2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高二下学期期中考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高二下学期期中考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线的渐近线方程为（

）A. B. C. D.2.已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）

A. B.

C. D.3.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有（）种A.12 B.18 C.20 D.244.等比数列的前项积为，则的最小值是（

）A.2 B. C.4 D.5.的展开式中的系数为（

）A. B.7 C.77 D.6.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（

）A.4 B.3 C.2 D.17.若事件互斥，，则（

）A. B. C. D.8.已知，则的大小关系是（

）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法中正确的是（）A.若随机变量，则

B.若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

C.回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好

D.在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立10.在的展开式中,下列说法正确的是(

)A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为11.在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（

）A.点到平面的距离为

B.三棱锥体积是定值，定值为1

C.存在点，使得平面

D.存在点，使得且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数的导函数满足关系式，则

．13.某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是

.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列．(1)求的前项和；(2)记，求数列的前项和．16.(本小题12分)如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17.(本小题12分)随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中.(1)若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；(2)现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客

外地游客100

合计300

1000参考数据：若随机变量，则；参考公式：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.82818.(本小题12分)已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．19.(本小题12分)已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.(1)求的方程；(2)过P作直线的垂线，垂足为N.（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最小值.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】/0.352

14.【答案】/

15.【答案】【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，，，，由题意可得，即，解得，所以，，所以，.（2）解：，所以，.

16.【答案】【详解】（1）四边形为矩形，，为中点，，又，，；平面，平面，；，平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一个法向量为，，即平面与平面夹角的余弦值为.

17.【答案】【详解】（1）因为，所以旅游费用支出不低于1500元的概率为，所以，估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元；（2）假设：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联，游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客200400600外地游客100300400合计3007001000，根据小概率值的独立性检验，不成立，即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.

18.【答案】【详解】（1）当时，函数，则，令，易知函数在上是减函数，且，所以当时，有，即，当时，有，即，所以在上单调递增，在上单调递减；（2）由已知得：，且，令，则，当时，，则在上是减函数，又，所以当时，有，即，当时，有，即，所以在上单调递增，在上单调递减，即在时取到极大值，不符合题意，故舍去；当时，则，令得，，故在上单调递减，又，且，所以当时，有，从而，即在上单调递增，当时，有，从而，即在上单调递减，即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去；当时，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在时取到极小值，也是最小值，所以，从而有，所以在上单调递增，又不符合题意，故舍去；当时，则，令得，，故在上单调递增，又，且，所以当时，有，从而，即在上单调递增，当时，有，从而，即在上单调递减，即在时取到极小值，符合题意，故；综上所述可得实数m的取值范围是

19.【答案】【详解】（1）由题设且，则，由