函数、几何（如面积计算）等领域。熟练掌握公式的直接展开、逆向配方及变形技巧，是提升代数运算能力的关键。二、知识点回顾1.基本公式和的平方：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)差的平方：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)2.核心变形\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab\)（求平方和）\((a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)（差平方与和平方的关系）\(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}\)（求乘积）三、基础应用篇：公式的直接展开与逆向配方1.直接展开型方法要点：公式中的\(a\)、\(b\)可表示任意数或代数式，符号不影响结果（平方后为正）；展开时需注意系数平方和交叉项符号（如\((-m+n)^2=m^2-2mn+n^2\)）。例题解析：展开\((3x-2y)^2\)：\((3x)^2-2\cdot3x\cdot2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\)展开\((-a-b)^2\)：视为\((a+b)^2\)，结果为\(a^2+2ab+b^2\)（符号平方后不影响）。练习题：1.展开\((5a+4b)^2\)2.展开\((-2m-3n)^2\)3.展开\((x+\frac{1}{3})^2\)4.展开\((2p-\frac{1}{2})^2\)2.逆向配方型方法要点：将二次三项式\(x^2+bx+c\)配成\((x+m)^2+n\)，关键是\(m=\frac{b}{2}\)，\(m^2=c\)（若\(c\)不足，补常数项）；系数不为1时（如\(ax^2+bx+c\)），先提取二次项系数，再配方。例题解析：配方\(x^2-8x+16\)：\((x-4)^2\)（\(m=-4\)，\(m^2=16\)）；配方\(2x^2+4x+5\)：\(2(x^2+2x)+5=2[(x+1)^2-1]+5=2(x+1)^2+3\)（提取系数2后配方）。练习题：1.配方\(x^2+10x+\_\_\_=(x+\_\_\_)^2\)2.配方\(y^2-14y+\_\_\_=(y-\_\_\_)^2\)3.配方\(3x^2+6x+\_\_\_=3(x+\_\_\_)^2+\_\_\_\)4.配方\(x^2+3x+2\)（提示：\((x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)）四、变形技巧篇：公式的灵活运用1.求代数式的值方法要点：利用完全平方公式的变形，通过\(a+b\)、\(a-b\)或\(ab\)的值，求\(a^2+b^2\)、\((a-b)^2\)等代数式的值。例题解析：已知\(a+b=6\)，\(ab=8\)，求\(a^2+b^2\)：\((a+b)^2-2ab=36-16=20\)；已知\(x-y=2\)，\(x^2+y^2=10\)，求\(xy\)：\(\frac{(x^2+y^2)-(x-y)^2}{2}=\frac{10-4}{2}=3\)。练习题：1.已知\(m+n=5\)，\(mn=3\)，求\(m^2+n^2\)和\((m-n)^2\)；2.已知\(a-b=4\)，\(ab=5\)，求\(a^2+b^2\)；3.已知\(x+\frac{1}{x}=3\)，求\(x^2+\frac{1}{x^2}\)（提示：两边平方）；4.已知\(2a+2b=6\)，\(ab=2\)，求\(a^2+b^2\)（提示：先化简\(a+b\)）。2.符号与系数变化方法要点：完全平方公式中的符号不影响结果（平方后为正），系数需同步平方；形如\((-ma+nb)^2\)的式子，可直接展开或视为\((nb-ma)^2\)，结果一致。例题解析：展开\((-2x+3y)^2\)：\(4x^2-12xy+9y^2\)（直接展开）；展开\((3a-1)^2-(2a+1)^2\)：\((9a^2-6a+1)-(4a^2+4a+1)=5a^2-10a\)（先展开再相减）。练习题：1.展开\((-4p+5q)^2\)；2.展开\((-x-y)^2-(x-y)^2\)（提示：用平方差公式简化）；3.展开\((3m+2n)^2-(3m-2n)^2\)（提示：平方差公式更简便）。五、综合运用篇：与其他知识结合1.与平方差公式结合方法要点：平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)与完全平方公式常联合使用，如\((a+b)^2(a-b)^2=[(a+b)(a-b)]^2=(a^2-b^2)^2\)。例题解析：计算\((2x+1)^2-(2x-1)^2\)：方法一（直接展开）：\((4x^2+4x+1)-(4x^2-4x+1)=8x\)；方法二（平方差）：\([(2x+1)+(2x-1)][(2x+1)-(2x-1)]=4x\cdot2=8x\)（更简便）。练习题：1.计算\((a+b)^2(a-b)^2\)；2.计算\((x+3)(x-3)-(x-1)^2\)；3.计算\((a+b+c)^2\)（提示：将\((a+b)\)视为整体）。2.实际问题应用方法要点：将实际问题转化为代数方程，利用完全平方公式求解（如正方形面积变化、长方形边长变化）。例题解析：正方形边长增加3cm后，面积增加39cm²，求原边长：设原边长为\(x\)，则\((x+3)^2-x^2=39\)，展开得\(6x+9=39\)，解得\(x=5\)（原边长5cm）。练习题：1.长方形原长比宽多1cm，长增加2cm、宽增加1cm后，面积增加12cm²，求原面积（列方程求解）；2.正方形边长减少2cm后，面积减少16cm²，求原边长（提示：\(a^2-(a-2)^2=16\)）。六、易错点辨析篇：避免常见错误1.常见错误类型漏掉交叉项：如\((a+b)^2=a^2+b^2\)（漏掉\(2ab\)）；符号错误：如\((2x-3y)^2=4x^2-6xy+9y^2\)（\(2ab\)应为\(12xy\)，正确为\(-12xy\)）；配方错误：如\(x^2+6x\)配方为\((x+6)^2-36\)（正确应为\((x+3)^2-9\)）。2.错误纠正练习例题：找出错误并纠正：1.\((3a+2b)^2=9a^2+4b^2\)（错，漏掉\(12ab\)，纠正：\(9a^2+12ab+4b^2\)）；2.\((5x-y)^2=25x^2-5xy+y^2\)（错，\(2ab\)计算错误，纠正：\(25x^2-10xy+y^2\)）；3.配方\(x^2+4x+5=(x+4)^2+1\)（错，\(m=2\)，纠正：\((x+2)^2+1\)）。练习题：1.判断对错：\((a-b)^2=a^2-2ab-b^2\)（），若错，纠正；2.判断对错：\((-2m+n)^2=4m^2-4mn+n^2\)（），若错，纠正；3.配方\(x^2-10x+20\)，学生写成\((x-10)^2-80\)，请纠正。七、综合练习题集1.展开\((a+b+c)^2\)；2.已知\(a+b=8\)，\(ab=15\)，求\((a-3)(b-3)\)（提示：展开后用已知条件）；3.计算\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2\)（用两种方法）；4.配方\(3x^2-12x+7\)，并求其最小值；5.直角三角形两条直角边\(a\)、\(b\)满足\(a+b=10\)，斜边\(c=8\)，求三角形面积（提示：用勾股定理和完全平方公式）。八、答案与解析基础应用篇练习题答案1.\(25a^2+40ab+16b^2\)；2.\(4m^2+12mn+9n^2\)；3.\(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\)；4.\(4p^2-2p+\frac{1}{4}\)。逆向配方型练习题答案1.\(25\)，\(5\)；2.\(\frac{49}{4}\)，\(\frac{7}{2}\)；3.\(3(x+1)^2+4\)（\(3x^2+6x+7=3(x+1)^2+4\)）；4.\((x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)。变形技巧篇练习题答案1.\(m^2+n^2=25-6=19\)，\((m-n)^2=25-12=13\)；2.\(a^2+b^2=16+10=26\)；3.\(x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7\)；4.\(a+b=3\)，\(a^2+b^2=9-4=5\)。符号与系数变化练习题答案1.\(16p^2-40pq+25q^2\)；2.\((x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=4xy\)；3.\(24mn\)（平方差公式：\(6m\cdot4n=24mn\)）。综合运用篇练习题答案1.\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)；2.\((a-3)(b-3)=ab-3(a+b)+9=15-24+9=0\)；3.方法一：\(24xy\)（直接展开）；方法二：\(24xy\)（平方差）；4.\(3(x-2)^2-5\)，最小值为\(-5\)；5.面积为\(9\)（\(ab=18\)