(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第12讲 圆周角定理+课后巩固练习+随堂检测（原卷版）

第页第12讲圆周角定理【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 2【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 3【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】 4【题型4翻折中的圆周角的运用】 6【题型5利用圆周角求最值】 7【题型6圆周角中的证明】 9【题型7圆周角中的多结论问题】 10【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 11【题型9圆周角与量角器的综合运用】 12【题型10利用圆周角求取值范围】 错误！未定义书签。【知识点1圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角是的直径【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A．12° B．22° C．24° D．44°【变式1-1】如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．130°【变式1-2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）A．100° B．70° C．55° D．65°【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42° B．45° C．48° D．52°【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70° B．65° C．50° D．45°【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CE=CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠A．92° B．108° C．112° D．124°【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．2【变式3-1】如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）A．32° B．27° C．24° D．18°【变式3-2】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【题型4翻折中的圆周角的运用】【例4】如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）A．45° B．55° C．65° D．70°【变式4-1】已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）A．45 B．25或45 C．25 【题型5利用圆周角求最值】【例5】如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式5-1】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．2【题型6圆周角中的证明】【例6】如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧AC上运动，连接EC，BE，交AC于点F．（1）求∠E的度数；（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．【变式6-1】如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝210，求BC的长．【题型7圆周角中的多结论问题】【例7】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（）A．（0，7） B．（0，210） C．（0，6） D．（0，35）【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC＝°．【题型9圆周角与量角器的综合运用】【例9】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（）A．100° B．110° C．115° D．130°【变式9-1】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝．【变式9-2】如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为．课后巩固练习1.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC＝70°，则∠ABD＝()A.20°B.46°C.55°D.70°2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BD

B.AD⊥OC

C.△CEF≌△BED

D.AF＝FD3.如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，∠ACB＝25°，AD为⊙O的直径，则∠DAC度数是()A.25°

B.30°

C.40°

D.50°4.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为()A.36°B.46°C.27°D.63°5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B＝30°，AC＝eq\r(3)，则⊙O的直径为()A.1 B.eq\r(3) C.2D.2eq\r(3)6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠ABD＝65°，则∠ADC＝.7.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD度数为.8.如图，AB是⊙O直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝.9.如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为.10.如图，圆O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线圆O于D，则CD长是______cm.11.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.12.如图，点D是等腰△ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)延长CB交⊙O于点E，连结DE，求证：DC＝DE．第12讲圆周角定理随堂检测1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是()2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为()A.80°B.60°C.50°D.40°3.如图，已知⊙O是△ABD外接圆，AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于()A.116°

B.64°

C.58°

D.32°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是()A.eq\r(10)cm

B.5cm

C.6cm

D.10cm5.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为()A.36°

B.46°

C.27°

D.63°6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于

.7.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝

.8.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB＝5，BC＝3，则圆心O到弦BC的距离是

.9.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直