《垂直于弦的直径》课件

《垂直于弦的直径》知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.课堂导入你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？知识点1新知探究（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.●O不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.知识点1新知探究例

求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.知识点1新知探究证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意

一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′,

∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.

这就是说，对于圆上任意一点A，

在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

知识点1新知探究如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD)(((理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．((((·OABDEC知识点1新知探究垂径定理*·OABCDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，((AC=BC，((AD=BD.推导格式：知识点1新知探究垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC知识点1新知探究如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).知识点1新知探究“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD知识点1新知探究例

赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.知识点1新知探究

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.((在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，(连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.(由题设可知AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.知识点1新知探究在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC·知识点1新知探究弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系

d+h=r

ABCDOhrd跟踪训练新知探究如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是()A.2 B.3 C.4 D.5A

随堂练习1（2018∙绥化中考）如图，下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升

cm.10或70

随堂练习2如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+4与圆O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为

.24

随堂练习3已知圆O的半径为10cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是

cm.解：分两种情况进行讨论：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，过O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA，∵AB//CD，∴

OE⊥AB，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2

cm.图1已知圆O的半径为10cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是

cm.随堂练习32或14解：②当弦AB和CD在圆心异侧时，过O作OE⊥CD，交CD于点E，延长EO交AB于点F，连接OC，OA，如图2所示，∵AB//CD，∴

OF⊥AB，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm；综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm．图2课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形对接中考1

对接中考1C

对接中考2

B对接中考3某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?解：如图，设这座拱桥的截面为AB，AB为水面，O为AB所在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交AB于点C，在线段AB上作线段EF=3m，使点D为EF的中点，作矩形MNFE，使点M，N在AB上，MN交OC于点H，连接OA，ON.((((

对接中考3某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?

圆的对称性1.下列命题中，不正确的是(

D

)A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴D12345678910111213141516

垂径定理及其推论2.如图，

DC

是☉

O

的直径，弦

AB

⊥

CD

于点

F

，连接

BC

，

BD

，则错

误结论为(

A

)A.

OF

＝

CF

B.

AF

＝

BF

A123456789101112131415163.下列说法正确的是(

D

)A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧D【解析】A.过圆心且垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧，故该选项

不符合题意；B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故该选项不符合题

意；C.垂直于弦的直径平分这条弦，故该选项不符合题意；D.过弦(不

是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧，正确，故该选项符合题意.12345678910111213141516

垂径定理及其推论的应用4.如图，在半径为5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于点

C

，则

OC

的长为(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第4题图A12345678910111213141516【解析】如图，连接

OA

，则

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

∴在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2.∴

OC

＝3cm.123456789101112131415165.如图，以

CD

为直径的☉

O

中，弦

AB

⊥

CD

于点

M

.

若

AB

＝16，

CM

＝16，则

MD

的长为(

A

)A.4B.6C.8D.10第5题图A12345678910111213141516【解析】如图，连接

OB

.

∵

AB

⊥

CD

，且

CD

为☉

O

的直径，

AB

＝16，

设☉

O

的半径为

r

，则

OM

＝16－

r

.在Rt△

OBM

中，

BM2＋

OM2＝

OB2，即82＋(16－

r

)2＝

r2，解得

r

＝10.∴

CD

＝2

r

＝20.∴

MD

＝

CD

－

CM

＝20－16＝4.123456789101112131415166.(唐山期中)如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦

AB

长8m，

轮子的吃水深度

CD

为2m，则该桨轮船的轮子直径为(

A

)A.10mB.8mC.6mD.5m第6题图A12345678910111213141516【解析】设该桨轮船的半径为

rm，则

OA

＝

OC

＝

r

，又∵

CD

＝2m，

∴

OD

＝(

r

－2)m，∵

AB

＝8m，

OC

⊥

AB

，∴

AD

＝4m.在Rt△

ODA

中，由勾股定理，得

OA2＝

OD2＋

AD2，即

r2＝(

r

－2)2＋42，解得

r

＝

5，∴2

r

＝10.∴该桨轮船的轮子直径为10m.123456789101112131415167.(石家庄第四十中学期中)往直径为26cm的圆柱形容器内装入一

些水以后，截面如图所示，若水面

AB

的宽度为24cm，则水的最大深

度为(

D

)A.5cmB.10cmC.13cmD.8cm第7题图D12345678910111213141516【解析】如图，过点

O

作

OC

⊥

AB

于点

D

，交☉

O

于点

C

，连接

OA

.

∵

OC

⊥

AB

，

AB

＝24cm，

∵直径为26cm，

∴

CD

＝

OC

－

OD

＝13－5＝8(cm).123456789101112131415168.(保定涿州市实验中学期中)如图，☉

O

的直径为10，

AB

为弦，

半径

OC

⊥

AB

，垂足为

E

，如果

CE

＝2，那么

AB

的长是(

C

)A.4B.6C.8D.10第8题图C【解析】如图，连接

OA

.

∵半径

OC

⊥

AB

.

∵☉

O

的直径为10，∴

OA

＝

OC

＝5.又∵

CE

＝2，∴

OE

＝

OC

－

CE

＝5－2＝3.

12345678910111213141516

C.5m第9题图A12345678910111213141516

1234567891011121314151610.【教材第83页练习第2题改编】如图，在☉

O

中，

AB

，

AC

为互相垂

直且相等的两条弦，

D

，

E

分别为弦

AB

，

AC

的中点，则

OD

与

OE

的

数量关系与位置关系是

⁠.OD

＝

OE

，

OD

⊥

OE

12345678910111213141516

11.(石家庄期末)

P

是☉

O

内一点，过点

P

的最长弦的长为10cm，

最短弦的长为6cm，则

OP

的长为(

C

)A.7cmB.5cmC.4cmD.3.5cmC【解析】如图所示，

CD

⊥

AB

于点

P

.

根据题意，得

AB

＝10cm，

CD

＝6cm.∴

OC

＝5cm，

CP

＝3cm，

1234567891011121314151612.如图，

AB

是☉

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

E

，

BE

＝1cm，

CD

＝6

cm，则

AE

的长为(

B

)A.4cmB.9cmC.5cmD.8cmB12345678910111213141516

12345678910111213141516

第13题图D12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.5B.6C.7D.8第14题图B

1234567891011121314151615.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人

民的智慧，图1，点

M

表示筒