（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第18讲 椭圆的简单几何性质+课后巩固练习+随堂检测（教师版）

第第页第18讲椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.知识点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．拓展：用离心率e＝eq\f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，记e＝eq\f(c,a)，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）知识点2点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.知识点3直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．知识点4直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：1、用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．3、求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．4、判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．5、解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．考点一：由标准方程研究几何性质例1．椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距C．有相同的焦点D．有相同的离心率【答案】B【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误.【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，对于椭圆，因为，则，可得，且焦点在y轴上，所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，所以A、C、D错误，B正确.故选：B.变式1．椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（

）A．B．3C．D．【答案】A【分析】先求出、的坐标，再由轴，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面积法可求得结果.【详解】由，得，所以，所以，，当时，，解得，因为轴，所以，所以，设到直线的距离为，因为，所以，解得，故选：A考点二：利用几何性质求标准方程例2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由题意可得，然后利用椭圆的定义得到，进而即可求解；（2）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解；（3）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解；（4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为，设所求方程为，将点代入得即可求解.【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的标准方程为.（3）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得：，解得，∴椭圆方程为．（4）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入得，所以，则所求椭圆的标准方程为.变式1．与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，设所求椭圆的长半轴长为，则，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.考点三：点与椭圆的位置关系（一）点和椭圆位置关系的判断例3．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交B．相切C．相离D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果.【详解】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.（二）根据点和椭圆位置关系求参数例4．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【详解】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.（三）点和椭圆位置关系的应用例5．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解.【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点，直线与椭圆恒有公共点，即点在椭圆内或椭圆上，，即，又，否则是圆而非椭圆，或，即实数的取值范围是.故答案为：考点四：椭圆的离心率问题求椭圆的离心率例6．设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______.【答案】【分析】分别表示出、，在中由计算可得结果.【详解】如图所示，

由图知，所以，，又因为，，所以，所以在中，由得，解得：，所以椭圆E的离心率为.故答案为：.变式1．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的离心率为.故选：A.

故答案为：变式2．已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，因此，即，所以离心率为.故选：C.求椭圆的离心率的取值范围例7．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围．【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，的范围是．故选：D．变式1．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围．【详解】设，则，，由，，化为，，整理得，，，解得．考点五：直线与椭圆的位置关系例8．直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交【答案】A【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆位置关系；方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.【详解】方法1：∵，即：，∴直线l恒过定点，又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：∴恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.考点六：弦长及中点弦问题（一）弦长问题例10．已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．【答案】【分析】设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值.【详解】在椭圆中，，，则，故点，设点、，由题意可知，直线的方程为，即，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，.故答案为：.（二）中点弦问题例11．已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】【分析】设这条弦的两个端点分别为、，由中点坐标公式得，利用点差法可求得直线的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.【详解】解：已知椭圆的弦被点平分，设这条弦的两个端点分别为、，则，得，由于点、均在椭圆上，则，两式相减得，可得，即，所以直线的斜率为，因此，这条弦所在直线的方程为，即.故答案为：.变式1．直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．【答案】/【分析】根据题意利用点差法分析运算即可.【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则，可得，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理得，即所以.故答案为：.

一、单选题1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以，，则，所以，则离心率．故选：C.2．已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用待定系数法即可得解.【详解】因为椭圆的短轴长为，则，即，所以椭圆方程为，又正方形的边长为4，由椭圆与正方形的对称性可知，正方形的其中一个顶点坐标为，所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：B.3．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案.【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，；因为为等腰三角形，且在第一象限，所以，由椭圆的定义可得.设直线的倾斜角为，则，，；所以.故选：B.

三、填空题4．椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为__________.【答案】【分析】根据角平分线定理可得，利用坐标运算即可得答案.【详解】

椭圆的左、右焦点分别为，又，由角平分线定理知，则，解得，所以点坐标为.故答案为：.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为____________.【答案】【分析】由题意可得，且，延长并延长交椭圆于点，然后利用椭圆的对称性和椭圆的定义可得，，，则由勾股定理的逆定理可得，再在中利用勾股定理列方程可求出的关系，从而可求出离心率.【详解】因为，，所以，且，延长并延长交椭圆于点，则由对称性可设，，，，因为，所以，则，，，得所以，在中，由，得，化简得，所以，所以离心率.故答案为：三、解答题6.已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，即可求解；（2）分析出，直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得，令后可得，根据的范围即可求出的范围，进而可求其最大值.【详解】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，则，所以，因此动点的轨迹的方程是.（2）如图：

不妨设点在轴上方，连接，因为分别为有中点，所以，所以，当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，此时；当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，显然直线不与轴重合，即，联立，得，则，，所以，又点到直线的距离，所以，令，则，因为，所以，所以，所以.综上，，即的最大值为.7．已知椭圆的焦距为，点在上．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，由韦达定理求出点的坐标，根据结合斜率关系可得出，代入结合可得出的取值范围.【详解】（1）解：由题意可知，所以，所以①，又，所以②，由①②可得，，所以椭圆的方程为．（2）解：设点、、，联立，得，由题知，可得③，由韦达定理可得，，从而，，，则，即④，把④代入③得，解得，又，故的取值范围是．椭圆的简单几何性质随堂检测1.椭圆的焦点坐标为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为，故选：D2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆几何性质可知，代入椭圆标准方程即可求得结果.【详解】根据题意可设椭圆方程为，易知，且，解得；所以，故椭圆方程为.故选：A3.直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】C【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立，则所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C.4.已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得，点在椭圆的外部.进而可推得，则，开方即可得出答案.【详解】由题意可得，点在椭圆的外部.所以，，所以.又椭圆焦点在轴上，所以，所以.又，所以，所以.故选：C.5.已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.【详解】在中，，设，由题意知,，由余弦定理得,，由椭圆定义知，则离心率.故选:C.6.已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差