大学高等数学概率论试卷及答案

大学高等数学概率论试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设\(A\)，\(B\)为两个随机事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，则\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，则\(P(X\leqslant1)\)为（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.73.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslantx\leqslant1\\0,&其他\end{cases}\)，则\(P(0.5\ltX\lt1)\)等于（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.设随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,4)\)，则\(Z=X+Y\)服从（）A.\(N(1,5)\)B.\(N(0,5)\)C.\(N(1,3)\)D.\(N(0,3)\)5.设\(X\)是离散型随机变量，其分布律为\(P(X=k)=\frac{C}{2^k},k=1,2,\cdots\)，则常数\(C\)等于（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)6.已知随机变量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，则\(E(X^2)\)等于（）A.4B.8C.12D.167.设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)服从（）A.正态分布\(N(0,1)\)B.\(t\)分布\(t(n-1)\)C.\(\chi^2\)分布\(\chi^2(n)\)D.\(F\)分布\(F(n,n)\)8.设\(A\)，\(B\)为两个互不相容事件，且\(P(A)\gt0\)，\(P(B)\gt0\)，则下列结论正确的是（）A.\(P(AB)=P(A)P(B)\)B.\(P(A\cupB)=1\)C.\(P(A|B)=0\)D.\(P(B|A)=P(B)\)9.设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\frac{x}{2},&0\leqslantx\lt2\\1,&x\geqslant2\end{cases}\)，则\(P(X=1)\)等于（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.110.设总体\(X\)的概率密度函数为\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\theta\)为未知参数，则\(\theta\)的矩估计量为（）A.\(\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}\)B.\(\frac{1-\overline{X}}{\overline{X}}\)C.\(\frac{\overline{X}}{2}\)D.\(\frac{2}{\overline{X}}\)答案：1.B2.C3.C4.A5.A6.B7.A8.C9.A10.A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于概率的性质正确的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，则\(P(A)\leqslantP(B)\)2.设随机变量\(X\)服从泊松分布\(P(\lambda)\)，则其概率分布为\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots\)，以下说法正确的是（）A.\(E(X)=\lambda\)B.\(D(X)=\lambda\)C.当\(\lambda\)较大时，可近似用正态分布\(N(\lambda,\lambda)\)来计算概率D.\(P(X=0)=e^{-\lambda}\)3.设随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立，且\(X\)的概率分布为\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.7\)，\(Y\)的概率分布为\(P(Y=0)=0.4\)，\(P(Y=1)=0.6\)，则（）A.\(P(X=1,Y=0)=0.12\)B.\(P(X=1,Y=1)=0.18\)C.\(P(X+Y=2)=0.12\)D.\(P(X+Y=3)=0.42\)4.下列关于正态分布的说法正确的是（）A.正态分布的概率密度函数图像关于\(x=\mu\)对称B.正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)中，\(\mu\)决定了图像的位置，\(\sigma\)决定了图像的形状C.若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，则\(P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)\approx0.6826\)D.标准正态分布的概率密度函数为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)5.设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，则（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)C.\(\overline{X}\)与\(S^2\)相互独立D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\simt(n-1)\)6.以下哪些是随机变量的数字特征（）A.期望B.方差C.协方差D.相关系数7.设\(A\)，\(B\)为随机事件，且\(P(A)\gt0\)，\(P(B)\gt0\)，则（）A.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)B.\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)C.若\(A\)，\(B\)相互独立，则\(P(AB)=P(A)P(B)\)D.若\(A\)，\(B\)互不相容，则\(P(AB)=0\)8.设随机变量\(X\)的概率分布为\(P(X=k)=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots\)（几何分布），则（）A.\(E(X)=\frac{1}{p}\)B.\(D(X)=\frac{1-p}{p^2}\)C.\(P(X\geqslant2)=(1-p)\)D.\(P(X=1)=p\)9.对于总体参数的估计，以下说法正确的是（）A.矩估计法是用样本矩来估计总体矩B.最大似然估计法是使样本出现的概率最大来确定参数估计值C.无偏估计是指估计量的期望等于被估计的参数D.有效估计是指在无偏估计类中，方差最小的估计量10.设随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)是连续函数，则（）A.\(F(x)\)单调不减B.\(\lim_{x\to-\infty}F(x)=0\)C.\(\lim_{x\to+\infty}F(x)=1\)D.\(P(X=a)=0\)对任意实数\(a\)成立答案：1.ABCD2.ABCD3.ABD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)为对立事件，则\(A\)，\(B\)互不相容且\(A\cupB=\Omega\)。（）2.设随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)\)，则\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)。（）3.随机变量\(X\)与\(Y\)的协方差\(Cov(X,Y)=0\)，则\(X\)与\(Y\)相互独立。（）4.总体\(X\)的样本均值\(\overline{X}\)是总体期望\(E(X)\)的无偏估计。（）5.若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，则\(P(X\gt\mu)=0.5\)。（）6.设\(A\)，\(B\)为随机事件，且\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，则\(P(A\cupB)=1.1\)。（）7.泊松分布的期望和方差相等。（）8.样本方差\(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是总体方差\(\sigma^2\)的无偏估计。（）9.随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)在\(x\)处的导数\(F^\prime(x)=f(x)\)（若\(f(x)\)存在）。（）10.若\(X\)与\(Y\)相互独立且都服从正态分布，则\(aX+bY\)也服从正态分布（\(a,b\)为常数）。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.简述概率的公理化定义。答案：设\(E\)是随机试验，\(\Omega\)是它的样本空间，对于\(E\)的每一事件\(A\)赋予一个实数，记为\(P(A)\)，若\(P(A)\)满足：非负性\(P(A)\geqslant0\)；规范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，对两两互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，则称\(P(A)\)为事件\(A\)的概率。2.简述期望和方差的定义及性质。答案：期望\(E(X)\)对于离散型\(X\)是\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)，连续型\(X\)是\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)。性质有\(E(aX+b)=aE(X)+b\)。方差\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)，性质\(D(aX+b)=a^2D(X)\)。3.什么是中心极限定理？答案：设随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互独立，服从同一分布，且\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\gt0\)，则当\(n\)充分大时，\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服从正态分布\(N(n\mu,n\sigma^2)\)，或\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\)近似服从标准正态分布\(N(0,1)\)。4.简述最大似然估计的步骤。答案：首先，写出似然函数\(L(\theta)\)，它是样本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)联合概率密度（离散型是联合分布律）关于未知参数\(\theta\)的函数。然后，对\(L(\theta)\)取对数得\(\lnL(\theta)\)。接着，求\(\lnL(\theta)\)关于\(\theta\)的导数并令其为0，解出\(\theta\)的估计值。五、讨论题（