黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试文科数学试题含答案

哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试(数学文科）试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分)1．已知合集，，则（）A．B．C．D．2．若复数满足，则复数是（）A．B．C．D．3．点到直线的距离比到点F(O,-1)的距离大，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．4．某工厂生产的个零件编号为现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（）3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A．B．C．D．5．某程序框图如图所示，若输出的结果是，则判断框中可以是（）A．B．C．D．6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．7．已知三个不同的平面，，，三条不重合的直线，，，有下列四个命题．①若，，则．②若，，则．③若，，，则．④若，，则．其中真命题的个数是（）A．个B．个C．个D．个8．已知与之间的几组数据如表．如表数据中的平均值为2．5，若某同学对赋了二个值分别为，得到二条线性回归直线方程分别为，对应的相关系数分别为，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程中，其中，．相关系数．A．B．相关系数中，C．D．9．已知，且，则（）A．B．C．D．10．已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．等差数列中，，前项和，设，，则（）A．B．C．D．12．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本题共4小题：共20分)13．设，向量，，且，则_________．14．若实数，满足，则的最大值是____________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为___________．16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”．已知函数，，，则有下列命题．①与有“隔离直线”②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为．③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是．④和之间存在唯一的“隔离直线”．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．(本小题满分12分）己知函数（1）求函数的单调递增区间．（2）在中，，，的对边分别为，，，若，，，求，．18．（本小题满分12分）惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国Ⅰ卷的题型结构，其中第22，23题为选做题考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22，23题统计结果如下表．22题得分03581023题得分035810理科人数507080100500理科人数1010152540文科人数52010570文科人数552505参考公式：，其中．（1）在答卷中完成如下列联表，并判断能否至少有99．9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系．选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取⒉人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．19．（本小题12分）如图1，菱形中，，于，将沿翻，使，如图2．（1）求证：平面;（2）求三棱锥的体积;（3）在线段上是否存在一点F，使平面？若存在，求的值;若不存在，说明理由。20．（本小题满12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，关于直线的对称点为斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．(1)求椭圆的标准方程．(2）求四边形的面积取值范围．21（本小题满分12分）已知函数，，其中为自然数的底数．（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值．（2）是否存在实数，使得的最大值是．若存在，求出的值．若不存在，说明理由．（3）设，，在（1）的条件下，求证：．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分)22．已知．（1）当时，求不等式的解集．（2）若时，不等式，求的取值范围．23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与直线有且仅有一个公共点．（1）求．（2）设，为曲线上的两点，且，求的最大值．期末考试数学（文）答案选择题CDDCACADABDB填空题（13）（14）（15）（16）②④17．（1），增区间为，（2），18．选做22题选做23题合计文科人数11040150理科人数800100900总计9101401050由表中数据，计算所以有99．9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关．（2）由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名、文科生有2名，记4名理科生为、、、，2名文科生为、,从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种分别是：，，，，，，，，，，，，，，被抽中的2名学生场为理科生的基木事件是：，，，，，，有6种，设事件为所抽中2名学生均为理科生，所以．19.（1）在菱形中，因为，所以，所以，因为，，平面，平面，所以平面.（2）.由（1）知平面.因为菱形中，，，所以，是边长为4的等边三角形.所以，因为于为中点，.所以三棱锥中，高，所以.（3）在上存在一点，使平面.分别取，的中点，，连，，.因为为的中位线，所以，且，在菱形中，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为中点，所以.20.解：（Ⅰ）由题意得，，∴，∴椭圆方程为.（Ⅱ）设直线的方程式，，，由，得，所以由（Ⅰ）知直线，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，满足.，而与，知，∴，由，得，∴.∴四边形面积的取值范围.21.因为，所以.由，得.故，，若，则，若，则.所以在上单调递，在上单调递减.所以的最大值为.（2）假设存在实数，使有最大值，，①当时，在上单调递增，，（舍去）.②当时，在上单调递增，，（舍去）.③当时，在上单调递增，在上单调递减，，则，满足条件.综上所述，存在实数，使得当时，有最大值.（3）因为的极大值为，即在上的最大值为，所以，.由，得，因为当时，，所以在区间上单调递增.所以.因为，，，所以在（Ⅰ）的条件下，.22.解（1）时